Matematik A HHX eksamen 16. december 2013 | Oversigt

Svar på opgave 1:

  1. Grafen for f tegnet i Excel.

    Det bemærkes at hverken minimum- eller maksimum-værdien kan antages i definitionsmængdens højre endepunkt (5), da det ikke er en del af definitionsmængden. Maksimum og minum skal enten antages i venstre endepunkt eller et lokalt ekstremum.

Svar på opgave 2:

  1. dy/dx = f´(x) = 6x2 - 2x. y = f(x). Man skal vise at højre og venstre side giver det samme, når man indsætter f(x) og f´(x) i differentialligningen. Man får:

    Venstre side: dy/dx + 2y = 6x2 - 2x + 2·(2x3 - x2) = 6x2 - 2x + 4x3 - 2x2 = 4x3 + 4x2 - 2x

    Højre side: 4x3 + 4x2 - 2x

    Da højre og venstre side i differentialligningen giver det samme med f(x) indsat, er f(x) en løsning til differentialligningen

Svar på opgave 3:

  1. Man skal løse ligningen p(x) = q(x) med hensyn til x. Man får:

    p(x) = q(x) ⇒ 2x2 - x + 3 = 3x + 9 ⇔

    2x2 - x + 3 - 3x - 9 = 0 ⇔

    2x2 - 4x - 6 = 0 ⇔

    x2 - 2x - 3 = 0 ⇔

    x = 1 ± 0,5·√[4 + 12] ⇔

    x = 1 ± 2 ⇔

    x = -1 ∨ x = 3

Svar på opgave 4:

  1. En vilkårlig stamfunktion, F(x), til f(x) er givet ved

    F(x) = 0,5·x6 - 2x3 + 0,5·x + k, hvor k er en konstant.

    Den stanfunktion, der går i gennem P(1,3) skal opfylde ligningen: F(1) = 3 som medfører:

    F(1) = 3 ⇒ 0,5·16 - 2·13 + 0,5·1 + k = 3 ⇔ 0,5 - 2 + 0,5 + k = 3 ⇔ k = 4

    Dvs. den søgte stamfunkton til f(x) er F(x) = 0,5·x6 - 2·x3 + 0,5·x + 4

Svar på opgave 5:

  1. a er givet ved: a = (2100-2400)/(60-50) = -30.

    Man har dermed A(x) = -30x + b. Derefter findes b ved at indsætte x = 50, det giver:

    A(50) = -30·50 + b = 2100 ⇒ b = 2100 + 1500 = 3900.

    Det giver: A(x) = -30x + 3.900

    Når x stiger med 5 kr., vil afsætningen falde med 30·5 stk. = 150 stk.

Svar på opgave 6:

  1. Man skal isolere a i følgende udtryk:

    1 + a/b = a + b ⇒

    b + a = ab + b2 ⇒

    a - ab = -b + b2 ⇒

    a·(1 - b) = -b·(1 - b) ⇒

    a = - b (b ≠ 0 og b ≠ 1)

    For b = 0 er udtrykket ikke er defineret, og for b = 1, får man 1 + a = a + 1, dvs. a ∈R.

  2. 2) Man opløfter begge sider i anden potens

    3) Man ganger på begge sider med P

    4) Man dividerer på begge sider med 2·F·O

    5) Man ganger på begge sider med R·(2·F·O)/(P·Q2), hvorved R er isoleret

Svar på opgave 7:

  1. Opgaven løst i Excel (se også excel-filen Golf).

    I Excel bruges kommandoen "=MIDDEL(B:B)" for at finde middelværdien af tallene i kolonne B, der indehoilder udbudspriser.

    Dette giver middelværdien 197.662

    Første kvartil af udbudspriserne findes med kommandoen "=KVARTIL(B:B;1)". Det giver 1 kvartil = 142.150

    Medianen af udbudspriserne findes med kommandoen "=KVARTIL(B:B;2)". Det giver median = 212.400

    3. kvartil af udbudspriserne findes med kommandoen "=KVARTIL(B:B;3)". Det giver 3. kvartil = 249.900

  2. Nedenstående graf med tendenslinje er tegnet i Excel.

    u(x) aflæses af tendenslinjen som -0,821x + 278.374

  3. Man vælger "Funktioner - Dataanalyse - Regression" i Excel.

    I den øverste del af dialogboksen vælges kolonne A som x-værdier og kolonne B som y-værdier. Desuden vælges 95% konfidensinterval.

    Endelig trykkes OK og man får:

    Man finder 95 %-konfidensintervallet (markeret med rødt på figuren): [-0,9494;-0,6933]

    Da -1 ligger uden for konfidensintervallet er det ikke rimeligt at antage at udbudsprisen kan falde med 1 kr. pr. kørt kilometer.

  4. En undersøgelse af priser for brugte biler viser, at de som nye i gennemsnit koster 278.000 kr. og at de falder med 0,8 kr. pr. kørt kilometer.

Svar på opgave 8:

  1. Man skal løse ligningen f(x) = 0 med hensyn til x. Funktionen oprettes i Ti-Nspire:

    f(x):=(1/3)*x3-8*x2+28*x ▸ Udført

    Dernæst bruges solve-kommandoen:

    solve(f(x)=0.,x) ▸ x=0. or x=4.254 or x=19.75

    Dvs. nulpunkterne er x = 0, x = 4,254 eller x = 19,75

  2. Man skal finde fortegn for f´(x). Man bruger solve- og derivative-kommandoerne i Ti-Nspire:

    solve(derivative(f(x),x)<0.,x) ▸ 2.<x<14. (f´(x) < 0, f(x) aftagende)

    solve(derivative(f(x),x)>0.,x) ▸ x<2. or x>14. (f´(x) > 0, f(x) voksende)

    Dvs. f(x) er aftagende for 2 < x < 14 og voksende for x < 2 ∨ x > 14

Svar på opgave 9:

  1. Man skal beregne d(3). Man opretter d(t) i Ti-Nspire:

    d(t):=500*cos(−0.5*t+3)+75*t+1200 ▸ Udført

    Det giver:

    d(3) ▸ 1460.4

    Dvs. efterspørgslen til tiden 3 måneder er 1.460 stk.

  2. Man finder SD som integralet af d(t) fra t = 0 til t = 6. Dette gøres i Ti-Nspire:

    integral(d(t),t,0,6) ▸ 8691.12

    Dvs, den samlede efterspørgsel i de 6 første måneder er 8.691 stk.

Svar på opgave 10:

  1. (Excel-filen, som er brugt: Fakturering.)

    Man finder andelsen ved at tælle antal forekomster af "EUR" i kolonne A i Excelarket og dividere dette med 144. Dertil bruges kommandoen =TÆL.HVIS(A:A;A3)/144. Dette giver resultatet: 0,541667

    Dvs. andelen p = 0,542

  2. I Excel benytter man kommandoen: =1-BINOMIAL.FORDELING(71;144;0,54;SAND) som giver 0,8523.

    71 er antal successer, 144 er prøvens størrelse, 0,54 er sandsynligheden for success og SAND betyder, at man akkumulerer sandsynligheden for successer fra 0 til 71. Man skal så trække dette tal fra 1 for at få den akkumulerede sandsynlighed for 72 til 144 successer.

    Dvs. sandsynligheden for, at mindst halvdelen af ordrene er afgivet i euro, er 0,8523 = 85 %

Svar på opgave 11:

  1. Arealet mellem kurverne er integralet af |f(x) - g(x)| fra x = 1,5 til x = 6. Man opretter f(x) og g(x) i Ti-Nspire:

    f(x):=ln(x-1)+4 ▸ Udført

    g(x):=(−1/4)*x2+x+3 ▸ Udført

    Dernæst beregnes integralet:

    Integral(abs(f(x)-g(x)),x,1.5,6) ▸ 9.5235

    Dvs. arealet af det grå område er 9,52

Svar på opgave 12:

  1. Dækningsbidraget ioprettes og beregnes i Ti-Nspire:

    db(x,y):=−x2+800*x-0.25*y2+300*y ▸ Udført

    db(300,600) ▸ 240000.

    Dvs. at dækningsbidraget for x = 300 stk. og y = 600 stk. er 240.000 kr.

  2. Man skal omskrive lignngen til formen: [(x-a)/b]2 + [(y-c)/d]2 = 1.

    Man stater med at lave en kvadrat komplettering for led med x og y hver for sig:

    Led med x: completeSquare(−x2+800*x,x) ▸ 160000-(x-400)2

    Led med y: completeSquare(−0.25*y2+300*y,y) ▸ 90000.-0.25*(y-600.)2

    Dette sættes ind i den oprindelige ligning:

    DB(x,y) = 240000 ⇒ 160.000 - (x - 400)2 + 90.000. - 0,25*(y - 600.)2 = 240.000 ⇒

    (x - 400)2 + [(y - 600)/2]2 = 10.000 ⇒ [(x - 400)/100]2 + [(y - 600)/200]2 = 1

    Stillet op på den form ser man, at niveaukurven er en ellipse med centrum i (x,y) = (400,600). Desuden er lilleaksen (parallelt med x-aksen) = 100 og storaksen (parallet med y-aksen) 200.

  3. Polygonområdet er tegnet i Geogebra nedenunder sammen med niveaukurven for DB(x,y)=240.000:

    Størsteværdien antages i centrum som ligger i polygonområdet. Værdien er

    DB(400,600) = 250.000 kr.

Svar på opgave 13a:

  1. Man bruger annuitets-opsparingsformlen og finder ydelsen ved hjælp af solve-kommandoen i Ti-Nspire:

    solve(44208.3=x*(1.042)4,x) ▸ x=37500.14

    Dvs. det oprindelige beløb var 37.500 kr.

  2. Man bruger gælds-annuitetsformlen og finder ydelsen i Ti-Nspire:

    solve(44208.3=x*(1-1.042-5)/0.042,x) ▸ x=9986.24

    Dvs. den årlige ydelse fra det indsatte beløb bliver 9.986,24 kr.

Svar på opgave 13b:

  1. Man løser differentiallignigen i Ti-Nspire:

    deSolve(p'=−0.82*(1/x),x,p) ▸ p=c1-0.82*ln(x)

    Dvs. den fuldstændige løsning er p(x) = C - 0,82·ln(x)

  2. Man skal finde C i den fuldstændige løsning, når der gælder, at p(10000) = 89. Dette løses med solve i Ti-Nspire:

    solve(c-0.82*ln(10000)=89,c) ▸ c=96.552

    Dvs. forskriften for p bliver: p(x) = 96,55 - 0,82·ln(x)

Svar på opgave 13c:

  1. Man laver nedenstående skema kaldet "Observeret" ved hjælp af TÆL.HVISER kommandoen i Excel. (De formler, som er anvendt, kan se i Excel-filen Film.)

    Nulhypoteen er at "overskrifter lodret" er uafhængige af "overskrifter vandret", dvs. at alder er uafhængig af holdning til filmen (eller omvendt: holdning til filmen er uafhængig af alder). Desuden kan man sige, at afvigelser mellem obeserverede og forventede data kan forklares med tilfældigheder.

    Et siknifikansniveau på 5 % betyder i den forbindelse, at der er 5 %'s sandsynlighed for, at afvigelser mellem observerede værdier og forventede ikke kan forklares med tilfældigheder. Hvis der er mindre end 5%'s sandsynlighed for dette forkastes hypotesen.

  2. Billedet ovenfor viser en tabel over forventede værdier, hvor hver værdi findes ud fra summerne i skemaet med observerede værdier.

    En CHI-i-anden test med 8 frihedsgrader giver resultatet 0,34, som er større end 5 % = 0,05, hvilket vil sige, at nulhypotesen accepteres.