Svar på opgave 1: Sol-opdriftstårn

1. Formlen for massen af luft i kg (m) er:

   V·ρ, hvor

      V rumfanget af luft under glastaget i m³ og

      ρ dets densitet i kg/m³.

   Formlen for V er:

   A·h, hvor

      A er arealet af glastaget i m², og

      h er glastagets højde over jorden i m.

   Luftens densitet ved 25 °C slås op til 1,2 kg/m³. Man får følgende for dens masse:

   solve(m=a*h*ρ,v)|a=4.7*10⁴*m² and h=1.85*m and ρ=1.2*kg/m³ and kg=0.001*tons ▸ m=104.34*tons

   Dvs. massen af luft under glastaget er 104,3 tons

2. Nyttevirkningen følger formlen:

   η = P_nytte/P_sol, hvor

      P_nytte er den nyttiggjorte del af effekten fra solen i J/min. og

      P_sol er den tilførte effekt fra solen i J/min.

   Den nyttiggjorte effekt bruges til at opvarme luften 13°C. Formlen er:

   P_nytte = m·c·ΔT, hvor

      m er massen af luft,

      c er luftens specifikke varmekapacitet og

      ΔT er luftens temperaturændring i Kelvin

   Dette giver i Ti-Nspire:

   solve(p=m*c*t,p)|m=22.5*10³*kg and c=1.012*10³*joule*kg^-1*kelvin^-1 and t=13*kelvin ▸ e=2.9601*10⁸*joule

   Dvs. P_nytte = 2,96·10⁸ J/min.

   P_sol = P_A·A, hvor

      P_A er den tilførte effekt til solfangeren pr. arealenhed i J/(min·m²) og

      A er solfangerens areal i m².

   Dette giver:

   P_sol = (300 J/(s·m²))·4,7·10⁴ m² = (300 J/((1/60) min·m²))·4,7·10⁴ m² = 8,46·10⁸ J/min.

   Dvs. nyttevirkning = η = ((2,96·10⁸ J/min.)/(8,46·10⁸ J/min.))·100 % = 35,0 %

Svar på opgave 2: Lungeundersøgelse

1. Henfaldsskemaet er:

   

2. For massen af radioaktivt stof som funktion af tiden (m(t)) gælder:

   m(t)=(A₀/k)·m_n·exp(-k·t), hvor

      A₀ er aktiviteten til t=0 (begyndelsesaktiviteten) i s^-1,

      k er aktivitetskonstanten i s^-1,

      m_n er massen af en nuklid i kg og

      t er tiden i sekunder.

   Massen beregnes i Ti-Nspire:

   solve(m=(a_0/k)*m_n*exp(−k*t),m)|a_0=740*10⁶*sek^-1 and m_n=133*1.661*10^-27*kg and k=ln(2)/t_halv and t_halv=5.25*dag and t=10*dag ▸ m=3.30671·10⁻¹⁶*dag*kg/sek

   Masse = 3,30671·10⁻¹⁶ dag·kg/s. Her skal man have tidsenhederne til at gå ud. Man omregner til nanogram i Ti-Nspire:

   (3.30671*10⁻¹⁶*dag*kg/sek)|dag=24*3600*sek and kg=10¹²*nanogram ▸ 28.57*nanogram

   Dvs. massen af radioaktivt stof efter 10 dage er 28,6 ng

Svar på opgave 3: Zenerdiode

1. Effekten P findes af formlen

   P = U·I, hvor

      U er spændingen i Volt og

      I er strømstyrken i Ampere

   Spændingen over Zenerdioden, der svarer til 35 mA, aflæses af figuren nedenunder til 5,8 V.

   

   Man finder effekten i Ti-Nspire:

   solve(p=u*i,p)|u=5.8*volt and i=35*10^-3*amp and volt=watt/amp ▸ p=0.203*watt

   Dvs. effekten er 0,20 W

2. Zenerdioden har en spænding på 5,7 V. Den maksimale strømstyrke gennem dioden er 40·10^-3 A. Den maksimale spænding i kredsen er 6,1 V.

   Beskyttelsesmodstanden skal have et spændingsfald over sig på (6,1 - 5,7) V = 0,4 V ved 40 mA. Ohms lov for modstandens resistans giver:

   Resistans = (0,4 V)/(40 mA) = (0,4/40)·10³ Ω = 10 Ω

Svar på opgave 4: Vandret faldskærm

1. Man opretter lister med længde af elastik og elastikkens kraft i Ti-Nspire:

   længde:={10,12,14,16,18,20} ▸ {10,12,14,16,18,20}

   kraft:={0.,1.3,2.8,4.1,5.3,6.8} ▸ {0.,1.3,2.8,4.1,5.3,6.8}

   Man afbilder kraft som funktion af længde som vist nedenunder:

   

   Af figuren ovenfor ses det, at sammenhængen tilnærmelsesvis er lineær.

   Man laver en lineær regression af sammenhængen mellem kraft af elastik og længde af elastik.

   LinRegMx længde,kraft,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results ▸
   [["Titel","Lineær regression (mx+b)"]
   ["RegEqn","m*x+b"]
   ["m",0.675714]
   ["b",−6.75238]
   ["r²",0.999154]
   ["r",0.999577]
   ["Resid","{...}"]]

   Regressionsformlen er F(x) = 0,6757·x - 6,752, hvor x er elastikkens længde. Kurven for F(x) er vist nedenunder:

   

2. Ved at beregne arealet under kurven af længde som funktion af tiden, så kan man finde elastikkens sammentrækning. Arealet er fundet i Geogebra ved hjælp af polygon-værktøjet som vist nedenunder.

   

   4 tern på figuren svarer til 1 m sammentrækning af elastikken. Arealet under kurven er 22,5 areal-enheder i Geogebras koordinatsystem, hvor 0,94 areal-enheder svarer til en tern.

   Man finder arealet i antal tern: 22,5 areal-enheder/(0,94 areal-enheder/tern) = 23,9 tern.

   Antal meter, som elastikken er trukket sammen er: 23,9 tern/(4 tern/m) = (23,9/4) m = 5,975 m

   Dvs. elastikkens længde er 20 m - 5,975 m = 14,0 m

3. Den resulterende kraft på faldskærmen efter 1,5 sek. er accelerationen af faldskærmen på det tidspunkt gange faldskærmens masse.

   Luftens kraft er denne kraft minus elastikkens kraft, som findes af regressionsligningen: F(x) = 0,6757·x - 6,7524.

   Man skal finde F(14), da man ved fra første spørgsmål, at længden af elastikken efter 1,5 sek. er x = 14 m.

   F(14) = 0,6757·14 - 6,7524 = 2,708

   Accelerationen findes af grafen som hældningen (α) til tiden 1,5 sek. Det ses, at α = 1,0 m/s².

   

   Luftens kraft er dermed 2,71 N - 0,116 N = 2,594 N.

   Hastigheden af faldskærmen aflæses til v = 2,4 m/s.

   Formfaktoren findes i Ti-Nspire ved hjælp af formlen: F = 0,5·ρ·c·A·v², hvor

      F er luftens kraft,

      ρ er luftens densitet ved 20 °C,

      c er formfaktoren for faldskærmen,

      A er faldskærmens areal vinkelret på luftstrømmen og

      v er luftens hastighed i forhold til faldskærmen.

   Man får følgende i Ti-Nspire:

   solve(f_luft=0.5*ρ*c*a*v²,c)|f_luft=2.594*newton and m=0.116*kg and ρ=1.2*kg/meter³ and a=(0.37*meter)²*π and v=2.4*meter/sek and newton=kg*meter/sek² ▸ c=1.74519

   Dvs. faldskærmens formfaktor er 1,7

   (I følge internettet er formfaktoren for en halvkugle omkring 2).

Svar på opgave 5: B mesoner

1. Kvarksammensætningerne slås op. For B⁰ (B-nul mesonen) er den db̅ (down-antibottom) og for B̅⁰ (B-nul antimeson) er den bd̅ (bottom-antidown)

2. Bevægelsesmængdebevarelse for partikelsammenstødet giver, at

   p_Υ = p_e - p_p, hvor

      p_Υ er ypsilon-mesonens bevægelsesmængde,

      p_e elektronens bevægelsesmængde og

      p_p positronens bevægelsesmængde.

   Elektronens masse = positronens masse = 0,511 MeV/c i følge tabel.

   Der gælder følgende sammenhæng mellem partiklernes energi og bevægelsesmængde:

   E² = m²·c⁴ + p²·c², hvor

      E er partiklens energi,

      m er partiklens hvilemasse,

      p er partiklens bevægelsesmængde og

      c er lysets hastighed.

   Man finder p_e i Ti-Nspire:

   solve(e_e²=m_e²*c⁴+p_e²*c²,p_e)|e_e=8.992*10³*mev and m_e=0.511*mev/c² ▸ p_e=8992.*mev/c or p_e=−8992.*mev/c

   Tilsvarende finder man p_p:

   solve(e_p²=m_p²*c⁴+p_p²*c²,p_p)|e_p=3.12*10³*mev and m_p=((0.511*mev)/(c²)) ▸ p_p=3120.*mev)/c or p_p=−3120.*mev/c

   Dette giver følgende for ypsilon-mesonens bevægelsesmængde:

   p_Υ = 8992 MeV/c - 3120 MeV/c = 5872 MeV/c = 5,872 GeV/c

3. Den strækning, som B-mesonen tilbagelægger, følger formlen:

   s = γ·t₀·v, hvor

      γ er gamma-faktoren,

      t₀ er partiklens middellevetid i hvile og

      v er partiklens fart

   For partiklens fart gælder desuden:

   v = p/(γ·m₀), hvor

      p er partiklens bevægelsesmængde og

      m₀ er partiklens hvilemasse.

   Dette giver samlet følgende formel for strækningen:

   s = γ·t₀·p/(γ·m₀) = t₀·p/m₀ (bemærk at gammafaktoren, γ, går ud).

   I følge tabellen er m₀ for B-nul mesonen lig med 5279,4 MeV/c².

   Bevægelsesmængden for B-nul mesonen er halvdelen af ypsilonmesonen = 0,5·5872 MeV/c = 2936 MeV/c.

   Dette giver følgende strækning:

   ((2936 MeV/(3,0·10⁸ m/s))/(5279,4 MeV/(3,0·10⁸ m/s)²))·1,6·10^-12 s =

   (2936/5279,4)·3,0·10⁸·1,6·10^-12 m = 0,0002669 m = 266,9 μm

Svar på opgave 6: Laserkøling

1. Massen af Rb-85 er 85·1.661·10⁻²⁷ kg = 1,412·10⁻²⁵ kg.

   Bevægelsesmængden (p) af Rb-85 er p = m·v, hvor

      m er massen af en Rb-85 nuklid og

      v er dens fart.

   Man finder farten af et atom i Ti-Nspire:

   solve(p=m*v,v)|p=2.01*10^-25*kg*meter/sek and m=1.41185*10^-25*kg ▸ v=1.42366*meter/sek

   Dvs. atomets fart er 1,42 m/s

2. Et Rb-85 atom mister en bevægelsesmængde, der svarer til den bevægelsesmængde, som de fotoner, den støder ind, i kommer med.

   Hver foton har bevægelsesmængden h/λ, hvor h er Plancks konstant og λ er fotonens bølgelængde. Fotonernes samlede bevægelsesmængde er n·h/λ, hvor n det antal, der rammer Rb-85 atomet.

   Planck's konstant = h = 6,63·10^-34 J·s

   Antallet af fotoner beregnes i Ti-Nspire:

   solve(m*v=n*h/λ,n)|m=1.41185*10^-25*kg and v=1.42366*meter/sek and h=6.63*10^-34*joule*sek and c=3.*10⁸*meter/sek and λ=780*10^-9*meter and joule=kg*meter²/sek² ▸ n=236.47

   Dvs. antallet af fotoner er 236

   (Man kan ikke bruge energibevarelse, da Rb atomerne absorberer en foton for derefter at afgive en anden, og man kender ikke energien af den afgivne foton.

   Antagelsen om at fotonernes bevægelsesmængde skaber et tab i bevægelsesmængde for Rb-85 atomerne, bygger på at atomerne kun absorberer fotoner, når de bevæger sig mod dem, mens de afgiver en foton i en tilfældig retning. Dermed skaber de afgivne fotoner for Rb-85 atomerne ikke nogen nettobevægelsesmængde, og man kan se bort fra dem.)

Svar på opgave 7: Fliselægning med sugekop

1. Sugekoppen presses mod stenen med en kraft (F_s), der er lig med

   F_s = A·(p_l - p_s), hvor A er sugekoppens areal i m², p_i er lufttrykket i N/m² og p_s er lufttryket mellem sugekoppen og stenen.

   Sugekoppen kan højst løfte en flise, der påvirkes af en tyngdekraft (F_T) der er lig med F.

   For tyngdekraften på stenen gælder F_T = m·g, m er stenens masse i kg.

   Det må forudsættes, at flisen ikke er for stor til at sugekoppen kan nå ind til midten af den. Ellers vil flisen være ude af balance.

   Luftens tryk p_l = 101325 N/m².

   Lufttrykket mellem sugekop og flise antages at være 50% af p_l

   Sugekoppens radius sættes til 0,1 m.

   Tyngdeaccelerationen g = 9,82 m/s²

   Kraften beregnes i Ti-Nspire:

   solve(m*g=r²*π*(p_l-p_s),m)|g=9.82*meter/sek² and r=0.1*meter and p_l=101325*newton/meter² and p_s=0.5*p_l and newton=kg*meter/sek² ▸ m=162.078*kg

   Dvs. sugekopmaskinen kan teoretisk set løfte en sten på 162 kg

   (I følge internettet kan en sådan løftemaskine løfte ca. 80 kg.)