Løsningsforslag til folkeskolens problemregning for 9. klasse, december 2020 · Se opgavesæt | Gå til oversigt
Svar på opgave 1: Billetter til en klatrepark
Søjlen med antal elever er lavet ved at skrive 1 i første celle (A3) og 2 i cellen nedenunder (A4). Man markerer de to celler og kopierer dem med formelkopierings-værktøjet (sort kors) hele vejen ned til 40 (det maksimale antal elever).
Søjlen med priser uden rabat er lavet ved hjælp af Excel-formlen: =A3*274+638, hvor cellen A3 er første celle med antal af elever. Denne celle formel-kopieres (i første omgang) ned til antal elever = 40.
Søjlen med grupperabat udfyldes ved hjælp af skemaet i opgaven: Ud for 1 elev skrives 2800. Dette tal kopieres ved normal kopiering ned til antal elever = 10. Resten af tabellen indsættes på samme måde.
Nedenstående er vist resultatet indtil antal elever = 30. Det ses, at for flere elever end 30 vil prisen uden rabat (markeret med fed) altid blive mere end den maksimale pris med (8800 kr).
Det ses, at der skal enten 8-10, 16-20 eller mere end 21 elever med for, at grupperabat kan betale sig.
Svar på opgave 2: Klatreparkens bod
Der er 10 muligheder:
6 kopper kakao koster netop 90 kr. Dette er det højeste antal kakaokopper, og der er ikke købt andet.
Hvis der er købt 4 bægre kakao, så er resten (90 - 4·15) kr = 30 kr. Dvs. mulighederne er:
4 bægre kakao og 6 bægre saftevand eller
4 bægre kakao, 3 chokoladebarer og et bæger saftevand.
Hvis der er købt 2 bægre kakao, så er resten (90 - 2·15) kr = 60 kr. Her er mulighederne:
2 bægre kakao og 12 bægre saftevand,
2 bægre kakao, 6 chokoladebarer og 2 bæger saftevand eller
2 bægre kakao, 7 bægre saftevand og 6 chokoladebarer.
Hvis der ikke er købt kakao, så skal prisen fordeles mellem glas med saftevand og chokoladebarer:
En mulighed er 15 glas saftevand.
Idet 4 glas saftevand kan byttes ud med 3 chokoladebarer, så får man også mulighederne:
11 glas saftvand og 3 chokoladebarer,
7 glas saftvand og 6 chokoladebarer og
3 glas saftvand og 9 chokoladebarer
Man kalder
...antal glas saftevand for x,
...antal chokoladebarer for y og
...antal kopper kakao for z.
Man får formlen 6·x + 8·y + 15·z = 90. Man isolerer x i ligingen: 6x + 8y + 15z = 90 ⇔ x = 15 - (8/6)·y - (15/6)·z ⇔ x = 15 - (4/3)·y - (5/2)·z.
Af det sidste udtryk ses, at y skal være et multiplum af tre og z skal være et lige tal (multiplum af 2), da (4/3)·y og (5/2)·z ellers ikke giver hele tal. Dvs. y kan kun antage værdierne 0, 3, 6..., og z kan kun antage værdierne 0, 2, 4...
Man vælger nu en værdi af y og lader derefter z variere mellem værdierne 0, 2, 4... indtil x giver et negativt tal. Derefter går man videre til næste y indtil x giver et negativt tal unanset hvilket z, man vælger.
y = 0:
...z = 0: x = 15 - (4/3)·0 - (5/2)·0 = 15, dvs: 15 glas saftevand
...z = 2: x = 15 - (4/3)·0 - (5/2)·2 = 10, dvs: 10 glas saftevand og 2 kopper kakao
...z = 4: x = 15 - (4/3)·0 - (5/2)·4 = 5, dvs: 5 glas saftevand og 4 kopper kakao
...z = 6: x = 15 - (4/3)·0 - (5/2)·6 = 0, dvs: 6 kopper kakao
...næste z giver et negativt x
y = 3:
...z = 0: x = 15 - (4/3)·3 - (5/2)·0 = 11, dvs: 11 glas saftevand og 3 chokoladebarer
...z = 2: x = 15 - (4/3)·3 - (5/2)·2 = 6, dvs: 6 glas saftevand, 3 chokoladebarer og 2 kopper kakao
...z = 4: x = 15 - (4/3)·3 - (5/2)·4 = 1, dvs: 1 glas saftevand, 3 chokoladebarer og 4 kopper kakao
...næste z giver et negativt x
y = 6:
...z = 0: x = 15 - (4/3)·6 - (5/2)·0 = 7, dvs: 7 glas saftevand og 6 chokoladebarer
...z = 2: x = 15 - (4/3)·6 - (5/2)·2 = 2, dvs: 2 glas saftevand, 6 chokoladebarer og 2 kopper kakao
...næste z giver et negativt x
y = 9:
...z = 0: x = 15 - (4/3)·9 - (5/2)·0 = 3, dvs: 3 glas saftevand og 9 chokoladebarer
...næste z giver et negativt x
En CAS-løsning er vist her på YouTube.
Svar på opgave 3: De Geometriske Haver
Løsning i Geogebra med Bertils metode:
Svar på opgave 4: Ture med ungdomsklubben
For at lave søjlediagrammet, så skriver man tallene fra 0 til 6, der er antallet af ture, som en elev kan have, i en søjle. Til højre for disse tal skriver man antallet af elever, som har hvert af de forskellige antal af ture.
Tallene i anden søjle findes ved at sortere opgavens data og tælle forekomsten af hvert tal. Hvis der f.eks. står otte 3-taller under hinanden, så betyder det, at otte elever har været på tre ture hver. Tallet 8 skrives derfor i anden søjle ud for tallet 3 i første.
Man markerer derefter begge søjler og vælger: Insæt diagram - Søjlediagram.
Svar på opgave 5: Rubjerg Knude Fyr
I anden søjle skriver man det, der tages af skrænten. Øverst (B3) 1,62 m. I cellen nedenunder (B4) skriver man formlen: =B3*1,02 (der lægges 2 % til det foregående = det foregående ganges med 1,02). I tredje søjle skriver man det, som er tilbage. Ovenover første år (i C2) skriver man 70: det antal meter, der er tilbage hen til skrænten. I cellen under (C3) skriver man formlen: =C2-B3. Her trækkes det, der fjernes fra det, der er tilbage.
Formlerne kopieres nedad indtil, man får et negativt tal i sidste søjle.Svar på opgave 6: Figurfølge
Alberte tænker: Figur n betår af et rektangel med siderne n og n + 1 samt et kvadrat med siden 1. Dvs. areal: n·(n + 1) + 1
Bertil tænker: Figur n er inde i et stort kvadrat, der har siden (n + 1). Herfra skal trække et rektangel, som har længden n og bredden 1. Dvs. areal: (n + 1)2 - n.
Oliver tænker: Figur n betår af et kvadrat med siden n og et rektangel med længden n + 1 og bredden 1. Dvs. areal: n2 + n + 1.Svar på opgave 7: Figurer med arealet 50
Kvadratet skal have siden √50 ≈ 7,07.
Paralellogrammet skal have en grundlinje og en højde, der ganget med hinanden giver 50. F.eks.: Grundlinje: 10 og højde: 5.
Trapezen skal have to parallelle sider, hvis gennemsnitslængde ganget med højden er 50. F.eks.: Parallelle sider der er 8 og 12. Højde: 5.
Den retvinklede trekant skal have to kateter, hvis længder ganget med hinanden giver 100. F.eks. to kateter der begge er 10.
Den ligebenede trekants areal er grundlinjens længde gange højde gange en halv. Dette skal give 50. F.eks. grundlinje og højde er begge 10.
Den ligesidede trekants areal kan skrives: (√3)·s2/4, hvor s er sidelængden.
Sidelængden beregnes:
(√3)·s2/4 = 50 ⇔
s2 = 4·50/√3 ⇔
s = √(200/√3) ≈ 10,75
Dvs. en ligesidet trekant med sidelængden 10,75 har arealet ca. 50.