Svar på opgave 1: Chauffør

1. Det tager 3 år at blive uddannet, det vil sige, at Christoffer vil være færdig i 2018 + 3 = 2021
2. Hovedforløbet er på 2 år med i alt 80 ugers skole og praktik. Af disse udgør praktik: (3/5)·80 uger = 48 uger.
3. Kurts timeløn er 11.914 kr./(2·37) timer = 161 kr. i timen
4. AM-bidrag = 0,08·(løn - pensionsbidrag - ATP-bidrag). Man får: 0,08·(11914 - 650 - 49,80) kr. = 897,14 kr, der ses at være rigtigt
5. Udbetalt løn =
   skattepligtig indkomst - A-skat =
   skattepligtig indkomst - 0,40·beskatningsgrundlag =
   skattepligtig indkomst - 0,40·(skattepligtig indkomst - fradrag i skattepligtig indkomst) =
   0,6·(skattepligtig indkomst) + 0,4·(fradrag i skattepligtig indkomst) = 0,6·10.317,06 kr. + 0,4·1730 kr. = 6882,24 kr.
6. De har samme skattepligtige indkomst, 10.317,06 kr., da denne ikke påvirkes af fradraget. Kollegaens fradrag kaldes x. Det giver:
   Udbetalt løn = 0,6·(skattepligtig indkomst) + 0,4·x ⇒
   7002,24 = 0,6·10.317,06 + 0,4·x ⇔
   x = (7002,24 - 0,6·10.317,06)/0,4 = 2030 kr.
   Kollegaens fradrag i skattepligtig indkomst er: 2030 kr.

Svar på opgave 2: Affald

1. Stigningen i husholdningernes affaldsmængde fra 2013 til 2014 var: (3.383.000 - 3.342.000) tons = 41.000 tons
2. Mængden af husholdningsaffald pr. indbygger var i 2014 lig med: (3.383.000 tons)/(5,5 mio.) = 0,615 tons = 615 kg
3. Nedenfor er graferne tegnet i Excel. Bemærk at anden-aksen starter i 10 mio. tons.
   
4. Tallet 375.000 i model 1 viser, at man forventer, at affaldsmængden stiger med 375.000 tons om året. Tallet 1,025 i model 2 viser, at man forventer, at affaldsmængden stiger med 2,5 % om året.
5. Årstallet 2050 svarer til, at x er lig med 2050 - 2014 = 36 i de to modeller.
   Model 1 giver: 375.000·36 + 11.700.000 tons = 25,2 mio. tons
   Model 2 giver: 11.700.000·1,025³⁶ = 28,5 mio. tons
   Forskellen er (28,5 - 25,2) mio. tons = 3,3 mio tons
6. Genanvendelse er lig med affaldsmængde gange genanvendelses-%. Da både affaldsmængde og genanvendelses-% stiger for hvert år, så er genanvendelsen størst i 2014
7. Christoffer har ikke ret. Nedenstående tabel er lavet i Excel og viser tallene for affaldsmængderne og genanvendelse i både procent og tons for 2014. Genbrugs­mængderne til højre i tabellen er beregnet ved at gange affaldsmængderne med genbrugsprocenterne række for række. Derefter er affaldsmængderne i tons lagt sammen til: 7.862.300. Dette tal er divideret med den totale affaldsmængde i tons, 11.739.000, og resultatet er 67 %.
   

Svar på opgave 3: Affaldsbeholder

1. Christoffer og hans familie kan højst lægge (240 L)/(14 dage) = 17,1 L affald pr. dag i affaldsbeholderen.
2. Man får: V = 100·(2·58·50 + 2·43·43 + 58·43 + 43·50)/6 cm³ = 235.700 cm³ ≈ 236 L. Dermed kan affaldsbeholderen ikke indeholde 240 L
3. Prisen for stolperne er: 4·(1,80 m)·(17,95 kr./m) = 129,24 kr.
4. Man antager er, at bræddestykkernes længde er 60 cm. Bræddestykkerne starter i 10 cm's højde og når op til 120 cm (180 cm - 60 cm), det vil sige, at de skal dække 110 cm. Antallet af bræddestykker på en side er: 110/12,5 = 8,8. Dette rundes ned til 8, der er det højeste antal brædder, som der er plads til. I alt skal der bruges: 3·8 = 24 bræddestykker. Der går (3600 mm)/(60 cm) = 6 bræddestykker på et bræt. Det vil sige, at der skal bruges: 24/6 = 4 brædder til skjuleren.

Svar på opgave 4: Taltrapper

1. Taltrappen er udfyldt nedenunder.
   
2. Summen af tallene fra 1 til 7 er 28. Summen af tallene i de grønne felter kaldes x. Summerne af de to vandrette rækker lagt til summen af den lodrette kolonne er lig med 28 + x, idet tallene i de grønne felter er regnet med to gange. Tallet 28 + x skal være deleligt med 3, da det er tre gange summen af en række.
   Dette betyder, at x skal være 2, 5, 8 eller 11. Det vil sige, at f.eks. kombinationen 1 og 3 ikke kan lade sig gøre, da summen er 4.
3. Af søjlen fremgår det, at summen af hver række er: -3 + 17 + 4 = 18.
   Dette giver for p: -3 + p + 10 = 18 ⇒ p = 18 - 10 + 3 = 11
   Dette giver for n: -8 + n + 4 = 18 ⇒ n = 18 + 8 - 4 = 22
4. Man sætte først nederste række lig med søjlen:
   14 + 16 + q = r + 12 + q ⇔ 30 = r + 12 ⇔ r = 18
   Søjlen sættes lig med øvre række:
   r + 12 + q = r + 10 + 8 ⇒ 12 + q = 18 ⇔ q = 6

Svar på opgave 5: Trekant i en cirkel

1. Nedenunder er trekanten tegnet i Geogebra.
   
2. I Geogebra er lavet en interaktiv udgave af ovenstående tegning, hvor det blå punkt kan flyttes rundt på cirklen. Det ses, at vinklen i dette punkt altid er 90°
3. Nedenfor er trekanten vist, hvor hjørnerne kaldes A, B og C, og højdens fodpunkt D. Komplementærvinklen til v kaldes for x.
   Eftersom vinkelsummen i trekant ΔABC er 180°, så er u = 180° - 90° - 37° = 53°.
   Samme regel brugt på ΔABD giver, at u + x + 90° = 180° ⇔ x = 180° - 90° - 53° = 37°. Endelig har man, at x + v = 90° ⇔ v = 90° - 37° = 53°.
   Dermed er u = v = 53°
   
4. Man ved, at h = √x. Da h = 9 får man ligningen: 9 = √x ⇒ 9² = x ⇔ x = 81
5. Man Reglen om proportionalitet blandt siderne i to ligedannede trekanter giver, at: h/1 = x/h ⇔ h = √x, når h og x er større end eller lig med 0.