Svar på opgave 1: Julefest.
-
Prisen for 75 voksen- og 75 børnebilletter er i alt: 75·(25 kr.) + 75·(10 kr.) = 2625 kr.
-
Billetindtægten fra voksne plus billetindtægten fra børn skal give 115 kr.
Billetindtægten fra voksne er 3·(25 kr.) = 75 kr.
Billetindtægten fra børn er y·(10 kr.), hvor y er antallet af børn.
Man får følgende ligning til at finde y:
75 kr. + y·(10 kr.) = 115 kr. ⇒
y·(10 kr.) = (115 - 75) kr. ⇒
y·(10 kr.) = 40 kr. ⇒
y = (40 kr.)/(10 kr.) ⇒
y = 4 stk.
Dvs. der er 4 børn
-
De tjener 2500 kr. Af dette skal de aflevere 40 %, som er (40 %)·(2500 kr.) = 0,40·2500 kr. = 1000 kr.
De kan derfor beholde (2500 - 1000) kr. = 1500 kr.
-
De tjener beløbet x, der angives i kr.
De skal aflevere 40 % af x, som er (40 %)·x = 0,40·x.
De kan beholde x - 0,40·x = 1·x - 0,40·x = (1 - 0,40)·x = 0,60·x
-
Man kalder igen antallet af børn for y. Antallet af voksne bliver derfor 2·y, da der er to gange så mange voksne som børn. Man får følgende ligning for antallet af børn:
2·y·(25 kr.) + y·(10 kr.) = 4500 kr. ⇒
y·50 kr. + y·10 kr. = 4500 kr. ⇒
y·(50 + 10) kr. = 4500 kr. ⇒
y·60 kr. = 4500 kr. ⇒
y = (4500 kr.)/(60 kr.) ⇒
y = 75
Dvs. der er 75 børn og 2·75 = 150 voksne
Svar på opgave 2: Juletræsfødder.
-
Firkanterne er et rektangel (fire rette vinkler) og en trapez (to parallelle sider).
-
Man tegner diagonalerne i rektanglet og finde deres skæringspunkt. Dette er midten af rektanglet, dvs. det punkt, som har lige langt til alle hjørner:
-
Siden a er hypotenusen i en retvinklet trekant. Den ene katete i denne retvinklede trekant har længden 8 cm og den anden længden 55 cm - b. Denne længste katete kaldes k. Dette er vist med rødt på tegningen nedenunder:
For at finde a, skal man først finde k.
Den største værdi af a findes for b = 15 cm, der giver: k = 55 cm - b = 55 cm - 15 cm = 40 cm
Den mindste værdi af a findes for b = 25 cm, der giver: k = 55 cm - b = 55 cm - 25 cm = 30 cm.
Længden af a beregnes ud fra kateterne ved hjælp af Pythagoras læresætning: a = √[82 + k2] cm
Den største værdi af a = √[82 + 402] cm = 41 cm
Den mindste værdi af a = √[82 + 302] cm = 31 cm
Løsning i Geogebra. Nedenunder er længderne målt ud fra en tegning:
-
Halvdelen af en fod kan lægges sammen, så delene overlapper hinanden og fylder 12 cm i bredden. Dette er vist nedenunder:
I sammenlægningen af de to dele indgår en ukendt længde, som kaldes x. Man beregner længden af x ved hjælp af reglen om, at i ligedannede trekanter er ensliggende sider proportionale. I dette tilfælde har man de ligedannede trekanter ΔABE og ΔCDE som vist nedenunder:
Dette giver: |AB|/|CD| = |BE|/|DE| ⇒
12/4 = (40 + x)/x ⇒
3 = (40 + x)/x ⇒
3x = 40 + x ⇒
3x - x = 40 ⇒
2x = 40 ⇒
x = 40/2 ⇒
x = 20
Dermed fylder en halv juletræsfod: (15 + 40 + 20 + 15) cm = 90 cm på et bræt og en hel juletræsfod 180 cm. Der går derfor (450 cm)/(180 cm) = 2,5 juletræsfødder på et bræt.
Dvs. de skal bruge (20 juletræsfødder)/(2,5 juletræsfødder/bræt) = (20/2,5) brædder = 8 brædder for at lave 20 juletræsfødder.
Svar på opgave 4: Julegaver.
-
Gennemsnittet af gaver i 9 A er summen af antal gaver for eleverne divideret med antallet af elever, som er 27. Dette giver følgende gennemsnit for antal gaver i 9 A: (3+4+6+2+5+4+3+4+5+3+2+4+4+3+6+7+2+5+5+4+6+3+5+4+4+3+4)/27 = 110/27 = 4,1
-
Nedenfor er boksplottet for 9 B vist:
Den første lodrette streg fra venstre viser, at det laveste antal gaver, som nogen eller nogle elever får, er 0.
Den anden lodrette streg (1. kvartil eller 25 %-fraktilen) viser, at 25 % af eleverne får 2 gaver eller færre.
Den tredje lodrette streg (2. kvartil eller medianen) viser, at 50 % af eleverne får 4 gaver eller færre.
Den fjerde lodrette streg (3. kvartil eller 75 %-fraktilen) viser, at 75 % af eleverne får 6 gaver eller færre.
Den femte lodrette streg viser, at det største antal gaver, som nogen eller nogle elever får, er 9.
Den røde boks viser, at 50 % af eleverne får mellem 2 og 6 gaver (6 inklusive, men ikke 2).
-
Nedenunder er boksplottene vist for både 9. A og 9. B.
Det ses, at de to klasser har samme median (den midterste lodrette streg i hvert boksplot), men at variationsbredden (boksplottets bredde) er større for 9. B end for 9. A.
Af de farvede firkanter i boksplottene ses også, at halvdelen af eleverne i 9. A får mellem 3 og 5 gaver, mens halvdelen af eleverne i 9. B får mellem 2 og 6 gaver.
Gennemsnittet af gaver for eleverne i 9. B kan regnes ud til 4,2, dvs. næsten det samme som for 9. A.
Typetallene, dvs. det antal gaver der forekommer oftest er 4 for 9. A og 5 for 9. B.
Svar på opgave 5: En figurfølge.
-
Nedenunder er vist figur nummer 4.
-
Man ser, at antallet af røde firkanter vokser med 4 fra den ene figur til den næste.
Dermed er der 4 firkanter flere i figur 11 sammenlignet med figur 10.
-
Usande påstande, der skal gælde for alle n, kan modbevises ved et eksempel:
Figur 1 indeholder 8 røde firkanter. Dette sammenlignes med påstanden, som siger, at figur 1 indeholder: 4·1 + 2 = 6 røde firkanter. Da dette ikke passer, så er påstanden usand!
-
Figurens nummer kaldes n. Det ses af figurerne, at der for hver figur er n røde firkanter langs hver side af den indre hvide firkant. Da den indre hvide firkant har fire sider, så giver dette 4·n røde firkanter ud for siderne af den indre hvide firkant. Dette er vist for figur 2 til højre, hvor de nævnte firkanter er indrammet med blåt.
Dertil kommer hjørne-firkanterne, som der er 4 af uanset figurens nummer. I alt giver dette: 4·n + 4 eller n + n + n + n + 4 røde firkanter for figur nummer n, dvs. Albert har ret
-
Man skal omskrive (n + 2)2 - n2 til 4·n + 4. Man får:
(n + 2)2 - n2 =
n2 + 4·n + 4 - n2 =
n2 - n2 + 4·n + 4 =
4·n + 4
Dvs. hvis Lucca har ret, så har Frederikke det også.
En tredje måde at regne formlen ud på (ud over 5.4 og 5.5.)
Man deler figuren op i fire rektangler, der hver indeholder n + 1 små kvadrater som vist med blåt:
Dette giver formlen: antal kvadrater = 4·(n + 1) = 4·n + 4.