Svar på opgave 1:

1. Nedenfor er grafen tegnet.

   

2. Man skal finde de x, for hvilke f(x) = 0 eller med andre ord x-koordinaterne for grafens skæringspunkter med x-aksen.

   Ti-Nspire:

   f(x):=0.1*x³-0.5*x²-0.8*x+2 ▸ Udført (f(x) oprettes)

   solve(f(x)=0,x) ▸ x=−2.293 or x=1.508 or x=5.785 (man finder nulpunkter for f(x))

   Det ses, at nulpunkterne for f er: x = −2,293, x = 1,508 eller x = 5,785

   Maple:

   f(x) := 0.1·x³-0.5·x²-0.8·x+2 ↵ x → 0.1 x³ + (-1)·0.5·x² + (-1)·0.8·x + 2

   solve(f(x) = 0) ↵ 1.5077, 5.7853, -2.2930 (man finder nulpunkter for f(x))

   Samme nulpunkter som ovenfor.

3. Man skal lave en fortegnsundersøgelse for f', der er den afledede funktion af f.

   Ti-Nspire:

   solve(derivative(f(x),x)<0,x) ▸ −0.6667<x<4. (dvs: f'(x)<0 for −0,6667<x<4)

   solve(derivative(f(x),x)>0,x) ▸ x<−0.6667 or x>4. (dvs: f'(x)>0 for x<−0,6667 eller x>4)

   Det ses heraf, at f vokser for x < −0,6667, aftager for −0,6667 < x < 4 og vokser for x > 4, hvilket er funktionens monotoniforhold.

   Maple:

   solve(f '(x), x) = 0) ↵ 4., -0.6667 (man finder nulpunkter for f '(x))

   f '(-1) ↵ 0.5 (f '(-1) > 0 ⇒ f er voksende for x < -0,6667)

   f '(0) ↵ -0.8 (f '(0) < 0 ⇒ f er aftagende for -0,6667 < x < 4,000)

   f '(5) ↵ 1.7 (f '(5) > 0 ⇒ f er voksende x > 4,000)

   Samme monotoniforhold som ovenfor.

Svar på opgave 2:

1. Ti-Nspire. Løsning ved hjælp af sinus- og cosinusrelationer. Man vælger at regne i radianer, der er standard for Ti-Nspire.

   Vinkel B omregnes til radianer: 86°·(π/180°) = 1,5010.

   Der er ikke nok oplysninger til at finde vinkel A ved hjælp af en enkelt sinus- eller cosinusrelation, så man finder først siden b ved hjælp af en cosinusrelation, idet b skal være større end nul:

   

   Man finder dernæst vinkel A ved hjælp af en sinusrelation, idet man kræver, at den ligger mellem nul og π/2:

   

   Dette regnes om til grader: 1,1094·(180°/π) = 63,56°.

   Dvs. vinkel A = 63,6°

   Maple. Man bruger trekantsolve fra gympakken. I denne indsættes kendte sider (med lille begyndelsesbogstav) og kendte vinkler (med stort begyndelsesbogstav). Resultatet er de manglende sider og vinkler. Vinkler regnes i grader.

   with(Gym):

   Man beregner sider og vinkler i trekant ABC:

   trekantsolve(B=86,c=4.47,a=7.9) ↵ {A=63.560,C=30.443,b=8.8014}

   Det ses heraf, at vinkel A i trekant ABC er 63,6°

2. Højden fra B = c·sin(∠A) = 4,47·sin(1,1094) = 4,003

3. Arealet af trekant ABC er: 0,5·højde·b = 0,5·4,003·8,8 = 17,6

4. Medianens fodpunkt kaldes D. Man skal kende |AD|. Man finder: |AD| = 0,5·b = 8,801/2 = 4,40. Dette er vist nedenunder:

   

   Ti-Nspire. Man bruger en cosinusrelation for at finde længden af medianen, m:

   

   Dvs. medianen er 4,67

   Maple. Man bruger igen trekantsolve kommandoen som i forrige spørgsmål.

   Man beregner sider og vinkleri trekant ABD. Siden a i ABD er lig med m i ABC. Siden b i trekant ABD er halvdelen af siden b i trekant ABC, dvs. b i ABD er 8,8014/2 = 4,401. Dette giver:

   trekantsolve(A=63.560,c=4.47,b=4,401) ↵ {B=57.4980,C=58.9470,a=4.6720}

   Dvs. medianen fra B i trekant ABC er 4,67

Geogebra. Kontrol af resultat.

Svar på opgave 3:

1. Ligningen for vinklen (x) mellem a og b er cos(x) = a·b/(|a|·|b|). Denne løses i intervallet: 0≤x≤180°.

   Ti-Nspire:

   Man opretter vektorerne:

   a:=[2,−3] ▸ [2,−3]

   b:=[3,5] ▸ [3,5]

   Man løser ligningen for vinklen mellem vektorerne:

   solve(cos(x)=dotP(a,b)*1./(norm(a)*norm(b)),x)|0<x<π ▸ x=2.01317

   Vinklen omregnes til grader:

   180*2.01317/π ▸ 115.346

   Dvs. vinklen mellem a og b er 115,3°

   Maple:

   Man bruger vinkel() kommandoen fra Gym-pakken.

   with(Gym):

   a:=⟨2,-3⟩ ↵ [[2],[-3]] (vektorerne oprettes som lodrette talsæt...)

   b:=⟨3,5⟩ ↵ [[3],[5]]

   vinkel(a,b) ↵ 115.35 (vinklen beregnes)

   Dvs. vinklen mellem a og b er 115,3°

2. Arealet af den trekant, som a og b udspænder, er halvdelen af den numeriske værdi af determinanten af vektorerne.

   Ti-Nspire:

   Determinanten kan beregnes som skalarproduktet af a tværvektoren til b. Denne tværvektor kaldes bt og oprettes.

   bt:=[−5,3] ▸ [−5,3]

   Arealet beregnes efter ovenstående formel:

   (1./2)*abs(dotP(a,bt)) ▸ 9.5

   Dvs. arealet af den trekant som a og b udspænder er 9,5

   Maple:

   Man bruger arealT() kommandoen fra Gym-pakken. Vektorerne a og b er oprettet ovenfor.

   evalf(arealT(a, b)) ↵ 9.5000

   Dvs. arealet af den trekant som a og b udspænder er 9,5

3. b's projektion på a kaldes b_a. b_a = ((a·b)/|a|²)·a.

   Ti-Nspire:

   (dotP(a,b)*1./norm(a))²)*a ▸ [−1.38462,2.07692]

   Dvs. b's projektion på a er (−1,385;2,077)

   Maple:

   Vektorerne a og b forudsættes oprettet. Man bruger proj() komandoen fra Gym-pakken:

   evalf(proj(b, a)) ↵ [[-1.38460],[2.07690]]

   Dvs. b's projektion på a er (−1,385;2,077)

Geogebra kontrol af resultater.

Svar på opgave 4:

1. Afstanden mellem linjen ax + by + c = 0 og punktet (x₀,y₀) følger formlen: |a·x₀ + b·y₀ + c|/√[a² + b²]. Her har man at: P = (x₀,y₀) = (-1,2). For at finde a, b og c omskrives linjens ligning: y = 2x + 1 ⇔ 2x + (-1)·y + 1 = 0. Dvs. a = 2, b = -1 og c = 1.

   Afstanden mellem punktet P og linjen l findes i Ti-Nspire eller Maple: abs(2*(−1)+(−1)*2+1.)/sqrt(2²+1²) ▸ 1.3416.

   Dvs. afstanden er 1,342

2. Kald l's normalvektor n. Denne vektor er retningsvektor for linjen l_v. n = (a,b), hvor a og b er det samme som i forrige spørgsmål, dvs: n = (2,-1). Man ved desuden, at l_v går gennem P = (-1,2).

   Dvs. parameterfremstillingen for l_v er: (x,y) = t·(2,-1) + (-1,2), t∈ℝ

3. Vektoren m = (1,2) er normalvektor til l_v. Dette findes som tværvektoren til n. Punktet P = (-1,2) ligger på linjen og det samme gælder et punkt X = (x,y). Vektoren PX = (x+1,y-2) er dermed retningsvektor til l_v.

   Der gælder, at normalvektoren m og retningsvektoren PX står vinkelret på hinanden, dvs: m·PX = 0. Denne vektorligning omskrives til en algebraisk ligning: m·PX = 0 ⇒ (1,2)·(x+1,y-2) = 0 ⇔ x + 1 + 2·y - 4 = 0 ⇔ x + 2·y - 3 = 0.

   Dvs. ligningen for l_v er x + 2y - 3 = 0

4. Skæringspunktet mellem l og l_v findes ved at løse linjerne ligninger som to sammenhørende ligninger i x og y. Dette gøres i CAS:

   Ti-Nspire: solve(2*x-y+1=0 and x+2*y-3=0,x,y) ▸ x=1/5 and y=7/5

   Maple: solve([2*x-y+1 = 0, x+2*y-3 = 0]) = { x = 1/5, y = 7/5 }

   Dvs. skæringspunktet mellem l og l_v er (0,2;1,4)

Geogebra. Kontrol af resultat. Skæringspunktet mellem linjerne kaldes her Q.

Svar på opgave 5:

1. Man løser linjernes ligninger med hensyn til x og y som to sammenhørende lineære ligninger:

   Ti-Nspire: solve(y=x-1 and y=−2*x+1,x,y) ▸ x=2/3 and y=−1/3

   Dvs. linjernes skæringspunkt er (x,y) = (0,6667,−0,3333).

2. Vinklen mellem linjerne kan findes på flere måder.

   Koefficient-metoden.

   Man tegner en vandret linje gennem skæringspunktet og beregner den vinkel, som hver af linjerne danner med denne linje for x, der ligger til højre for punktet. Den grønne vinkel på tegningen gælder for l og den blå for m.

   

   Når man har en linjes ligning på formen: y = ax + b, så er |tan^-1(a)| (den absolutte værdi af arctan til a) lig med vinklens størrelse.

   Man får: l: y = x - 1, dvs. a = 1. m: y = -2x + 1, dvs. a = -2. Regnet i radianer får man:

   α = |tan^-1(1.)| = 0,7854 og β = |tan^-1(−2.)| = 1,107.

   α + β = 0,7854 + 1,107 = 1,893.

   Denne vinkel er stump, idet π/2 = 1,5708 < 1,893. For at få den spidse vinkel mellem linjerne, så skal denne vinkel trækkes fra π og omregnes til grader:

   (π - 1,893)·180°/π = 71,565°. Dvs. den spidse vinkel mellem linjerne er 71,6°

   Vektormetoden.

   Man omskriver linjernes ligninger, så alle led samles på samme side. Man får: l: y = x - 1 ⇔ (-1)·x + 1·y + 1 = 0 og m: y = -2x + 1 ⇔ 2·x + 1·y - 1 = 0.

   Når ligningerne er skrevet på denne form kan man aflæse linjernes normalvektorer af koefficienterne til x og y. Til l er den (-1,1) og til m (2,1). Vinklen mellem dem beregnes i Ti-Nspire (ved brug af radianer):

   solve(cos(x)=dotP([−1.,1],[2,1])/(norm([−1,1])*norm([2,1]),x)|0<x<π/2 ▸ x=1.8926

   Dette omregnes til grader: 1.8926·(180/π) = 108,44°.

   Da man er bedt om den spidse vinkel mellem linjerne, så skal man trække den fundne vinkel fra 180°:

   180° - 108,44° = 71,6°

   Maple-løsninger

   Ved brug af gym-pakken og vinkel-kommandoen får man:

   with(Gym):

   vinkel(<-1., 1>,<2, 1>) ↵ 108.44 (find vinkel mellem de to normalvektorer til l og m)

   Den spidse vinkel mellem linjerne er 180° - 108,4° = 71,6°

   Man kan også bruge geometry-pakken og kommandoen FindAngle():

   with(geometry):

   line(l, -x+y+1 = 0, [x, y]) ↵ l (opret linjen l ved hjælp af dens ligning)

   line(m, y = -2*x+1, [x, y]) ↵ m (opret linjen m ved hjælp af dens ligning)

   convert(evalf(FindAngle(l, m)), degrees) ↵ 71.563 degrees (find vinklen mellem l og m som decimaltal i grader)

   Vinklen mellem linjerne er 71,6°

Geogebra. Kontrol af resultater. Skæringspunktet kaldes A.

Svar på opgave 6:

1. En cirkelligning på formen (x - a)² + (y - b)² = r², har centrum (a,b) og radius r.

   Dvs. denne cirklen har ligningen: (x - (-2))² + (y - 2)² = 3², hvilket betyder at dens centrum er (-2,2) og dens radius 3.

2. Man løser ligningerne for cirklen og linjen som to sammenhørende ligninger med hensyn til x og y i CAS:

   Ti-Nspire: solve((x+2)²+(y-2)²=9. and y=2*x+1,x,y) ▸ x=−0.8944 and y=−0.7889 or x=0.8944 and y=2.789

   Maple: solve([(x+2)²+(y-2)² = 9., y = 2*x+1]) ↵ {x = 0.8944, y = 2.789}, {x = -0.8944, y = -0.7888}

   Dvs. P = (0,8944;2,789) og Q = (-0,8944;0,7888)

3. Det punkt på linjen, der ligger tættest på centrum, kaldes R. Dette kan bestemmes som det punkt, der ligger midt mellem P og Q.

   Man får: R = (½)·[(−0,8944;−0,7889) + (0,8944;2,789)] = (0,1)

   Dvs. det punkt på linjen, som er tættest på centrum af cirklen er (0,1)

4. Tangenten til cirklen gennem P er vist med en rød linje på nedenstående tegning lavet i Geogebra.

   

   Man kalder et tilfældigt punkt på tangenten for X = (x,y). Desuden er tegnet vektorerne PC og PX. Man har at PC = (-2,2) - (0,8944;2,789) = (−2,8944;−0,7888) og PX = (x,y) - (0,8944;2,789) = (x-0,8944;y-2,789).

   Tangentens ligning på vektorform er: PC·PX = 0. Dette omskrives til en algebraisk ligning i CAS:

   Ti-Nspire: dotP([−2.8944,−0.7888],[x-0.8944,y-2.789])=0 ▸ -2.8944*x-0.789*y+4.7893=0

   Maple: <-2.8944, -.7889>.<x-.8944, y-2.789> = 0 ↵ -2.8944 x + 4.7893 - 0.7890 y = 0

   Dvs. tangentens ligning er 2,894x + 0,7888y - 4,789 = 0 eller y = -3,668·x + 6,070

Geogebra. Kontrol af resultater:

Svar på opgave 7:

1. Der er tale om en eksponentiel udvikling, hvilket ses af forskriften: f(x) = b·a^x.

   Ti-Nspire. Man opretter lister for antal år efter 1990 (år) og BNP i mia. $ (bnp):

   år:={1990,1995,2000,2005,2010}-1990 ▸ {0,5,10,15,20}

   bnp:={303.,330,389,433,498} ▸ {303.,330,389,433,498}

   Man udskriver regressionsfunktionen, som kaldes f1:

   ExpReg år,bnp,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: f1(x) ▸ 298.411*(1.02563)^x

   (Man vælger menuen: Beregninger - Statistisk - Statistiske beregninger - Exponentiel regression... og herefter de to lister år og bnp som henholdsvis x- og y-liste. Man trykker OK og får derved udskrevet kommandoen ExpReg år,bnp,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results sammen med sættet af resultater. Man erstatter stat.results med f1(x) og trykker Enter, hvorved man får vist formlen.)

   Heraf ses at a = 1,026 og b = 298,4

   Tallet a er fremskrivningsfaktoren for modellen, dvs. det tal man hvert år skal gange BNP med i følge modellen. Tallet b er BNP for x = 0, dvs. BNP i 1990 målt mia. $.

   Maple.

   Man bruger ExpReg kommandoen fra gympakken. Antal år efter 1990 udregnes og sættes ind som en liste i formlen sammen med en liste over bnp-værdier.

   with(Gym):

   ExpReg([0,5,10,15,20],[303,330,389,433,498]) ↵

   Eksponentiel Regression
   y = 298.41·1.0256^x
   Forklaringsgrad R² = 0.9929
   
   (Graf udeladt)

   Heraf ses, at a = 1.0256 og b = 298,41

2. Fordoblingskonstanten er ln(2)/ln(a) = ln(2)/ln(1,0256) år = 27,4 år

3. Ti-Nspire.

   Man skal finde det x, der gør, at f(x) bliver større end eller lig med 1000. Man løser derfor ligningen f1(x) = 1000:

   solve(f1(x)=1000,x) ▸ x=47.78

   Dette betyder at BNP overstiger 1000 mia $ efter 48 år. Dette lægges til 1990 og man får: Årstal = 1990 + 48 = 2038.

   Dvs. landets BNP overstiger 1000 mia. $ i år 2038

   Maple.

   Man løser ligningen f(x) = 1000...solve(298.41·1.0256^x=1000)=47.8400

   Dette lægges til 1990 og man får igen 2038

Svar på opgave 8:

1. Ti-Nspire:

   Man opretter lister med afstand og intensitet:

   afstand:={1,2,3,4,5,6} ▸ {1,2,3,4,5,6}

   intensitet:={504,128,57,32,21,15} ▸ {504,128,57,32,21,15}

   Man laver potensregression på de to lister og får udskrevet regressionsfunktionen:

   PowerReg afstand,intensitet,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: f1(x) ▸ 500.47/x^1.9694

   (Man vælger menuen: Beregninger - Statistisk - Statistiske beregninger - Potens regression... og herefter de to lister afstand og intensitet som henholdsvis x- og y-liste. Man trykker OK og får derved udskrevet kommandoen PowReg afstand,intensitet,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results sammen med sættet af resultater. Man erstatter stat.results med f1(x) og trykker Enter, hvorved man får vist formlen.)

   Dvs. regressionsfunktionen er 500,5·x^-1,969, hvilket betyder at a = -1,969 og b = 500,5

   Maple:

   with(Gym):

   PowReg([1, 2, 3, 4, 5, 6], [504, 128, 57, 32, 21, 15]) ↵

   Potensregression
   500.47/x^1.9694
   Forklaringsgrad R²=0,99988

   (Graf udeladt)

   Formlen 500,47/x^1,9694 omskrives til 500,47·x^-1,9694. Det ses a = -1,969 og b = 500,5

2. Intensiteten er f(10) = 500,47·10^-1,9694 = 5,3698

   Dvs. strålingsintensiteten i afstanden 10 fra kilden er 5,37

3. Man bruger procent-procent formlen (1 + r_y) = (1 + r_x)^a, hvor r_x er den procentvise ændring af afstanden og r_y er den procentvise ændring af intensiteten. Man skal finde r_y.

   r_y = (1 + 45%)^-1,969 - 1 = 0,48106 - 1 = -0,51 = -51 %.

   Dvs. der sker en formindskelse af intensiteten på 51 %, når afstanden øges med 45 %.

4. Man skal finde r_x, når (1 + r_y) = 2 og a = -1,969.

   Dette giver 2 = (1 + r_x)^-1,969 ⇒ r_x = 2^-1/1,969 - 1 = −0,29674

   Dvs. man skal formindske afstanden med 29,7 % for at fordoble strålingsintensiteten.

Svar på opgave 9:

1. Populationen er alle vælgere, som har stemt ved siste valg. Stikprøven er de 200 adspurgte i undersøgelsen.

2. De forventede værdier er valgresultatets procentvise stemmeandel for hvert parti ganget med det samlede antal personer eller observationer i undersøgelsen.

   Ti-Nspire: forventet:={20%,10%,15%,25%,30%}*200 ▸ {40,20,30,50,60}

   Maple: _forventet := [.20, .10, .15, .25, .30]*200 = [40.00, 20.00, 30.00, 50.00, 60.00].

   (Man bruger navnet _forventet (med underscore) fordi forventet er et reserveret navn i gympakken.)

3. Man vurderer nulhypotesen ved hjælp af en Chi-i-anden goodnes of fit-test. Denne har 4 frihedsgrader, da der er 5 kategorier af observationer (de 5 partier), og da frihedsgraden er antal kategorier minus 1.

   Ti-Nspire.

   Man opretter en liste med observerede værdier:

   observeret:={44,12,23,54,67} ▸ {44,12,23,54,67}

   Man finder p-værdien for en chi i anden goodness of fit-test med 4 frihedsgrader ved hjælp af kommandoen χ²GOF (skrives: chi2gof) efterfulgt af navnene på de to lister og antallet af frihedsgrader.

   χ²GOF observeret,forventet,4: stat.PVal ▸ 0.17317

   Det ses, at PVal er større end 5% = 0,05. Dermed accepteres nulhypotesen.

   Maple.

   Man opretter en liste med observerede værdier:

   observeret := [44, 12, 23, 54, 67] = [44, 12, 23, 54, 67]

   Ved brug af gym-pakken laver man en chi i anden goodness of fit-test med kommandoen ChiKvadratGOFtest og de to lister.

   with(Gym): ChiKvadratGOFtest(observeret, _forventet) ↵

   Χ²-teststørrelse = 6.3700
   Frihedsgrader = 4
   Kritisk værdi = 9.4877 (for et 5% signifikans niveau.)
   p-værdi = 0.17317

   (Graf udeladt)

   Det ses, at teststørrelsen er 6,37 og at denne er mindre end den kritiske værdi på 9,49. Dermed accepteres nulhypotesen.

Svar på opgave 10:

1. Ti-Nspire.

   Man opretter en matrix med en række for hvert køn:

   

   Man laver en uafhængighedstest på matricen:

   χ²2way undersøgelse ▸ Udført (χ²2way skrives: chi22way)

   Man finder de forventede værdier for undersøgelsen:

   

   Maple.

   Man opretter en matrix med undersøgelsens resultater:

   

   Man finder de forventede værdier ved hjælp af forventet-kommandoen fra gympakken:

   

2. Ti-Nspire.

   Man benytter testen fra forrige spørgsmål og finder p-værdien for den:

   undersøgelse: stat.PVal ▸ 0.067555

   Da p er større end 5%, så accepteres nulhypotesen.

   Maple.

   Man laver en chi-i-anden uafhængighedstest på matricen med undersøgelserne:

   with(Gym):

   ChiKvadratUtest(undersøgelse) ↵

   Χ²-teststørrelse = 5.3896
   Frihedsgrader = 2
   Kritisk værdi = 5.9915 (for et 5% signifikans niveau.)
   p-værdi = 0.067555

   (Graf udeladt)

   Det ses, at Χ²-teststørrelsen er mindre end kritisk værdi (5,99). Dermed accepteres nulhypotesen.

   Excel. (Se formler i Excel-fil)

   Først opstilles en skema med observationer og summer på begge ledder.

   

   De forventede værdier beregnes ved at tage en værdi i skemaet over observerede værdier. For denne værdi ganges den tilhørende vandrette sum med den tilhørende lodret sum og man dividerer med total summen.

   

   Man finder test-værdierne for hvert par af observerede og forventede værder ud fra skemaerne. Man bruger formlen: (forventet-observeret)²/forventet.

   

   Antallet af frihedsgrader er 2 (antal celler i skemaet, når man sletter en række og en søjle). Ved hjælp af kommandoen =CHI2.INV.RT(0,05;2) finder man den den kritiske grænse til 5,99.

   Da teststørrelsen på 5,39 er mindre end denne værdi, så accepteres nulhypotesen.

Svar på opgave 11:

1. Perioden for en sinusfunktion på formen f(x) = a·sin(b·x + c) + d er 2π/b. Man får dermed for denne funktion:

   Periode = 2π/0,85 = 7,3920

2. Funktionen sin(t), t∈R har mindsteværdien -1 og størsteværdien 1. Dermed gælder, at f har mindste­værdien: 1,9·(-1) + 3,4 = 1,5 og størsteværdien: 1,9·(1) + 3,4 = 5,3.

3. Ti-Nspire.

   f(x):=1,9*sin(0.85*x+1,2)+3,4 ▸ Udført (funktionen oprettes i Ti-Nspire)

   fMax(f(x),x)|1≤x≤6 ▸ x=1. (det x, der giver maksimum for funktionen, findes)

   f(1) ▸ 5.086 (man indsætter den pågældende x værdi i f(x))

   Det ses, at størsteværdien af f for x∈[1;6] er 5,086

   Maple.

   Man bruger maximize() kommandoen. (Den er ikke en del af Gym-pakken).

   f(x) := 1.9*sin(0.85*x+1.2)+3.4 ↵ x → 1.9*sin(0.85*x+1.2)+3.4 (funktionen oprettes i Maple)

   maximize(f(x), x = 1 .. 6, location) ↵ 5.0860, {[{x = 1.}, 5.0860]} (man finder både det x, der giver størsteværdien og størsteværdien selv).

   Det ses, at størsteværdien for f når x∈[1;6] er 5,086

   Geogebra.

   Den største værdi findes i venstre interval-endepunkt for definitionsmængden af f.

   

4. Ti-Nspire.

   solve(f(x)=2.5,x)|1≤x≤6 ▸ x=2.8648 or x=5.3997 (man løser ligningen f(x)=2,5 med hensyn til x i intervallet x∈[1;6])

   Det ses, at f(x) = 2,5 for x = 2,8648 eller x = 5,3997 når x∈[1;6].

   Maple.

   For at løse en trigonometrisk ligning i Maple, så bruger man intervalsolve() kommandoen fra gympakken. Den almindelige solve() kommando giver kun een løsning.

   with(Gym):

   intervalsolve(f(x) = 2.5, x = 1 .. 6) ↵ [2.8648, 5.3997]

   Løsning: x = 2,8648 eller x = 5,3997

   Geogebra.

   Nedenunder er vist en grafisk løsning. Skæringspunkterne mellem kurverne kaldes A og B.

   

   Det ses, at løsningen er x = 2,8648 eller x = 5,3997

Svar på opgave 12:

1. Ti-Nspire.

   Man opretter punkterne som stedvektorer

   a:=[−1,3,1] ▸ [−1,3,1]

   b:=[1,3,0] ▸ [1,3,0]

   c:=[1,−1,2] ▸ [1,−1,2]

   Man opretter vektorerne AB og AC, der begge ligger i planen α.

   ab:=b-a ▸ [2,0,−1]

   ac:=c-a ▸ [2,−4,1]

   Man finder krydsproduktet af de to vektorer. Denne er en normalvektor til planen.

   crossP(ab,ac) ▸ [−4,−4,−8]

   Dvs. (-4,-4,-8) er en normalvektor til α. For at få små hele tal, så divideres med -4, og man får vektoren (1,1,2), der kaldes n.

   Man opskriver nu planens ligning på vektorform:

   For en vektor AX, hvor X = (x,y,z) er et punkt i α, gælder at n·AX = 0. Dette er α's ligning på vektorform. Den omskrives til algebraisk form, ved at indsætte koordinater:

   dotP([1,1,2],[x,y,z]-a)=0 ▸ x+y+2*z-4=0

   Dvs. ligningen for α er x + y + 2 z - 4 = 0

   Maple.

   restart: (Maple genstartes for en sikkerheds skyld)

   with(geom3d): (3D geometripakken kaldes)

   point(A, -1, 3, 1) ↵ A (Punkterne A, B og C oprettes...)

   point(B, 1, 3, 0) ↵ B

   point(C, 1, -1, 2) ↵ C

   plane(alpha, [A, B, C]) ↵ alpha (Planen α oprettes ud fra punkterne)

   Equation(alpha, [x, y, z]) ↵ 16 - 4 x - 4 y - 8 z = 0 (ligningen for α udskrives)

   (16-4*x-4*y-8*z)*(1/4) = 0 ↵ 4 - x - y - 2 z = 0 (...ligningen divideres med 4 for at få små hele tal)

   Dvs. ligningen for α er x + y + 2 z - 4 = 0

2. Formlen for afstanden mellem planen α og punktet (0,0,0) giver:

   

   Dvs. afstanden mellem α og origo er 1,633

   Maple.

   point(Origo, 0, 0, 0) ↵ Origo (punktet (0,0,0) oprettes med navnet Origo)

   evalf(distance(alpha, Origo)) ↵ 1.6330 (afstanden mellem Origo og α findes.)

3. Ti-Nspire.

   For linjen l gælder for dens koordinater: x(t) = 1+2·t, y(t) = −1+2·t og z(t) = t.

   Dette indsættes i planens ligning og løses med hensyn til t:

   solve(x=1+2*t and y=−1+2*t and z=t and x+y+2*(z-2)=0.,t) ▸ t=0.66667 and x=2.3333 and y=0.33333 and z=0.66667

   Dvs. skæringspunktet er (x,y,z) = (2,333;0,3333;0,6667)

   Maple.

   line(l, [1+2*t, -1+2*t, t], t) ↵ l (linjen l oprettes ved hjælp af dens parameterfremstilling)

   intersection(P, l, alpha) ↵ P (man findes skæringspunktet (P) mellem l og α.)

   evalf(coordinates(P)) ↵ [2.333, 0.3333, 0.6667] (man finder koordinatene for P)

   Dvs. skæringspunktet er (x,y,z) = (2,333;0,3333;0,6667)

4. Ti-Nspire.

   Man bruger formlen for vinklen mellem to vektorer n = (1,1,2) og m = (3,2,-1) og løser ligningen med hensyn til vinklen x.

   

   Den fundne vinkel omregnes fra radianer til grader: 1,2373·180°/π = 70,9°

   Maple.

   plane(beta, 3*x+2*y-z+7 = 0, [x, y, z]) ↵ β (planen β oprettes ved hjælp af dens ligning)

   convert(evalf(FindAngle(α, β)), degrees) ↵ 70.891 degrees (vinklen mellem α og β findes og omregnes til grader.)

   Vinklen mellem α og β er 70,9°

Geogebra.

Nedenunder er vist en løsning i Geogebra. Linjen l er oprettet ved først at finde to punkter på linjen. Dette er gjort ved at sætte t = 0 og t = 1 i parameterfremstillingen og trække en linje igennem de to punkter (D og E) dette giver.

O_α er det punkt på α, der er nærmest O = (0,0,0). Det er fundet ved at tegne en linje (m) vinkelret på α gennem O. Afstanden mellem O og O_α (AfstandαOrigo) er derefter målt med afstandsværktøjet.

Planerne α (blå) og β (grøn) er oprettet ved hjælp af deres ligninger, og vinklen mellem dem er målt ved hjælp af vinkelværktøjet.

Vinklen (v) mellem de to planer er fundet ved at bruge vinkelværktøjet og klikke på hvert plan.

Svar på opgave 13:

1. Man opskriver α's ligning på formen: a·x + b·y + c·z + d = 0. Når ligningen er skrevet på denne form, så vil vektoren (a,b,c) være en normalvektor til planen.

   Man får for α: x + y - 2·z = -8 ⇔ 1·x + 1·y + (-2)·z + 8 = 0.

   Heraf aflæses, at (1,1,-2) er en normalvektor til α

2. Man opskriver kuglens ligning på formen: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r². Når ligningen er skrivet på denne form, så vil (a,b,c) være kuglens centrum og r dens radius.

   Man får kuglens ligning opskrevet på denne måde: (x - 2)² + (y - (-1))² + (z - 1)² = 2²

   Heraf ses, at kuglens centrum er (2,-1,1) og dens radius er 2

3. Linjen går gennem centrum af cirklen og har α's normalvektor som retningsvektor.

   Cirklens centrum er som fundet ovenfor: (2,-1,1) og en af α's normalvektorer er (1,1,-2).

   Dvs. linjens parameterfremstilling er (x,y,z) = (2,-1,1) + t·(1,1,-2), hvor t∈R.

4. Afstanden mellem kugle og plan kan findes som afstanden mellem planen og kuglens centrum minus kuglens radius.

   Formlen for afstanden mellem punktet (x₀,y₀,z₀) og planen a·x + b·y + c·z + d = 0 er

   

   Tallene indsættes, og man får følgende afstand mellem kuglens centrum (2,-1,1) og planen (1·x + 1·y + (-2)·z + 8 = 0):

   

   Dvs. afstanden mellem kuglen og planen er 2,8577 - 2 = 0,8577

   Geogebra.

   Man opretter en ret linje gennem centrum af kuglen vinkelret på planen α. Skæringspunkterne mellem kuglen og linjen findes. Afstanden mellem skæringspunktet i planen (A) og det nærmeste skæringspunkt på kuglen (B) måles til 0,858.

   

Svar på opgave 14:

2D løsning med trigonometri

For at lave en 2D løsning, så lægger man et lodret plan gennem toppunktet parallelt med x-aksen. Skæringspunkterne mellem denne plan og pyramidens grundflade kaldes E og F. Dette er vist nedenunder. Skæringspunktet mellem grundfladens diagonaler kaldes G.

1. Man betragter snittet mellem planen og pyramiden, der er ΔEFT. Dette er vist nedenunder.

   

   Man skal finde ∠F i ΔFGT. Det ses, at ΔFGT er en retvinklet trekant, hvor ∠G er den rette vinkel. Der gælder for ∠F, at tan(∠F) = |GT|/|FG| ⇒ ∠F = tan^-1(|GT|/|FG|) ⇒ ∠F = tan^-1(4/1,5) = 1,2121.

   Dette omskrives fra radianer til grader: ∠F = 1,2121·(180°/π) = 69,4°

2. Man betragter den sideflade, der består af ΔBCT. Midtpunktet mellem B og C er E. Højden i trekant BCT er |ET|. Denne længde findes ud fra ΔFGT som er vist overnfor ved hjælp af Pythagoras læresætning: |ET|² = |FG|² + |GT|² ⇒ |ET|² = 1,5² + 4² ⇒ |ET| = √[18,25] = 4,272.

   

   Arealet af ΔBCT = 0,5·|BC|·|ET| = 0,5·3·4,272 = 6,41

3D løsning med vektorer

1. Vinklen mellem grundfladen og en sidefladen er lig med den spidse vinkel mellem de planer, som fladerne ligger i. Denne vinkel bestemmes igen som den mindste vinkel mellem de to planers normalvektorer.

   Ti-Nspire:

   Man finder vinklen mellem planerne ud fra vinklen mellem deres normalvektorer.

   Trekant ABT ligger i et plan der har vektoren AB×AT som normalvektor. XY-planen har (0,0,1) som normalvektor.

   Man indfører følgende koordinater: A = (0,0,0), B = (3,0,0) og C = (3,3,0). Toppunktet har koordinaterne T = (1,5;1,5;4), dvs. x- og y-koordinaten er en halv sidelængde af grundfladen og z-koordinaten er lig med højden af pyramiden.

   AB×AT = (3,0,0)×(1,5;1,5;4). Dette beregnes:

   crossP([3,0,0],[1.5,1.5,4]) ▸ [0.,−12.,4.5]

   Vinklen mellem (0;-12;4,5) og (0,0,1) beregnes:

   

   Dette omregnes fra radianer til grader: 1,212·(180°/π) = 69,4°

   Maple:

   Man bruger FindAngle()-kommandoen.

   with(geom3d): (Kald 3d geometri-pakken)

   point(A, 0, 0, 0) = A (Opret punktere A, B, C og T. Disse bruges til at oprette planerne)

   point(B, 3, 0, 0) = B

   point(C, 0, 3, 0) = C

   point(T, 1.5, 1.5, 4) = T

   plane(abt, [A, B, T]) = abt (Opret planen, som sidefladen ΔABT ligger i)

   plane(xy, [A, B, C]) = xy (Opret xy-planen)

   convert(FindAngle(abt, xy), degrees) = 69.442 degrees (Vinklen mellem planerne findes og omregnes til grader).

   Dvs. vinklen mellem bund og sideflade er 69,4°

2. Ti-Nspire:

   I Ti-Nspire benyttes, at arealet af trekant ABT er halvdelen af længden af krydsproduktet af to vektorer, der udspæner den. Dvs. arealet af ΔABT er 0,5·|AB×AT|.

   Længden af denne vektor er: norm([0.,−12.,4.5]) ▸ 12,816

   Arealet af trekant ABT er 0,5·12,816 = 6,41

   Maple:

   I Maple opretter man en trekant ud de punkter der udgør dens hjørner. Dernæst findes arealet af trekanten med area() kommandoen. (Allerede brugte kommandoer er nedtonet.)

   with(geom3d):

   point(A, 0, 0, 0) = A

   point(B, 3, 0, 0) = B

   point(T, 1.5, 1.5, 4) = T

   triangle(ABT, [A, B, T]) = ABT (Trekant ABT oprettes)

   area(ABT) = 6.4080 (Arealet af ΔABT beregnes)

   Dvs. arealet af en sideflade er 6,41

Svar på opgave 15:

1. Linjen l ligger i α, hvis (2,2,0) ligger i planen, og hvis l's retningsvektor er vinkelret på planens normalvektor.

   Punktet (x,y,z) = (2,2,0) ligger i α idet 1·2 + 2·2 + 1·0 - 6 = 0. (Hvis det ikke var tilfældet, så ville l enten skære α eller være parallel med den).

   Linjen l har retningsvektoren r = (k,0,2). (Det er den vektor som ganges med t i parameter­fremstillingen).

   Planen har normalvektoren n = (1,2,1). (Dette ses af koefficienter til x, y og z i 1x + 2y + 1z - 6 = 0).

   Det ses at r og n begge er egentlige vektorer uanset k.

   Man har nu, at r er vinkelret på n ⇔ r·n = 0 ⇒ (k,0,2)·(1,2,1) = 0 ⇔ k·1 + 0·2 + 2·1 = 0 ⇔ k = -2

   Dvs. l ligger i planen α, når k = -2

Svar på opgave 16:

1. Da firkant ABCD ikke er et parallelogram, så udspændes det ikke af to vektorer, og man kan derfor ikke bruge reglen om, at arealet af et parallelogram er længden af krydsproduktet af de vektorer, som udspænder det.

   I stedet må man dele firkanten op i to trekanter og lægge disses arealer sammen. Man deler ABCD op i trekanterne ABD og BCD.

   

   Ti-Nspire:

   Man bruger reglen om, at arealet af en trekant er halvdelen af længden af krydsproduktet af de vektorer, som udspænder det.

   Trekant ABD udspændes af vektorerne AB og AD, mens trekant BCD udspændes af CB og CD.

   Det betyder, at arealet af ΔABD = 0,5·|AB×AD| og arealet af ΔBCD = 0,5·|CB×CD|.

   Man opretter punkterne A-E som stedvektorer:

   a:=[−30,−24,−18] ▸ [−30,−24,−18]

   b:=[−6,9,27] ▸ [−6,9,27]

   c:=[25,21,17] ▸ [25,21,17]

   d:=[21,−9,−45] ▸ [21,−9,−45]

   e:=[10,−24,9] ▸ [10,−24,9]

   Krydsprodukterne beregnes:

   crossP(b-a,d-a) ▸ [−1566,2943,−1323] (krydsproduktet AB×AD)

   crossP(b-c,d-c) ▸ [1044,−1962,882] (krydsproduktet CB×CD)

   norm([−1566,2943,−1323.]) ▸ 3586.63 (længden af AB×AD)

   norm([1044,−1962,882.]) ▸ 2391.09 (længden af CB×CD)

   0.5*(3586.63+2391.09) ▸ 2988.86 (arealet af ABCD er summen af de halve længder af kryds­produkterne)

   Dvs. arealet af firkant ABCD er 2988,9

   Maple:

   with(geom3d)

   point(A, -30, -24, -18) ↵ A (opret punktet A)

   point(B, -6, 9, 27) ↵ B (opret punktet B)

   point(C, 25, 21, 17) ↵ C (opret punktet C)

   point(_D, 21, -9, -45) ↵ _D (opret punktet _D. Bemærk at "D" er et reserveret ord i geom3d)

   triangle(ABD, [A, B, _D]) ↵ ABD (opret trekant ABD)

   triangle(BCD, [B, C, _D]) ↵ BCD (opret trekant BCD)

   evalf(area(ABD)+area(BCD)) ↵ 2988.9 (Beregn arealerne af de to trekanter og læg dem sammen)

2. Ti-Nspire:

   Tetraederet udspændes af vektorerne AB, AD og AE. Dets rumfang er en sjettedel af rumproduktet af de tre vektorer, dvs. rumfang af tetraeder ABDE = (1/6)·|AE·(AB×AD)|

   Dette beregnes: (1./6)*abs(dotP(e-a,crossP(b-a,d-a)) ▸ 16393.5

   Dvs. tetraederen ABDE har rumfanget 16394

   Maple:

   Tetraederet udspændes af punkterne A, B, D og E. Man får:

   with(geom3d);

   point(A, -30, -24, -18) ↵ A (opret punktet A)

   point(B, -6, 9, 27) ↵ B (opret punktet B)

   point(_D, 21, -9, -45) ↵ _D (opret punktet _D. Bemærk igen at "D" er et reserveret ord i geom3d)

   point(E, 10, -24, 9) ↵ E (opret punktet E)

   gtetrahedron(T1, [A, B, _D, E]) ↵ T1 (opret tetraeder og kald det T1)

   1.*volume(T1) ↵ 16394. (rumfanget af tetraederet T1 beregnes med volume()-kommandoen)

Svar på opgave 17:

1. Arealet af et rektangel er længde gange bredde, der her svarer til x·f(x) = x·(2 - x²) = 2x - x³.

   Dvs. arealfunktionen er a(x) = 2x - x³

2. Uden CAS:

   Man skal finde størsteværdien af a(x) i intervallet 0 ≤ x ≤ √2.

   Man undersøger monotoniforholdene for a(x) for at se om, den har ekstremum i intervallet:

   a'(x) = 2 - 3x².

   a'(x) = 0 ⇒ 2 - 3x² = 0 ⇒ x = 0,8165

   a'(0) = 2 (dvs. a(x) er voksende før x = 0,8165)

   a'(1) = -1 (dvs. a(x) er aftagende efter x = 0,8165)

   Denne monotoniundersøgelse viser, at x = 0,81650 er et maksimum.

   Dermed antager arealet af rektanglet sin størsteværdi i x = 0,8165

Svar på opgave 18:

1. Længderne h, s og 0,5·r danner siderne i en retvinklet trekant som vist.

   

   Man bruger Pythagoras læresætning og finder:

   

2. Nedenstående tegning viser en generel keglestub.

   

   Rumfang af keglestub: (1/3)·π·h·((r_bund)² + (r_top)² + r_bund·r_top)

   Man opskriver rumfangsformlen for den denne kegle, sætter den lig 35 og isolerer h:

   Ti-Nspire: solve((1/3)·h·π·(r² + (r/2)² + r²/2)=35,h) ▸ h=60/(π·r²)

   Maple: solve((1/3)·h·π·(r²+((1/2)·r)²+(1/2)·r²) = 35, h) ↵ 60/(π·r²)

   h = 60/(π·r²) dm

3. Ved hjælp af tegningen fra foregående spørgsmål og oplysningerne i opgaven får man:

   Arealet af bundfladen er π·(r_bund)² = π·r².

   Arealet af topfladen er π·(r_top)² = (1/4)·π·r².

   Arealet af den krumme flade er π·(r_bund + r_top)·√[h² + (r_bund - r_top)²] = (3/2)·π·r·√[h² + (1/4)·r²].

   Det samlede overfladeareal er (5/4)·π·r² + (3/2)·π·r·√[h² + (1/4)·r²].

   Heri indsættes h = 60/(π·r²) og man får: (5/4)·π·r² + (3/2)·π·r·√[(60/(π·r²))² + (1/4)·r²]

4. Man finder det r, der giver mindsteværdien af dette udtryk for positive værdier af r:

   Ti-Nspire: fMin((5./4)*π*r²+(3/2)*π*r*sqrt((60/(π*r²))²+(1/4)*r²),r)|r>0 ▸ r=2.13127

   Maple: minimize((5.*(1/4))*π*r²+(3/2)*π*r*sqrt((60/(π*r²))²+(1/4)*r²), r > 0, location) ↵

   61.400, {[{r = 2.1313}, 61.400]}

   r_min = 2,131 dm

Svar på opgave 19:

1. Funktionerne oprettes:

   Ti-Nspire:

   f(x):=0.5*x²-2*x+3 ▸ Udført

   g(x):=−x²+3*x+1 ▸ Udført

   Maple:

   f(x):=0.5*x²-2*x+3 ↵ x → 0.5*x²-2*x+3

   g(x):=-x²+3*x+1 ↵ x → -x²+3*x+1

   Man finder x-værdierne for skæringspunkterne:

   Ti-Nspire: solve(f(x)=g(x),x) ▸ x=0.464816 or x=2.86852

   Maple: solve(f(x)=g(x)) ↵ 0.464816, 2.86852

   Dvs. graferne for f og g skærer hinanden for x = 0,46482 eller x = 2,8685

2. Arealet af M er integralet af g(x) minus f(x) mellem x-værdierne af skæringspunkterne.

   Både i Ti-Nspire og Maple:

   

   Dvs. arealet af M er 3,472

3. Man bruger formlen for rumfanget af et omdrejningslegeme ved rotation på 360° om x-aksen:

   Både i Ti-Nspire og Maple:

   

   Dvs. rumfanget af omdrejninglegemet er 45,085

Svar på opgave 20:

1. I CAS skrives dy/dx som y'.

   Ti-Nspire: deSolve(y'=2*x*y,x,y) ▸ y=c1·e^x2

   Maple: dsolve(y'=2*x*y) ↵ y(x)=_C1·e^x2

   Den fuldstændige løsning er y(x) = C·e^x2, C∈R.

2. Den løsning, der går gennem (x,y) = (1,1), har C = 1/e. Grafen for x ≥ 0 er tegnet nedenfor:

   

Svar på opgave 21:

1. Man skal finde størstværdien for dy/dx = y·(3 - y) = 3y -y².

   Andengradspolynomiet a·y² + b·y har toppunkt for y = -b/(2a). Dette giver her, at dy/dx har toppunkt for y = 3/2, der er maksimum eftersom a < 0.

   Dvs. y(x) vokser hurtigst, når y = 3/2 = 1,5

   (det forudsættes, at y(0) er mindre end denne værdi, ellers ville den største vækst forekomme i y(0)).

2. Løsning i CAS:

   Ti-Nspire: deSolve(y'=y*(3-y) and y(0)=0.1,x,y) ▸ y=3.0*e^3*x/(e^3*x+29.)

   Maple: dsolve({y'=y*(3-y),y(0)=0.1}) ↵ y(x) = 3/(1+29*exp(-3*x))

   Dvs. løsningen er y(x) = 3/(1 + 29·e^-3x), x ≥ 0.

3. For x gående mod uendelig, så går e^-3x mod 0.

   Dermed vil y(x) gå mod 3/(1 + 29·0) = 3 for x → ∞

   Nedenunder er vist en graf for løsningen: