Svar på opgave 1:

1. Vektorerne a og b er parallelle, hvis de er forskellige fra nulvektoren, og hvis â·b = 0, hvor â er tværvektoren til a. Man får:

   â·b = 0 ⇒

   (-5,4)·(16,k) = 0 ⇔

   -5·16 + 4·k = 0 ⇔

   k = 5·16/4 ⇔

   k = 20

Svar på opgave 2:

1. Aftagende lineær betyder, at f(x) = ax + b, hvor a < 0.

   Man får: f(x) = -22000·x + 334000, hvor f(x) er salget af vin i liter og x er antallet af år efter 1990.

Svar på opgave 3:

1. (a + b)·(a - b) + b·(b + 2·a) =

   a² - b² + b·(b + 2·a) =

   a² - b² + b² + 2·a·b =

   a² + 2·a·b

Svar på opgave 4:

1. f´(x) = 2x·ln(x) + x²·(1/x) + 4·4·x³ = 2·x·ln(x) + 20·x³ + x

   Dvs. f´(1) = 2·1·ln(1) + 20·1³ + 1 = 21

Svar på opgave 5:

1. Man skal løse ligningen f(x) = g(x) med hensyn til x og får:

   f(x) = g(x) ⇒

   -x + 7 = x² + 1 ⇔

   (-1)·x² + (-1)·x + 6 = 0 ⇔

   x = -1/2 ±(1/2)·√[1 + 4·6]

   x = -1/2 ±(1/2)·5

   x = -1/2 - 5/2 ∨ x = 1/2 + 5/2

   x = -3 ∨ x = 2

   Skæringspunkterne er (x,y) = (-3,f(-3)) = (-3,9) eller (x,y) = (2,f(2)) = (2,5)

   Nedenfor er de to grafer tegnet i Ti-Nspire (g er rød og f er blå).

   

Svar på opgave 6:

1. Tangenten har ligningen y = f´(2)·(x - 2) + f(2).

   f(2) = 4, som er andenkoordinaten til P.

   f´(2) er lig med dy/dx for x = 2 og y = 4, som er: (4 - 4²)/2 = -6.

   Dvs. tangentens ligning i P er y = -6·(x - 2) + 4 ⇔ y = -6x + 16

Svar på opgave 7:

1. I Ti-Nspire laver man en liste med tiden i timer:

   tid:={1,2,3,4,5} ▸ {1,2,3,4,5}

   Dernæst laves en liste med tilhørende temperaturer

   temperatur:={14.9,15.8,16.9,18.4,20.3} ▸ {14.9,15.8,16.9,18.4,20.3}

   Man laver en eksponentiel regression i Ti-Nspire ved hjælp af kommandoen Beregninger ▸ Statistik ▸ Statistiske beregninger ▸ Eksponentiel regression...(vælg lister) og får:

   ExpReg tid,temperatur,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results ▸
   [["Titel","Eksponentiel regression"]
   ["RegEqn","a*b^x"]
   ["a",13.6137]
   ["b",1.08013]
   ["r²",0.988744]
   ["r",0.994356]
   ["Resid","{...}"]
   ["ResidTrans","{...}"]]

   Af dette ses, at a = 1,080 og b = 13,61 (Ti-Nspire bruger a og b modsat opgaven.)

   (Hvis man er i tvivl kan man udskrive regressionsfunktionen, som Ti-Nspire har oprettet: f1(t) ▸ 13.6137*(1.08013)^t. Dens navn fremgår af kodestumpen: "...CopyVar stat.RegEqn,f1:...")

2. Man skal bestemme f(6) og får:

   f1(6) ▸ 21.619

   Dvs. temperaturen er 21,6 °C, når der er gået 6 timer siden start.

3. Man skal løse ligningen f(t) = 25 med hensyn til t. Dette gøres i Ti-Nspire:

   solve(f1(t)=25,t) ▸ t=7.8847

   Dvs. der går 7,9 timer før temperaturen er 25 °C.

   a er fremskrivningsfaktoren, der er det tal som temperaturen hver time skal ganges med for at få den nye times temperatur.

Svar på opgave 8:

1. Man opretter f(x) i Ti-Nspire:

   f(x):=x³-7*x²+8*x+16 ▸ Udført

   Man skal løse ligningen f(x) = 0 med hensyn til x. Dette gøres i Ti-Nspire:

   solve(f(x)=0,x) ▸ x=−1 or x=4

   Dvs. nulpunkterne for f er x = -1 eller x = 4

2. Man skal lave en fortegnsundersøgelse for f´(x). Dette gøres i Ti-Nspire:

   solve(derivative(f(x),x)<0,x) ▸ (2/3)<x<4 (f´ er negativ for 2/3 < x < 4)

   solve(derivative(f(x),x)≥0,x) ▸ x≤(2/3) or x≥4 (f´ er positiv for x ≤ 2/3 eller x ≥ 4)

   Dette giver følgende monotoniforhold for f:

   f er voksende for x ≤ 2/3, f er aftagende for 2/3 < x < 4 og f er voksende for x ≥ 4

   Nedenfor er grafen for f vist i Ti-Nspire.

   

3. Området M ligger under grafen for f mellem dets nulpunkter som vist nedenunder.

   

   Man finder rumfanget af omdrejningslegemet i Ti-Nspire ved at integrere f(x)² mellem x = -1 og x = 4 og gange integralet med π:

   π*integral((f(x))²,x,−1.,4) ▸ 2337.49

   Dvs. rumfanget af omdrejningslegemet er 2337,5

Svar på opgave 9:

1. Man skal løse de sammenhørende ligninger: (x + 2)² + (y - 5)² = 25 og 4x - 3y + k = 0, hvor k = 23. Dette gøres i Ti-Nspire:

   solve((x+2)²+(y-5)²=25 and 4*x-3*y+k=0 and k=23,x,y) ▸ x=−5 and y=1 and k=23 or x=1 and y=9 and k=23

   Dvs. skæringspunkterne mellem cirklen og linjen er (x,y) = (-5,1) eller (x,y) = (1,9)

   Skæringspunkterne er vist nedenunder i Ti-Nspire:

   

2. Man isolerer y i linjens ligning og får: 4x - 3y + k = 0 ⇒ y = (4x + k)/3. Dette udtryk indsættes i cirklens ligning, som omskrives til en andengradsligning på standardform:

   (x+2)² + ((4x + k)/3) - 5)² = 25 ⇔

   (25/9)·x² + (8·k/9 - 28/3)·x + k²/9 - 10·k/3 + 4 = 0

   Denne andengradsligning har diskriminanten: (8·k/9 - 28/3)² - 4·(25/9)·(k²/9 - 10·k/3 + 4).

   Man skal finde de k-værdier, der gør, at diskriminanten er 0. Det vil igen sige, at man skal løse følgende andengradsligning med hensyn til k:

   (8·k/9 - 28/3)² - 4·(25/9)·(k²/9 - 10·k/3 + 4) = 0. Dette gøres i Ti-Nspire:

   solve((8*k/9-28/3)²-4*(25/9)*(k²/9-10*k/3+4)=0,k) ▸ k=−2 or k=48

   Dvs. de værdier af k, der giver linjer, der tangerer cirklen, er k = -2 eller k = 48

   Linjerne er vist på figuren nedenunder (linjen for k = -2 er rød, mens linjen for k = 48 er sort).

   

Svar på opgave 10:

1. Man finder væksthastigheden efter 5 døgn ved at indsætte t = 5 i formlen: 0,195·exp(−0,0426·5)·0,125 kg/døgn = 0,0197 kg/døgn

2. Man løser differentialligningen i Ti-Nspire med hensyn til M(t).

   deSolve(m'=0.195*exp(−0.0426*t)*m and m(5)=0.125,t,m) ▸ m=5.05241*(0.010281)^(0.958295)t

   Dvs. M(t) = 5,052·(0,01028)^(0,9583)t

   For at finde kyllingens alder, når den vejer 2 kg, skal man løse ligningen M(t) = 2 med hensyn til t. Dette gøres i Ti-Nspire.

   solve(5.052*(0.01028)^(0.9583)t=2,t) ▸ t=37.5016

   Dvs. kyllingen er 37,5 døgn gammel, når den vejer 2 kg.

Svar på opgave 11:

1. Linjen går gennem punktet (1,0,-2) og har retningsvektoren (1,1,2). Dette giver følgende parameterfremstlling for l: (x,y,z) = (1,0,−2) + t·(1,1,2), hvor t er et reelt tal.

   Vinklen mellem linjen og xy-planen findes ud fra vinklen mellem retningsvektoren for l og normalvektoren for xy-planen. YX-planen har normalvektoren (0,0,1). Vinklen mellem vektorerne (1,1,2) og (0,0,1) findes i Ti-Nspire:

   solve(cos(x*1.°)=dotP([1,1,2],[0,0,1])/(norm([1,1,2])*norm([0,0,1])),x)|0<x<90 ▸ x=35.2644

   Da normalvektoren til planen står vinkelret på planen, får man at vinklen mellem linjen og planen er 90° - 35,26° = 54,7°

   Opgaven er som kontrol løst nedenunder i Geogebra.

   

2. Man sætter parameterfremstillingerne for de to linjer lig med hinanden og løser den fremkomne ligning i Ti-Nspire med hensyn til k:

   solve([1,0,−2]+t*[1,1,2]=[4,0,0]+s*[k,2,3],k) ▸ k=1/2 and s=2 and t=4

   Dvs. den k-værdi, der gør, at linjerne skærer hinanden er k = 1/2

Svar på opgave 12:

1. En løsning lavet i Ti-Nspire er vist i skemaet nedenunder:

   

   Højre kolonne øverst: I alt 1400·88,5 % = 1239 har sagt ja

   Højre kolonne næstøverst: I alt 1400·11,5 % = 161 har sagt nej.

   Nederste række, første felt: der er i alt 760 kvinder.

   Nederste række, andet felt: der er i alt 640 mænd.

2. De forventede værdier er vist i skemaet nedenunder:

   

   Forventet værdi af kvinder, der siger ja er 760·1239/1400 = 672,6

   Forventet værdi af kvinder, der siger nej er 760·161/1400 = 87,4

   Forventet værdi af mænd, der siger ja er 640·1239/1400 = 566,4

   Forventet værdi af mænd, der siger nej er 640·161/1400 = 73,6

Svar på opgave 13:

1. Vinkel B = 180° - 90° - 30° = 60°

   Der er tale om en 30-60-90 trekant. I den gælder, at længden af hypotenusen er to gange længden af den korteste katete, dvs. |AB| = 2·|BC|. Ved hjælp af Pythagoras læresætning finder man |BC| i Ti-Nspire:

   solve(cb²+(10.)²=(2*cb)² and cb>0,cb) ▸ cb=5.7735

   Dvs. |BC| = 5,77 og |AC| = 2·5,774 = 11,6

2. For de ensvinklede trekanter ABC og ADF gælder: |AD|/|AC| = |DF|/|BC| ⇒ (10 - x)/10 = x/5,7735 ⇔ 10 - x = (10/5,7735)·x ⇔ x·(1 + 10/5,7735) = 10 ⇔ x = 10/(1 + 10/5,7735) ⇔ x = 3,66025.

   Dvs. |DF| = 3,66

Svar på opgave 14:

1. Arealet af M er integralet af f fra x = 0 til x = 2, der er det x, hvor f skærer den positive del af x-aksen.

   integral(−x²+4.,x,0,2) ▸ 5.33333

   Dvs. arealet af M er 5,33

2. Man opretter T(a) i Ti-NSpire:

   t(a):=(a²+4.)²/(4*a) ▸ Udført

   Man finder den værdi af a, som giver det mindste areal ved hjælp af fMin-kommandoen i Ti-Nspire:

   fMin(t(a),a)|0<a<2 ▸ a=1.1547

   Løsning i Maple:

   

   Dvs. a = 1,155 giver det mindste areal for trekant OQR.

3. Man finder ligningen for tangenten til f for x = a ved hjælp af kommandoen tangentLine() i Ti-Nspire:

   y=tangentLine(−x²+4,x,a) ▸ y=−2*a*x+a²+4

   Denne ligning bruges til at finde x-værdien for Q og y-værdien for R udtrykt ved a.

   Q's x-værdi udtrykt ved a findes ved at løse ligningen −2ax + a² + 4 = 0 med hensyn til x. Det gøres i Ti-Nspire:

   solve(−2*a*x+a²+4=0,x) ▸ x=(a²+4)/(2*a)

   R's y-værdi findes ved at indsætte x = 0 i tangentens ligning: −2a·0 + a² + 4 = a² + 4

   Arealet er en halv gange Q's x-værdi gange R's y-værdi. Det giver:...

   T(a) = (1/2)·[(a² + 4)/(2·a)]·(a² + 4) = (a² + 4)²/(4·a)