Svar på opgave 1: Julefest.

1. Prisen for 75 voksen- og 75 børnebilletter er i alt: 75·(25 kr.) + 75·(10 kr.) = 2625 kr.
2. Billetindtægten fra voksne plus billetindtægten fra børn skal give 115 kr.
   Billetindtægten fra voksne er 3·(25 kr.) = 75 kr.
   Billetindtægten fra børn er y·(10 kr.), hvor y er antallet af børn.
   Man får følgende ligning til at finde y:
   75 kr. + y·(10 kr.) = 115 kr. ⇒
   y·(10 kr.) = (115 - 75) kr. ⇒
   y·(10 kr.) = 40 kr. ⇒
   y = (40 kr.)/(10 kr.) ⇒
   y = 4 stk.
   Dvs. der er 4 børn
3. De tjener 2500 kr. Af dette skal de aflevere 40 %, som er (40 %)·(2500 kr.) = 0,40·2500 kr. = 1000 kr.
   De kan derfor beholde (2500 - 1000) kr. = 1500 kr.
4. De tjener beløbet x, der angives i kr.
   De skal aflevere 40 % af x, som er (40 %)·x = 0,40·x.
   De kan beholde x - 0,40·x = 1·x - 0,40·x = (1 - 0,40)·x = 0,60·x
5. Man kalder igen antallet af børn for y. Antallet af voksne bliver derfor 2·y, da der er to gange så mange voksne som børn. Man får følgende ligning for antallet af børn:
   2·y·(25 kr.) + y·(10 kr.) = 4500 kr. ⇒
   y·50 kr. + y·10 kr. = 4500 kr. ⇒
   y·(50 + 10) kr. = 4500 kr. ⇒
   y·60 kr. = 4500 kr. ⇒
   y = (4500 kr.)/(60 kr.) ⇒
   y = 75
   Dvs. der er 75 børn og 2·75 = 150 voksne

Svar på opgave 2: Juletræsfødder.

1. Firkanterne er et rektangel (fire rette vinkler) og en trapez (to parallelle sider).
   
2. Man tegner diagonalerne i rektanglet og finde deres skæringspunkt. Dette er midten af rektanglet, dvs. det punkt, som har lige langt til alle hjørner:
   
3. Siden a er hypotenusen i en retvinklet trekant. Den ene katete i denne retvinklede trekant har længden 8 cm og den anden længden 55 cm - b. Denne længste katete kaldes k. Dette er vist med rødt på tegningen nedenunder:
   
   For at finde a, skal man først finde k.
   Den største værdi af a findes for b = 15 cm, der giver: k = 55 cm - b = 55 cm - 15 cm = 40 cm
   Den mindste værdi af a findes for b = 25 cm, der giver: k = 55 cm - b = 55 cm - 25 cm = 30 cm.
   Længden af a beregnes ud fra kateterne ved hjælp af Pythagoras læresætning: a = √[8² + k²] cm
   Den største værdi af a = √[8² + 40²] cm = 41 cm
   Den mindste værdi af a = √[8² + 30²] cm = 31 cm

    

   Løsning i Geogebra. Nedenunder er længderne målt ud fra en tegning:
   
4. Halvdelen af en fod kan lægges sammen, så delene overlapper hinanden og fylder 12 cm i bredden. Dette er vist nedenunder:
   
   I sammenlægningen af de to dele indgår en ukendt længde, som kaldes x. Man beregner længden af x ved hjælp af reglen om, at i ligedannede trekanter er ensliggende sider proportionale. I dette tilfælde har man de ligedannede trekanter ΔABE og ΔCDE som vist nedenunder:
   
   Dette giver: |AB|/|CD| = |BE|/|DE| ⇒
   12/4 = (40 + x)/x ⇒
   3 = (40 + x)/x ⇒
   3x = 40 + x ⇒
   3x - x = 40 ⇒
   2x = 40 ⇒
   x = 40/2 ⇒
   x = 20
   Dermed fylder en halv juletræsfod: (15 + 40 + 20 + 15) cm = 90 cm på et bræt og en hel juletræs­fod 180 cm. Der går derfor (450 cm)/(180 cm) = 2,5 juletræsfødder på et bræt.
   Dvs. de skal bruge (20 jule­træsfødder)/(2,5 juletræsfødder/bræt) = (20/2,5) brædder = 8 brædder for at lave 20 juletræsfødder.

Svar på opgave 3: Kaffe.

1. Der bruges 60 g kaffebønner til 1 L kaffe. Til 25 L kaffe skal der derfor bruges 25 gange så stor en mængde kaffebønner, hvilket giver:
   25·60 g kaffebønner = 1500 g kaffebønner = 1,5 kg kaffebønner
2. Sæt antallet af krus der skal bruges lig med x.
   Rumfanget af 1 krus er 0,2 L, og det samlede rumfang af krusene er derfor x·(0,2 L).
   Dette skal være lig med 25 L, og man får derfor følgende ligning til at finde x:
   x·(0,2 L) = 25 L ⇒
   x = (25 L)/(0,2 L) ⇒
   x = 125 stk.
   Dvs. de bruger 125 krus
3. 60 g kaffebønner kan brygge 1 L kaffe, dvs. 1 g kaffebønner kan brygge 1/60 L.
   Dermed kan 500 g kaffebønner brygge 500·(1/60) L = 500/60 L = 8,33 L
   Et krus kan rumme 0,2 L kaffe. Man får følgende ligning:
   (antal krus)·(rumfang af et krus) = samlet rumfang ⇒
   (antal krus)·(0,2 L) = 8,33 L ⇒
   antal krus = (8,33 L)/(0,2 L) = 41,7 stk. ≈ 40 stk.
   Dvs. der skal ca. bruges 40 krus til 500 g kaffebønner.
4. Man antager, at der netop skal bruges 40 krus pr. pose kaffebønner.
   Man laver en trappe-kurve, da udgiften stiger med et fast beløb, hver gang man runder 40 krus ekstra.
   Det faste beløb er udgiften til en pose kaffe og 40 krus = 39,50 kr. + 18,50 kr. = 58 kr.
   Nedenfor er tegnet en trappekurve, som er lavet i Geogebra. Den viser antal solgte krus ud af første-aksen og udgiften i kr. ud af anden-aksen.
   
   Der er brugt kommandoen ceil(x/40)*58,x>0. Her er 40 er længden af trinnet, 58 er højden og x > 0 betyder, at antallet af krus skal være et positivt tal.
5. Man laver en tabel over udgift, indtægt og overskud for hver gang, der er solgt 40 krus:
   40 krus: udgift: 58 kr.,  indtægt: 40·5 kr. = 200 kr,  overskud: (200 - 58) kr. = 142 kr.
   80 krus:  udgift: 2·58 kr. = 116 kr., indtægt: 80·5 kr. = 400 kr,  overskud: (400 - 116) kr. = 284 kr.
   120 krus: udgift: 3·58 kr. = 174 kr., indtægt: 120·5 kr. = 600 kr., overskud: (600 - 174) kr. = 426 kr.
   160 krus: udgift: 4·58 kr. = 232 kr., indtægt: 160·5 kr. = 800 kr., overskud: (800 - 232) kr. = 568 kr.
   Dvs. det antal krus, der mindst giver et overskud på 500 kr., ligger mellem 120 og 160. Her er udgiften til krus og kaffe er 232 kr. Indtægten er: x·(5 kr.). Man skal løse ligningen: indtægt - udgift = overskud, der giver: x·(5 kr.) - 232 kr. = 500 kr. ⇒ x = (500 + 232)/5 = 146,4. Man afrunder:
   x = 146, overskud: 146·(5 kr.) - 232 kr. = 498 kr.
   x = 147, overskud: 147·(5 kr.) - 232 kr. = 503 kr. ✔
   Dvs. for at få 500 kr. eller mere i overskud skal de mindst sælge 147 krus

    

   Grafisk løsning i Geogebra.
   Igen vises antal solgte krus ud af første-aksen og udgiften i kr. ud af anden-aksen.
   Trappekurven over udgifter er vist nederst med rødt. Den øverste orange trappe-kurve viser udgifter plus 500 kr.'s fortjeneste. Den blå linje er indtægter.
   Kurven for indtægter skærer kurven for udgifter plus 500 kr. i punktet P, der er det punkt, hvor man når op på et overskud af 500 kr. P har x-værdien 146,4, der er antal krus. Som før rundes dette op til 147.
   Den øverste trappe-kurve er lavet med kommandoen Hvis(x>0,ceil(x/40)*58+500) og den blå kurve med kommandoen Hvis(x>0,5x).

Svar på opgave 4: Julegaver.

1. Gennemsnittet af gaver i 9 A er summen af antal gaver for eleverne divideret med antallet af elever, som er 27. Dette giver følgende gennemsnit for antal gaver i 9 A: (3+4+6+2+5+4+3+4+5+3+2+4+4+3+6+7+2+5+5+4+6+3+5+4+4+3+4)/27 = 110/27 = 4,1
2. Nedenfor er boksplottet for 9 B vist:
   
   Den første lodrette streg fra venstre viser, at det laveste antal gaver, som nogen eller nogle elever får, er 0.
   Den anden lodrette streg (1. kvartil eller 25 %-fraktilen) viser, at 25 % af eleverne får 2 gaver eller færre.
   Den tredje lodrette streg (2. kvartil eller medianen) viser, at 50 % af eleverne får 4 gaver eller færre.
   Den fjerde lodrette streg (3. kvartil eller 75 %-fraktilen) viser, at 75 % af eleverne får 6 gaver eller færre.
   Den femte lodrette streg viser, at det største antal gaver, som nogen eller nogle elever får, er 9.
   Den røde boks viser, at 50 % af eleverne får mellem 2 og 6 gaver (6 inklusive, men ikke 2).
3. Nedenunder er boksplottene vist for både 9. A og 9. B.
   
   Det ses, at de to klasser har samme median (den midterste lodrette streg i hvert boksplot), men at variationsbredden (boksplottets bredde) er større for 9. B end for 9. A.
   Af de farvede firkanter i boksplottene ses også, at halvdelen af eleverne i 9. A får mellem 3 og 5 gaver, mens halvdelen af eleverne i 9. B får mellem 2 og 6 gaver.
   Gennemsnittet af gaver for eleverne i 9. B kan regnes ud til 4,2, dvs. næsten det samme som for 9. A.
   Typetallene, dvs. det antal gaver der forekommer oftest er 4 for 9. A og 5 for 9. B.

Svar på opgave 5: En figurfølge.

1. Nedenunder er vist figur nummer 4.
   
2. Man ser, at antallet af røde firkanter vokser med 4 fra den ene figur til den næste.
   Dermed er der 4 firkanter flere i figur 11 sammenlignet med figur 10.
3. Usande påstande, der skal gælde for alle n, kan modbevises ved et eksempel:
   Figur 1 indeholder 8 røde firkanter. Dette sammenlignes med påstanden, som siger, at figur 1 indeholder: 4·1 + 2 = 6 røde firkanter. Da dette ikke passer, så er påstanden usand!
4. Figurens nummer kaldes n. Det ses af figurerne, at der for hver figur er n røde firkanter langs hver side af den indre hvide firkant. Da den indre hvide firkant har fire sider, så giver dette 4·n røde firkanter ud for siderne af den indre hvide firkant. Dette er vist for figur 2 til højre, hvor de nævnte firkanter er indrammet med blåt.
   Dertil kommer hjørne-firkanterne, som der er 4 af uanset figurens nummer. I alt giver dette: 4·n + 4 eller n + n + n + n + 4 røde firkanter for figur nummer n, dvs. Albert har ret
5. Man skal omskrive (n + 2)² - n² til 4·n + 4. Man får:
   (n + 2)² - n² =
   n² + 4·n + 4 - n² =
   n² - n² + 4·n + 4 =
   4·n + 4
   Dvs. hvis Lucca har ret, så har Frederikke det også.

En tredje måde at regne formlen ud på (ud over 5.4 og 5.5.)

Man deler figuren op i fire rektangler, der hver indeholder n + 1 små kvadrater som vist med blåt:



Dette giver formlen: antal kvadrater = 4·(n + 1) = 4·n + 4.

Svar på opgave 6: Retvinklede trekanter.

1. Ud fra betingelse 1) kan der tegnes to retvinklede trekanter, hvor den ene side er 3 og den anden 4. Enten er de to sider begge kateter (I) eller også er den største hypotenuse og den mindste katete (II). Det bemærkes, at ingen af disse trekanter har en side med længden 12 og dermed ikke kan være lig med nogen af trekanterne fra betingelse 2).
   
   Ud fra betingelse 2) kan der tegnes seks trekanter, hvor den ene side er 12, og hvor trekanten er ligedannet med en af de to trekanter fra betingelse 1). Disse er vist nedenunder:
   
   
   Dvs. ud fra betingelse 1) og 2) kan der i alt tegnes 8 retvinklede trekanter.