Svar på opgave 1: Niels på togrejse i Europa

1. Prisforskellen er: 2830 kr. - 2200 kr. = 630 kr.

2. Pris efter rabat = (pris før rabat) - rabat =

   2830 kr. - (2830 kr.)·(15 %) =

   2830 kr. - (2830 kr.)·0,15 =

   2405,50 kr. ≈ 2400 kr.

3. Prisen for 20 overnatninger i € er: 20·(pris pr. overnatning i €)·kurs =

   20·(22 €)·(743,56 kr./100 €) =

   20·22·743,56/100 kr. =

   3271,66 kr. ≈ 3270 kr.

4. Man indsætter først de tal, som man kender. Det er vist nedenunder:

   

   Man beregner dernæst de samlede udgifter til mad og drikke - først i € og dernæst i kr.

   Det samlede beløb i € er (20 døgn)·(25 €/døgn) = 500 €.

   Dette regnes om til kr.: (500 €)·kurs = (500 €)·(743,56 kr./100 €) = 3717,80 kr.

   Dette er vist nedenunder:

   

   Lommepenge beregnes først i kr. og dernæst i €.

   Lommepenge i kr. er: 12000,00 kr. - (2400,00 + 3270,00 + 3717,80) kr. = 2612,20 kr.

   Dette omregnes til €: 2612,20 kr./kurs = (2612,20 kr./(743,56 kr./100 €) = 351,31 €.

   Beregningerne er vist nedenfor:

   

   Endelig udregnes den daglige udgift til lommepenge som samlet udgift til lommepenge i € divideret med antal døgn.

   Dette giver: (351,31 €)/(20 døgn) = 17,57 €/døgn som vist:

   

   Dette tal rundes ned til 17,50 €/døgn for at være på den sikre side.

   (Se Excel-fil)

Svar på opgave 2: Første rejsedag

1. For at finde ud af hvornår han skal tage afsted, så trækker man rejsetid fra ankomsttidspunkt:

   8:31 - 0:45 =

   8:31 + (-1:00 + 1:00) - 0:45 = (man bruger metoden "at lægge nul til")

   (8:31 - 1:00) + (1:00 - 0:45) =

   7:31 + 0:15 =

   7:46

2. Man beregner rejsetiden ved at trække ankomsttidspunkt fra afgangstidspunkt:

   14:09 - 8:31 =

   14:09 - (8:00 + 0:31) = (man deler ankomsttidspunktet op i timer og minutter)

   (14:09 - 8:00) - 0:31 =

   6:09 - 0:31 =

   6:09 + (-1:00 + 1:00) - 0:31 =

   (6:09 - 1:00) + (1:00 - 0:31) =

   5:09 + 0:29 =

   5:38.

   Dvs. rejsetiden er 5 timer og 38 min.

3. Man vælger at regne ophold på stationerne med til rejsetiden (man kan også vælge det modsatte, men skal bare huske at sige det).

   Rejsetiden i Danmark er 9:36 - 8:31 = 1:05 = (1 + 5/60) timer = 1,083 timer.

   Rejsetiden i Tyskland er 14:09 - 10:42 = 3:27 = (3 + 27/60) timer = 3,45 timer.

   Gennemsnitsfarten i Danmark er: (102 km)/(1,083 timer) = 94 km/t

   Gennemsnitsfarten i Tyskland er: (440 km)/(3,45 timer) = 128 km/t

   Dvs. gennemsnitsfarten i Tyskland er størst.

Svar på opgave 3: Vinduer med rosettemønstre

1. Nedenfor er symmetriakserne tegnet i Geogebra. Der er 8

   

2. Nedenfor er vist en løsning i Geogebra. Flyt evt. rundt på de tre blå punkter for at skabe nye rosettemønstre med en trekant, der spejles i fire symmetriakser.

   (Link til Geogebra)

3. Den mindste drejningsvinkel er 120°, fordi hvis man drejer figuren 120° omkring cirklens centrum, så får man den samme figur, som man startede med.

4. Man bruger formlen og får antal drejninger til n = 360°/30° = 12

5. n er alle de tal, som går op i 360. Disse findes i Geogebra ved hjælp af kommandoen DivisorListe(360):

   1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360

Svar på opgave 4: Indbyggertallet i Berlin

1. Forskellen i indbygger tal mellem 2011 og 2016 er: 3.580.531 - 3.292.365 = 288.166

2. Der skal gælde, at forholdet mellem indeks for to årstal er lig med forholdet mellem indbygger-tallene i de samme år.

   Dvs. (indeks for 2016)/(indeks for 2011) = (indbyggertal i 2016)/(indbyggertal i 2011) der giver:

   (indeks for 2016)/100 = (3.580.531)/(3.292.365)
   ⇕
   indeks for 2016 = 100·(3.580.531)/(3.292.365) = 108,8

   Dvs. indekset for Berlins indbyggertal i 2016 er 108,8 (når indekset for indbyggertallet i 2011 sættes til 100.)

3. Fra 2011 stiger kurven for Berlin hurtigere end kurven for København. Dvs. den procentvise vækst i denne periode er størst for Berlin. Dernæst er det omvendt: den procentvise vækst for perioden 2012 - 2015 er større for København end for Berlin.

4. Man bruger fremskrivningsformlen: K = K₀·(1+r)ⁿ, hvor K i dette tilfælde er Berlins indbyggertal. Her skal se, om man få K til 3.580.531, når

   K₀ = 3.292.365,

   r = 1,7% = 0,017 og

   n = 2016 - 2011 = 5.

   Man får følgende:

   K = 3.292.365·(1+0,017)⁵ = 3.292.365·(1,017)⁵ = 3.581.894.

   Afrundet til nærmeste 10.000 er dette det samme som det forventede og dermed er væksten i Berlins indbyggertal ca. 1,7 % om året fra 2011 til 2016.

5. Man antager, at der sker en forsat vækst i Berlins indbygger tal på 1,7 % fra 2016 til 2022. Dette er en periode på (2022 - 2011) år = 11 år.

   Man får samme formel som før, hvor n = 11, og skal finde K:

   K = 3.292.365·(1,017)¹¹ = 3.963.131

   Dvs. Berlins indbygger tal i 2022 forventes at være ca. 3.960.000

Svar på opgave 5: Rette linjer

1. At linjen m har et bestemt hældningstal betyder, at når x vokser med een så vokser y med dette hældningstal.

   Det betyder i dette tilfælde, at når x vokser med een så vokser y med 1.

2. Ligningen for linjen m kan generelt skrives: y = a·x + b,

   a er hældningstallet (som man kender) og

   b er y-værdien for linjens skæring med y-aksen. Denne aflæses til -2 som vist med rødt:

   

   Dvs. ligningen for linjen m er y = x - 2

3. Linjen n er tegnet nedenunder med rødt i Geogebra:

   

4. Nedenfor er vist linjer med hældningstal, der varierer fra -2 til 2. Hældningstallet kaldes a. Deres skæringspunkter med y-aksen er også vist:

   

   Der gælder følgende sammenhæng:

   Hældningstal = -2, y-værdi af skæringspunkt: 4

   Hældningstal = -1, y-værdi af skæringspunkt: 2

   Hældningstal = 0, y-værdi af skæringspunkt: 0

   Hældningstal = 1, y-værdi af skæringspunkt: -2

   Hældningstal = 2, y-værdi af skæringspunkt: -4

   Det ses, at sammenhængen er: y-værdi af skæringspunkt = -2·(hældningstal)

Svar på opgave 6: Regneudtryk

1. Man får i det første tilfælde: 3 + 3/2 = 6/2 + 3/2 = 9/2 og i det andet: 3·(3/2) = 9/2

   Dvs. de to regneudtryk har samme værdi.

2. I rækken med starttallet 10 skal der stå:

   10 + 10/9 i den første firkant og

   10·(10/9) i den anden.

3. I rækken med starttallet n skal der stå

   n + n/(n - 1) i den første firkant og

   n·n/(n - 1) i den anden.

4. Man kan ikke bruge starttallet n = 1, fordi nævneren i så fald bliver 0 i begge udtryk, og dette er ikke tilladt.

5. De to regneudtryk fra spørgsmål 3) kan omskrives til at blive det samme:

   n + n/(n - 1) =
   
   ...man ganger første led med (n - 1)/(n - 1), som er lig med 1, for at få fælles nævner...
   
   n·(n - 1)/(n - 1) + n/(n - 1) =
   
   n·(n - 1 + 1)/(n - 1) =
   
   n·n/(n - 1)

   Dermed giver de to udtryk, n+n/(n - 1) og n·n/(n - 1), altid det samme resultat, når n er større end 1.