Svar på opgave 1: Billetter til en klatrepark

1. Prisforskellen er: (319 - 274) kr = 45 kr
2. Enkeltbilletter til 20 børn og 2 voksne koster i alt: (20·274 + 2·319) kr = 6.118 kr
3. Hver børnebillet koster 274 kr, dvs. n børnebilletter koster n gange 274 kr. To voksenbilletter koster 2·319 kr = 638 kr. Dvs. billetter til n børn og to voksne koster n·274 + 638 kr.
4. Man laver et regneark over antal elever, pris uden og med rabat samt forskellen mellem disse priser. Negative tal (fremhævet med rødt) viser, at grupperabat er billigst.

   Søjlen med antal elever er lavet ved at skrive 1 i første celle (A3) og 2 i cellen nedenunder (A4). Man markerer de to celler og kopierer dem med formelkopierings-værktøjet (sort kors) hele vejen ned til 40 (det maksimale antal elever).

   Søjlen med priser uden rabat er lavet ved hjælp af Excel-formlen: =A3*274+638, hvor cellen A3 er første celle med antal af elever. Denne celle formel-kopieres (i første omgang) ned til antal elever = 40.

   Søjlen med grupperabat udfyldes ved hjælp af skemaet i opgaven: Ud for 1 elev skrives 2800. Dette tal kopieres ved normal kopiering ned til antal elever = 10. Resten af tabellen indsættes på samme måde.
   I den sidste søjle trækkes prisen uden rabat fra prisen med rabat ved hjælp af formlen: =C3-B3. Denne formel kopieres hele vejen ned i tabellen.

   Nedenstående er vist resultatet indtil antal elever = 30. Det ses, at for flere elever end 30 vil prisen uden rabat (markeret med fed) altid blive mere end den maksimale pris med (8800 kr).
   
   Det ses, at der skal enten 8-10, 16-20 eller mere end 21 elever med for, at grupperabat kan betale sig.

Svar på opgave 2: Klatreparkens bod

1. Hvis der er købt kakao, så må det være et helt antal bægre, prisen for et bæger er et ulige tal og ulige plus lige ikke kan give et lige tal. Det bemærkes også, at 4 glas saftevand svarer i pris til 3 chokoladebarer.

   Der er 10 muligheder:

   6 kopper kakao koster netop 90 kr. Dette er det højeste antal kakaokopper, og der er ikke købt andet.

   Hvis der er købt 4 bægre kakao, så er resten (90 - 4·15) kr = 30 kr. Dvs. mulighederne er:
   4 bægre kakao og 6 bægre saftevand eller
   4 bægre kakao, 3 chokoladebarer og et bæger saftevand.

   Hvis der er købt 2 bægre kakao, så er resten (90 - 2·15) kr = 60 kr. Her er mulighederne:
   2 bægre kakao og 12 bægre saftevand,
   2 bægre kakao, 6 chokoladebarer og 2 bæger saftevand eller
   2 bægre kakao, 7 bægre saftevand og 6 chokoladebarer.

   Hvis der ikke er købt kakao, så skal prisen fordeles mellem glas med saftevand og chokoladebarer:
   En mulighed er 15 glas saftevand.
   Idet 4 glas saftevand kan byttes ud med 3 chokoladebarer, så får man også mulighederne:
   11 glas saftvand og 3 chokoladebarer,
   7 glas saftvand og 6 chokoladebarer og
   3 glas saftvand og 9 chokoladebarer

Løsning med ubekendte:

Man kalder
...antal glas saftevand for x,
...antal chokoladebarer for y og
...antal kopper kakao for z.

Man får formlen 6·x + 8·y + 15·z = 90. Man isolerer x i ligingen: 6x + 8y + 15z = 90 ⇔ x = 15 - (8/6)·y - (15/6)·z ⇔ x = 15 - (4/3)·y - (5/2)·z.

Af det sidste udtryk ses, at y skal være et multiplum af tre og z skal være et lige tal (multiplum af 2), da (4/3)·y og (5/2)·z ellers ikke giver hele tal. Dvs. y kan kun antage værdierne 0, 3, 6..., og z kan kun antage værdierne 0, 2, 4...

Man vælger nu en værdi af y og lader derefter z variere mellem værdierne 0, 2, 4... indtil x giver et negativt tal. Derefter går man videre til næste y indtil x giver et negativt tal unanset hvilket z, man vælger.

y = 0:
...z = 0: x = 15 - (4/3)·0 - (5/2)·0 = 15, dvs: 15 glas saftevand
...z = 2: x = 15 - (4/3)·0 - (5/2)·2 = 10, dvs: 10 glas saftevand og 2 kopper kakao
...z = 4: x = 15 - (4/3)·0 - (5/2)·4 = 5, dvs: 5 glas saftevand og 4 kopper kakao
...z = 6: x = 15 - (4/3)·0 - (5/2)·6 = 0, dvs: 6 kopper kakao
...næste z giver et negativt x

y = 3:
...z = 0: x = 15 - (4/3)·3 - (5/2)·0 = 11, dvs: 11 glas saftevand og 3 chokoladebarer
...z = 2: x = 15 - (4/3)·3 - (5/2)·2 = 6, dvs: 6 glas saftevand, 3 chokoladebarer og 2 kopper kakao
...z = 4: x = 15 - (4/3)·3 - (5/2)·4 = 1, dvs: 1 glas saftevand, 3 chokoladebarer og 4 kopper kakao
...næste z giver et negativt x

y = 6:
...z = 0: x = 15 - (4/3)·6 - (5/2)·0 = 7, dvs: 7 glas saftevand og 6 chokoladebarer
...z = 2: x = 15 - (4/3)·6 - (5/2)·2 = 2, dvs: 2 glas saftevand, 6 chokoladebarer og 2 kopper kakao
...næste z giver et negativt x

y = 9:
...z = 0: x = 15 - (4/3)·9 - (5/2)·0 = 3, dvs: 3 glas saftevand og 9 chokoladebarer
...næste z giver et negativt x

...næste y giver et negativt x for alle værdier af z, der er større end eller lig med 0.

En CAS-løsning er vist her på YouTube.

Svar på opgave 3: De Geometriske Haver

1. 6·11 m = 66 m
2. Formlen for vinkelsummen i en n-kan er (n - 2)·180°. For en syvkant er vinkelsummen: (7 - 2)·180° = 5·180° = 900°. I en regulær syvkant er alle vinkler lige store, så hver vinkel bliver: 900°/7 ≈ 129°.
3. Midtnormalerne skærer ikke hinanden i eet punkt, så de kan ikke bruges. Derfor må Bertil have ret.

   Løsning i Geogebra med Bertils metode:
   
   

Svar på opgave 4: Ture med ungdomsklubben

1. Der er 31 medlemmer af klubben. De har sammenlagt foretaget 90 ture. Gennemsnittet er 90 ture/31 medlemmer = 3,0 ture/medlem
2. Nedenfor er vist et søjlediagram (lavet i Excel) for antallet ture, som de enkelte elever har været på i Skovby ungdomsklub.
   

   For at lave søjlediagrammet, så skriver man tallene fra 0 til 6, der er antallet af ture, som en elev kan have, i en søjle. Til højre for disse tal skriver man antallet af elever, som har hvert af de forskellige antal af ture.

   Tallene i anden søjle findes ved at sortere opgavens data og tælle forekomsten af hvert tal. Hvis der f.eks. står otte 3-taller under hinanden, så betyder det, at otte elever har været på tre ture hver. Tallet 8 skrives derfor i anden søjle ud for tallet 3 i første.

   Man markerer derefter begge søjler og vælger: Insæt diagram - Søjlediagram.

3. Variationsbredden er den samme: 6. Forskellen på største og mindste antal ture, som nogen har været på. Medianen er den samme for begge klubber (=3) og gennemsnittet er også det samme, når man runder af til een decimal (=3,0). Det ses også, at antal ture for eleverne er samlet mere omkring middelværdien for Skovbys vedkommende end for Mejlby. (Der er længere fra første til tredje kvartil for Mejlby end for Skovby).

Svar på opgave 5: Rubjerg Knude Fyr

1. Afstanden som den har flyttet sig er 200 - 7 = 193. Der er gået 2019 - 1900 = 119 år.
   Dette er 193/119 = 1,62 m/år
2. Tallet x ganges med et fast tal (1,62) dvs. ændringen er den samme hver gang, som man lægger een til x.
3. Fyret står 77 m fra skrænten, og det skal flyttes, når der er 7 m til skrænten (som sidst). Man kan bruge et regneark. I første søjle skriver man årstal. Øverst 2019 (A3). Nedenunder skrives formlen: =A3+1

   I anden søjle skriver man det, der tages af skrænten. Øverst (B3) 1,62 m. I cellen nedenunder (B4) skriver man formlen: =B3*1,02 (der lægges 2 % til det foregående = det foregående ganges med 1,02). I tredje søjle skriver man det, som er tilbage. Ovenover første år (i C2) skriver man 70: det antal meter, der er tilbage hen til skrænten. I cellen under (C3) skriver man formlen: =C2-B3. Her trækkes det, der fjernes fra det, der er tilbage.

   Formlerne kopieres nedad indtil, man får et negativt tal i sidste søjle.
   
   Det ses, at fyret skal flyttes i 2049, der er det sidste år, hvor der er mere end 7 m til skrænten.
   (3 år mere hvis man regner med, at fyret flyttes det sidste år, hvor der er mere end 0 m til skrænten).

Svar på opgave 6: Figurfølge

1. Figur 4 tegnet i Geogebra:
   
2. Omkredsen af figur 3 er 3 + 4 + 4 + 1 + 1 + 3 = 2·3 + 2·4 + 2 = 2·(3 + 4 + 1) = 16
3. Omkredsen af figur n er 2·(n + (n+1) + 1) = 2·(2·n + 2) = 4·n + 4
4. Alle formlerne er rigtige, de tre elever tænker bare forskelligt. Formlerne er ens - bare skrevet på forskellige måder.

   Alberte tænker: Figur n betår af et rektangel med siderne n og n + 1 samt et kvadrat med siden 1. Dvs. areal: n·(n + 1) + 1

   Bertil tænker: Figur n er inde i et stort kvadrat, der har siden (n + 1). Herfra skal trække et rektangel, som har længden n og bredden 1. Dvs. areal: (n + 1)² - n.

   Oliver tænker: Figur n betår af et kvadrat med siden n og et rektangel med længden n + 1 og bredden 1. Dvs. areal: n² + n + 1.
5. Albertes og Bertils formler kan omskrives til Olivers på følgende måder:
   Man ganger ind i parentesen på Albertes formel: n·(n + 1) + 1 = n·n + n·1 + 1 = n² + n + 1.
   Man bruger en kvadratsætning på Bertils formel: (n + 1)² - n = n² + 2·n + 1 - n = n² + n + 1.
   

Svar på opgave 7: Figurer med arealet 50

1. Rektanglet skal have en længde og en bredde, der ganget med hinanden giver 50. F.eks. længde: 10 og bredde: 5.

   Kvadratet skal have siden √50 ≈ 7,07.

   Paralellogrammet skal have en grundlinje og en højde, der ganget med hinanden giver 50. F.eks.: Grundlinje: 10 og højde: 5.

   Trapezen skal have to parallelle sider, hvis gennemsnitslængde ganget med højden er 50. F.eks.: Parallelle sider der er 8 og 12. Højde: 5.

   Den retvinklede trekant skal have to kateter, hvis længder ganget med hinanden giver 100. F.eks. to kateter der begge er 10.

   Den ligebenede trekants areal er grundlinjens længde gange højde gange en halv. Dette skal give 50. F.eks. grundlinje og højde er begge 10.

   Den ligesidede trekants areal kan skrives: (√3)·s²/4, hvor s er sidelængden.
   Sidelængden beregnes:
   (√3)·s²/4 = 50 ⇔
   s² = 4·50/√3 ⇔
   s = √(200/√3) ≈ 10,75
   Dvs. en ligesidet trekant med sidelængden 10,75 har arealet ca. 50.