Svar på opgave 1:

1. (a - b)(a + b) - 2a² + b² =

   a² - b² - 2a² + b² =

   -a²

Svar på opgave 2:

1. Man skal løse ligningsystemet

   2x - 3y = 1 ∧ x + 6y = 8 ⇔

   y = (2x-1)/3 ∧ x + 6·(2x-1)/3 = 8 ⇔

   y = (2x-1)/3 ∧ 5x - 2 = 8 ⇔

   y = (2x-1)/3 ∧ x = (8 + 2)/5 ⇔

   y = (2·2-1)/3 ∧ x = 2 ⇔

   x = 2 ∧ y = 1

   Dvs. skæringspunktet mellem linjerne er (x,y) = (2,1)

Svar på opgave 3:

1. Trekant ABC er retvinklet. Man skal finde kateten |BC| ved hjælp af Pythagoras læresætning. |AC| = 4, som det fremgår af nedenstående tegning.

   Afstanden fra stolpen til C er lig med afstanden fra A til stolpen, da stolpen er parallel med siden BC.

   

   4² + |BC|² = 5² ⇔

   |BC|² = 25 - 16 ⇔

   |BC| = √[9] ⇔

   |BC| = 3

Svar på opgave 4:

1. Man skal bestemme c, så diskriminanten (d) til andengradsligningen bliver nul. Man får:

   3x² - 2x + c = 0 ⇒ d = 2² - 4·3·c = 4 - 12c

   d = 0 ⇒ 4 - 12c = 0 ⇔ c = 1/3

   Dvs. andengradsligningen har netop een løsning, når c = 1/3

Svar på opgave 5:

1. Man skal gøre prøve for at se om venstre side af differentialligningen bliver lig med højre.

   Venstre side: f'(x) = e^x + (x + 1)·e^x = (x + 2)·e^x

   Højre side: f(x) + f(x)/(1+x) = (x + 1)·e^x + (x + 1)·e^x/(1+x) = (x + 2)·e^x

   Det ses, at venstre og højre side giver det samme og dermed er f(x) en løsning til differentialligningen.

Svar på opgave 6:

1. f vokser, aftager og vokser igen til sidst. Dvs. den afledede til f (f') er først positiv, derefter negativ og til sidst positiv.

   Desuden har f' nulpunkter der, hvor f har ekstremumspunkter.

   Dvs. g er den afledede funktion til f.

Svar på opgave 7:

1. Man opretter en liste over priser i Ti-Nspire:

   priser:={16,19,28,31,31,32,32,34,35,38,38,53,60,61,66} ▸ {16,19,28,31,31,32,32,34,35,38,38,53,60,61,66}

   Kvartilsættet aflæses af listen til:

   median = 34 (midterste element),

   nedre kvartil = 16 (midterste element mellem median og første element) og

   øvre kvartil = 53 (elementet midt mellem median og sidste element).

   Man kan også bruge Ti-Nspire kommandoen:

   OneVar priser,1: stat.results ▸

   

   Heraf aflæses det sammen kvartilsæt af Q₁X, MedianX og Q₃X. (Kommandoen findes under menuen: Beregninger ▸ Statistik ▸ Statistik med en variabel...antal lister: 1, priser)

   Boksplottet tegnes i Ti-NSpire (modulet: Tilføj diagrammer og statistik)

   

Svar på opgave 8:

1. Man opretter f(x) i Ti-Nspire:

   f(x):=(x³-8)*ln(x) ▸ Udført

   Man løser f(x) = 0 med solve-kommandoen

   solve(f(x)=0,x) ▸ x=1 or x=2

   Dvs. løsningen til f(x) = 0 er x = 1 ∨ x = 2

2. For at finde tangenten til grafen for f gennem punktet (1,f(1)) bruger man tangentLine-kommandoen (med "y=" foran):

   y=tangentLine(f(x),x,1) ▸ y=7-7*x

   Dvs. tangentens ligning er y = -7x + 7

Svar på opgave 9:

1. Man opretter listen med årstal (man husker at trække 2004 fra, så listen svarer til værdierne af x):

   årstal:={2004,2005,2006,2009,2010}-2004 ▸ {0,1,2,5,6}

   Man opretter derefter liten over brugere:

   brugere:={1,5.5,12,350,600} ▸ {1,5.5,12,350,600}

   ExpReg årstal,brugere,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results ▸

   [["Titel","Eksponentiel regression"]
   ["RegEqn","a*b^x"]
   ["a",1.393845]
   ["b",2.874887]
   ["r²",0.9885491]
   ["r",0.9942581]
   ["Resid","{...}"]
   ["ResidTrans","{...}"]]

   Af resultat-listen fremgår det, at a = 2,875 og b = 1,394, idet man husker at Ti-Nspire bruger a og b modsat opgaveteksten.

   Man kan også for at være sikker bruge kommandoen f1(x):

   f1(x) ▸ 1.393845*(2.874887)^x

   f1(x) er den regressionsfunktion, som Ti-Nspire selv opretter.

2. Fordoblingstiden findes ved hjælp af fomlen ln(2)/ln(a):

   ln(2)/(ln(2.87489)) ▸ 0.6563804

   Dvs. fordoblingstiden = 0,66 år

3. Antallet af Facebook-brugere i 2008 er

   f1(2008-2004) ▸ 95.21328

   Dvs. at antallet af Facebook-brugere i 2008 er 95,2 mio.

Svar på opgave 10:

1. ∠B i trekant ABD findes ved hjælp af en cosinusrelation, idet man kender alle sider i trekanten:

   solve(cos(x*1.°)=(11²+5²-7²)/(2*11*5),x)|0<x<180 ▸ x=28.13753

   Dvs. ∠B = 28,1°

2. ∠A findes ved en cosinusrelation, der bygger på trekant ABD.

   solve(cos(x*1.°)=(11²+7²-5²)/(2*11*7),x)|0<x<180 ▸ x=19.68505

   Dvs. ∠A = 19,7°

   For at bestemme |AC| beregner man først |CD|. For at beregne den skal man kende ∠C. Hertil benytter man reglen om at vinkelsumen i en trekant er 180°.

   ∠C = 180° - ∠BDC - ∠CBD =

   180° - (180° - ∠ADB) - ∠ ABD =

   180° - (180° - (180° - ∠A - ∠ABD)) - ∠ ABD =

   180° - 19.69° - 2·28.14° = 104.03°

   Nu kan |CD| beregnes ved hjælp af en sinusrelation:

   solve(x/sin(28.1°)=5/sin(104°),x) ▸ x=2.427156

   Dvs. |CD| = 2,427 og dermed er |AC| = |AD| + |CD| = 7 + 2,427 = 9,43

   Nedenunder er trekanten tegnet i Ti-Nspire.

   

Svar på opgave 11:

1. Centrum til cirklen aflæses af cirklens ligning til (x,y) = (2,-1). Man finder afstanden fra centrum til linjen l ved hjælp af afstandsformlen:

   abs((3*2+4*−1-7)/√(3²+4²)) ▸ 1

   Dvs. afstanden er 1

   Linjen l har normalvektoren n = (3,4), der aflæses af l's ligning. Linjen m har ligningen -4x + 3y + c = 0, da dens normalvektor er tværvektor til normalvektoren for l.

   I ligningen: -4x + 3y + c = 0 kan c bestemmes ved at indsætte koordinaterne for centrum = (2,-1), som m skal gå igennem. Man får:

   -4·2 + 3·(-1) + c = 0 ⇔ c = 11, dvs. m: -4x + 3y + 11 = 0

   Man finder skæringspunkterne mellem m og cirklen ved hjælp af solve-kommandoen i Ti-Nspire:

   solve((x-2)²+(y+1)²=100 and −4*x+3*y+11=0,x,y) ▸ x=−4 and y=−9 or x=8 and y=7

   Dvs. skæringspunkterne er (x,y) = (-4,-9) ∨ (x,y) = (8,7)

Svar på opgave 12:

1. Man opretter f(x) i Ti-Nspire:

   f(x):=4-(x²/4) ▸ Udført

   For at beregne arealetskal man kende f's skæringspunkter med x-aksen. Det gøres ved at løse ligningen f(x) = 0:

   solve(f(x)=0,x) ▸ x=−4 or x=4

   Arealet af M er integralet af f(x) mellem disse værdier af x i Ti-Nspire:

   integral(f(x),x,−4,4.) ▸ 21.33333

   Arealet er 2 gange x gange f(x), det giver:

   2*x*f(x) ▸ −x*(x²-16)/2)

   Dvs. forskriften er x·(16 - x²)/2

Svar på opgave 13:

1. Man opretter punkter som stedvektorer i Ti-NSpire:

   a:=[106,141,68] ▸ [106,141,68]

   b:=[52,109,0] ▸ [52,109,0]

   c:=[25,117,0] ▸ [25,117,0]

   d:=[40,158,59] ▸ [40,158,59]

   e:=[65,169,85] ▸ [65,169,85]

   f:=[25,297,100] ▸ [25,297,100]

   g:=[87,25,85] ▸ [87,25,85]

   i:=[47,37,103] ▸ [47,37,103]

   Man opretter vektorerne ba og bc som kan udspænde planen α:

   ba:=a-b ▸ [54,32,68]

   bc:=c-b ▸ [−27,8,0]

   Man finder en normalvektor, n,til α som krydsproduktet af ba og bc

   n:=crossP(ba,bc) ▸ [−544,−1836,1296]

   Man opretter nu en vektor bx fra b til et vilkårligt punkt (x,y,z) i rummet:

   bx:=[x,y,z]-b ▸ [x-52,y-109,z]

   Der gælder, at skalarproduktet n·bx = 0, når (x,y,z) ligger i α. Det giver følgende i Ti-Nspire:

   dotP(n,bx)=0 ▸ −544*x-1836*y+1296*z+228412=0

   Dette kan forkortes med -4 for pænheds skyld og man får ligningen:

   α: 136x + 459y - 324z - 57103 = 0

2. Af ligningen for β kan man aflæse planens normalvektor, m, til (326,75,−135). Denne vektor oprettes i Ti-Nspire:

   m:=[326,75,−135] ▸ [326,75,−135]

   Man finder vinklen mellem væggene ud fra vinklen mellem normalvektorerne til de planer, som væggene ligger i. Vinklen mellem n og m findes i Ti-Nspire:

   solve(cos(x*1.°)=dotP(n,m)/(norm(n)*norm(m)),x)|0<x<180 ▸ x=125.9776

   Dvs. vinklen er 126,0°

   (Det fremgår ikke om der ønskes den spidse eller stumpe vinkel mellem planerne.)

3. Man kan finde ud af om AE og GI er parallelle ved at se på længden af deres krydsprodukt. Man opretter AE og GI i Ti-Nspire:

   ae:=e-a ▸ [−41,28,17]

   gi:=i-g ▸ [−40,12,18]

   Længden af krýdsproduktet begrenes i Ti-Nspire:

   norm(crossP(ae,gi))*1. ▸ 698.3896

   Da denne værdi er forskellig fra nul er de to vektorer ikke parallelle

   For at finde arealet af firkant AEIG deles den i to trekanter: trekant AEG og trekant EIG. Arealet af hver trekant findes som halvdelen af længden af krydsproduktet af de vektorer, der udspænder dem.

   Man opretter vektorerne AG og IE

   ag:=g-a ▸ [−19,−116,17]

   ie:=e-i ▸ [18,132,−18]

   Man udregner længden af krydsprodukterne AE×AG og GI×IE, ganger hver med en k´´halv og lægger dem sammen:

   norm(0.5*crossP(ae,ag))+norm(0.5*crossP(gi,ie)) ▸ 5964.289

   Dvs. arealet af firkanten AEIG er 5964,3

Svar på opgave 14:

1. Man finder væksthastigheden når højden af barnet er 100 cm ved at indsætte 100 for y på højre side af differentialligningen: 5,24 - 0,045·100 = 0,74.

   Dvs. vækstahstigheden er 0,74 cm/måned

2. Man løser differentialligningen ved hjælp af desolve-kommandoen i Ti-Nspire:

   deSolve(h'=5.24-0.045*h and h(0)=50,t,h) ▸ h=116.4444-66.44444*(0.9559975)^t

   Dvs. løsningen er h(t) = 116,44 - 66,44·0,9560^t

   Denne løsning oprettes som funktion i Ti-Nspire:

   h(t):=116.444-66.4444*(0.955997)^t ▸ Udført

   Man finder den alder barnet har, når det er 100 cm højt, ved hjælp af solve-kommandoen i Ti-Nspire:

   solve(h(t)=100,t) ▸ t=31.03087

   Dvs. barnet er 31 måneder

Svar på opgave 15:

1. Man opretter f(x) i Ti-Nspire

   f(x):=19*(sqrt(−x²+100*x+14400)/65) ▸ Udført

   Bredden af bygningen er to gange maksimum-værdien af f. Man finder den x-værdi, der giver maksimum for f, i Ti-Nspire ved hjælp af fMax-kommandoen:

   fMax(f(x),x) ▸ x=50

   Denne x-værdi indsættes i f(x) og man finder to gange maksimum:

   2*f(50) ▸ 76

   Dvs. bredden af bygningen er 76

2. Rumfanget af bygningen findes ved hjælp af formeln for rumfanget af et omdrejningslegeme, der roteres om x-aksen. Det giver i Ti-Nspire:

   2.*π*integral((f(x))²,x,0,180) ▸ 1217597.

   Dvs. rumfanget er 1217600