Svar på opgave 1:

1. Forskrifte for f er: f(x) = ax + b. Koefficienten a er linjens hældning og findes ud fra punkterne: a = (1-17)/(-3-5) = -16/-8 = 2.

   Man indsætter a = 2: f(x) = 2x + b. Koefficienten b findes ved at indsætte (-3,1) i forskriften:

   f(-3) = 2·(-3) + b ⇒ 1 = -6 + b ⇒ b = 7. Man får

   f(x) = 2x + 7

Svar på opgave 2:

1. Arealet er den numeriske værdi af determinanten af a og b. Dette giver

   |det(a,b)| = |â·b| = |(-2,5)·(1,-4)| = |-2-20| = 22

Svar på opgave 3:

1. Koefficienten a er positiv, fordi parablens grene vender opad.

   b er positiv, fordi parablens hældning ved skæringen med y-aksen er positiv.

   c er positiv, fordi parablen skærer y-aksen i en værdi, der er positiv.

   Diskriminanten er negativ, fordi parablen ikke skærer x-aksen.

Svar på opgave 4:

1. En vilkårlig stamfunktion til f(x) kaldet F(x) er det ubestemte integrale af f(x), dvs. F(x) = 4x - x³ + k, hvor k er en konstant.

   For at F skal gå i gennem P(2,5) skal der gælde: F(2) = 5 ⇒ 4·2 - 2³ + k = 5 ⇒ k = 5.

   Dvs. stamfunktionen er 4x - x³ + 5

Svar på opgave 5:

1. Man skal finde fortegn for f´(x). Man får at f´(x) = 3x² + 6x - 9.

   f´(x) har nulpunkterne: 3x² + 6x - 9 = 0 ⇔

   x = (-6 ± √[36 + 108])/6 ⇔

   x = (-6 ± √144)/6 ⇔

   x = (-6 ± 12)/6 ⇔

   x = -3 ∨ x = 1

   f´(x) er en parabel der vender grenene opad, derfor er f´(x) mindre end 0 for -3 < x < 1 og større end 0 ellers. Man får monotoniforholdene:

   f(x) er voksende for x < -3

   f(x) er aftagende for -3 < x < 1

   f(x) er voksende for 1 < x

Svar på opgave 6:

1. Trekantens areal er 0,5·(katete 1)·(katete 2) = 0,5·x·(4 - x)

   T(x) er en parabel, der vender grenene nedad, dvs toppunktet markerer dens maksimumsværdi. Man skal derfor finde x-værdien for parablens toppunkt. T(x) = -0,5·x² + 2x.

   x_T = -2/[2·(-0,5)] = 2

   Dvs. trekanten antager sin maksimumsværdi for x = 2

Svar på opgave 7:

1. Man opretter to lister med data for henholdsvis år og antal næsehorn:

   aar:={0,1,2,3,4,5,6,7,8} ▸ {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

   antal:={10,13,24,13,83,122,333,448,668} ▸ {10,13,24,13,83,122,333,448,668}

   Man bruger kommandoen for eksponential regression på de to lister:

   ExpReg aar,antal,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results ▸

   [["Titel","Eksponentiel regression"]
   ["RegEqn","a*b^x"]
   ["a",6.8325392226146]
   ["b",1.7897809103208]
   ["r²",0.92807041615323]
   ["r",0.96336411400531]
   ["Resid","{...}"]
   ["ResidTrans","{...}"]]

   Her aflæses a til 1,790 og b til 6,833

   Bemærk at Ti-Nspire bruger a og b i modsat betydning af opgaven.

2. Konstanten a er fremskrivningsfaktoren, som antallet af dræbte næsehorn fra forrige år ganges med for at få det nye års antal.

3. Antallet af dræbte næsehorn i 2013 er i følge modellen 6.8325·1.7898^(2013-2004) = 6.8325·1.7898⁹ = 1288

Svar på opgave 8:

1. CE er hypotenusen i en retvinklet trekant med kateterne (11 - 6) = 5 og 13.

   

   Ved hjælp af Pythagoras læresætning får man:

   |CD| = sqrt(5²+13²) = 13,93

2. Arealet af trekant CDE = 0,5·højde·grundlinje = 0,5·højde·|CE| = 0,5·13,93·højde = 6,9642·højde.

   Højden findes som |CD|·sin(∠DCE). ∠DCE = 180° - 151° - 13° = 16°

   Dvs. Højde = |CD|·sin(16°) = 0,2756·|CD|

   |CD|, som kaldes x, findes ved hjælp af en sinusrelation:

   solve(x/sin(13*1.°)=13.93/sin(151*1.°),x) ▸ x=6.463

   Højden er 0,2756·6,463 = 1,7814

   Arealet af trekanten er 6,9642·1,7814 = 12.41

Svar på opgave 9:

1. Punkterne oprettes som stedvektorer:

   a:=[5,3,3] ▸ [5,3,3]

   b:=[3,5,3] ▸ [3,5,3]

   c:=[0,0,6] ▸ [0,0,6]

   d:=[5,0,3] ▸ [5,0,3]

   e:=[0,5,3] ▸ [0,5,3]

   Vektorerne AB og AC oprettes ligeledes:

   ab:=b-a ▸ [−2,2,0]

   ac:=c-a ▸ [−5,−3,3]

   Normalvektoren til α findes ud fra krydsproduktet mellem vektor AB og vektor AC

   abxac:=crossP(ab,ac) ▸ [6,6,16]

   Denne vektor divideres igennem med 2 for at få så små hele tal som muligt.

   n:=(abxac/2) ▸ [3,3,8]

   α's ligning findes ved ligningen: n·AX=0, hvor AX er en vektor fra punktet A til X=(x,y,z), der er et vilkårligt punkt i planen α

   dotP(n,[x,y,z]-a)=0 ▸ 3*x+3*y+8*z-48=0

   Dvs. α's ligning er 3x + 3y + 8z - 48 = 0

2. Normalvektoren til β aflæses af β's ligning til m = (9,0,15).

   Den stumpe vinkel (som kaldes v) mellem α og β findes som den stumpe vinkel mellem deres normalvektorer. Man bruger kommandoen:

   solve(cos(v*1.°)=−abs(dotP(n,m))/(norm(n)*norm(m)),v)|0<v<180 ▸ v=158.1

   Dvs. den stumpe vinkel mellem α og β er 158,1°

3. Arealet af trekanterne findes som halvdelen af længden af krydsproduktet af de to vektorer, der udspænder trekanterne hver især. Til dette lægges arealet af de kvadratiske flader. Man definerer først de vektorer, der udspæner trekanterne:

   cd:=d-c ▸ [5,0,−3]

   ca:=a-c ▸ [5,3,−3]

   cb:=b-c ▸ [3,5,−3]

   ce:=e-c ▸ [0,5,−3]

   Arealet beregnes ved hjælp af kommandoen:

   0.5*norm(crossP(cd,ca))+0.5*norm(crossP(ca,cb))+0.5*norm(crossP(cb,ce))+2*3*3 ▸ 44.55

   Dvs. glasfladernes areal er 44,55

Svar på opgave 10:

1. Man bruger desolve() kommandoen med startbetingelsen p(0) = 12

   deSolve(p'=0.0015*p*(150-p) and p(0)=12,t,p) ▸ p=150.*1.2523^t/(1.2523^t+11.5)

   Dvs. P(t) = 150·1,2523^t/(1,2523^t + 11,5) = 150/(1 + 11,5·1,2523^-t)

   Man findes tidspunktet ved hjælp af solve():

   solve(p(t)=80,t) ▸ t=11.45

   Dvs. der går 11,5 uger før antallet af guppyer er oppe på 80.

2. Nedenunder er P(t) tegnet for 0<t<50 i Geogebra:

   

   Den øvre grænse er 150 guppyer som er den værdi, som P(t) går mod for t gående mod uendelig.

3. Man bruger kommandoen:

   fMax(derivative(p(t),t),t) ▸ t=10.85

   Dvs. væksthastigheden er størst efter 10,9 uger

Svar på opgave 11:

1. Man skal finde L(75) under de givne forudsætninger for d og r₀:

   l(n):=π*d*n^(2)+2*π*r_0*n ▸ Udført

   l(75)|d=0.1 and r_0=25 ▸ 13548.1

   Længden af tapen bliver 13.548 mm

2. Man bruger solve kommandoen:

   solve(l(n)=50000,n)|d=0.1 and r_0=25 and n>0 ▸ n=220.80

   Antallet af viklinger er 221

Svar på opgave 12:

1. (Grafen er tegnet nedenunder i Geogebra).

   

   Man bruger solve-kommandoen til at finde tidspunkterne:

   solve(f(t)=12,t)|0≤t≤20 ▸ t=7.0759 or t=17.058

   Det giver at spændinge er 12V til tidspunkterne t = 7,08 sek. og t = 17,1 sek.

2. f'(x) beregnes til

   derivative(f(t),t)|t=15 ▸ −0.5043

   f´(15) = -0,50 V/sek.

   Det er det, som spændingen ændres pr. tidsenhed efter 15 sekunder.

Svar på opgave 13:

1. Nulhypotesen er, at stikprøvens afvigelse fra populationen kan forklares ved tilfældigheder

   Man opretter en liste med observerede hyppigheder:

   observeret:={21,39,51,30,24} ▸ {21,39,51,30,24}

   Man opretter en liste med forventede frekvenser:

   forventet_fre:={(18.1)%,(20.3)%,(22.6)%,(20.)%,(19.)%} ▸ {0.181,0.203,0.226,0.2,0.19}

   Man opretter en liste med forventede hyppigheder som er lig med 1005 gange listen over forventede frekvenser:

   forventet_hyp:=sum(observeret)*forventet_fre ▸ {29.865,33.495,37.29,33.,31.35}

   Man laver en chi-i-anden goodness-of-fit test på listerne observeret og forventet_hyp:

   χ²GOF observeret,forventet_hyp,4: stat.results ▸
   
   [["Titel","χ²-Goodness of Fit test"]
   ["χ²",10.572748065011]
   ["PVal",0.031809522210631]
   ["df",4.]
   ["CompList","{...}"]]

   Man ser, at PVal = 0,032 = 3,2%. Da dette er mindre end 5%, forkastes nulhypotesen.

Svar på opgave 14:

1. Funktionerne defineres

   f(x):=−0.015625*x²+1.25*x+200 ▸ Udført

   g(x):=200-0.000032*x⁴ ▸ Udført

   Nulpunkerne findes med solve kommandoen

   solve(f(x)=0,x)|x≥0 ▸ x=160.

   solve(g(x)=0,x)|x≥0 ▸ x=50.

   Nulpunktet for f er x = 160 og nulpunktet for g er x = 50

2. Arealet deles op i to som vist i nedenstående figur, der er lavet i Geogebra.

   

   Første del er fra x = 0 til x = 50 (g's nulpunkt), hvor man beregner arealet mellem f og g. Anden del er arealet under kurven for f fra 50 til 160 (f's nulpunkt). Man får:

   integral(abs(f(x)-g(x)),x,0,50)+integral(abs(f(x)),x,50,160) ▸ 18666.67

   Dvs. arealet af M er 18667

Svar på opgave 15:

1. Funktionen defineres

   f(x):=−x²+3*x-2 ▸ Udført

   Ligningen for en tangent gennem et vilkårligt punkt x = d er:

   tangentLine(f(x),x,d) ▸ −(2*d-3)*x+d²-2

   Dvs. tangentens lignig er y = −2·x·d + 3·x + d² - 2.

   Man skal finde de tangenter, der går gennem (0,0), dvs. de tangenter, hvor y = −2·x·d + 3·x + d² - 2 = 0 ⇒ d² - 2 = ⇔ d = -√2 eller d = √2.

   De to tangenters ligninger findes ved følgende beregninger:

   y=−(2*d-3)*x|d=−sqrt(2.) ▸ y=5.8284*x

   y=−(2*d-3)*x|d=sqrt(2.) ▸ y=0.17157*x

   Dvs. tangenterne er y = 0,172·x og y = 5,83·x