Matematik B STX eksamen 13. august 2015 | Oversigt

Svar på opgave 1:

  1. Linjens ligning kan skrives y = ax + b. Koefficienten a er linjens hældning. Den findes ud fra punkternes koordinater ved hjælp af formlen:

    a = (9 - 2)/(-3 - 4) = 7/(-7) = -1. Dermed har man den foreløbige ligning: y = -x + b. Koefficienten b findes ved at indsætte et punkt. Her vælges P = (4,2):

    y = -x + b ⇒ 2 = -4 + b ⇒ 2 + 4 = b ⇒ b = 6.

    Dvs. linjen har ligningen y = -x + 6

Svar på opgave 2:

  1. (x + 4)2 + (x - 4)2 =

    x2 + 2·4·x + 42 + x2 - 2·4·x + 42 =

    x2 + 16 + x2 + 16 =

    2x2 + 32

Svar på opgave 3:

  1. Skaleringsfaktoren er forholdet mellem to ensliggende sider i hver sin trekant. Med ensliggende menes, at de to sider ligger mellem to lige store vinkler. Siderne AB og DE er således ensliggende, da ∠A = ∠D og ∠B = ∠E.

    Der gælder med andre ord, at enten |AB|/|DE| = 3 eller |DE|/|AB| = 3. Man kan ikke se af opgaven, hvordan skaleringsfaktoren er beregnet.

    Idet man indsætter |AB| = 15 får man følgende to ligninger med hensyn til |DE|:

    15/|DE| = 3 ∨ |DE|/15 = 3 ⇒

    15 = 3·|DE| ∨ |DE| = 3·15 ⇒

    |DE| = 15/3 ∨ |DE| = 45 ⇒

    |DE| = 5 ∨ |DE| = 45

Svar på opgave 4:

  1. Koefficienten b viser, hvor højt oppe på y-aksen, at f(x) skærer aksen. Koefficienten a siger hvor hurtigt, at f(x) går mod uendelig.

    Dvs. den funktion, der skærer y-aksen højest oppe har den største b-værdi og den funktion der ligger øverst efter det fælles skæringspunkt mellem A, B og C har den højeste a-værdi.

    Dermed gælder: C er graf for funktionen med den højest b-værdi og A er graf for funktionen med den højeste a-værdi

Svar på opgave 5:

  1. f´(x) = 3x2 + 5. Grafen er en parabel, som er tegnet nedenunder i Geogebra.

Svar på opgave 6:

  1. Integralet bliver:

Svar på opgave 7:

  1. Man opretter en liste for vægten i Ti-Nspire.

    vægt:={83.,81.5,79.1,78.2,76.,75.5} ▸ {83.,81.5,79.1,78.2,76.,75.5}

    Man opretter dernæst en liste over løbetider:

    løbetid:={6.48,6.42,6.28,6.22,6.2,6.15} ▸ {6.48,6.42,6.28,6.22,6.2,6.15}

    Man laver lineær regression på de to lister ved hjæp af kommandoen Beregninger ▸ Statistik ▸ Statistiske beregninger ▸ Lineær regression (mx + b)...

    LinRegMx vægt,løbetid,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results ▸

    Af listen fremgår at m = a = 0,0431 og b = 2,889

  2. Koefficienten a er det antal minutter, som hun forbedrer sin tid, hver gang hun taber et kilogram (eller omvendt: forværrer sin tid hver gang hun tager et kilogram på).

    Den gennemsnitlige løbetid pr. kilometer ved en vægt på 74 kilogram er lig med f(74). Dette tal findes i Ti-Nspire ved hjælp af f1(x), som er den regressionsfunktion, Ti-Nspire automatisk opretter.

    f1(74) ▸ 6.081

    Dvs. løbetiden er 6,08 min./km

  3. Man skal løse ligningen f(x) = 6 med hensyn til x. Dette gøre med solve-kommandoen i Ti-Nspire:

    solve(f1(x)=6,x) ▸ x=72.123

    Dvs. hendes vægt skal i følge modellen være 72,1 kilogram

Svar på opgave 8:

  1. Man opretter f(x) i Ti-Nspire:

    f(x):=x4+5*x3-15*x2-5*x+14 ▸ Udført

    Man løser ligningen i Ti-Nspire:

    solve(f(x)=0,x) ▸ x=−7 or x=−1 or x=1 or x=2

    Dvs. løsningen er x = −7, x = −1, x = 1 eller x = 2,

  2. Man finder tangentligningen ved hjælp af teksten "y=" og kommandoen tangentLine() i Ti-Nspire:

    y=tangentLine(f(x),x,1) ▸ y=16-16*x

    Dvs. tangentens ligning gennem punktet (1,f(1)) er y = -16x + 16

Svar på opgave 9:

  1. Man opretter en liste over intervalendepunkter for varighed. Man starter med nedre grænse for første interval og fortsætter med øvre grænse for alle intervaller.

    varighed:={0,2,4,6,8,10,12} ▸ {0,2,4,6,8,10,12}

    Man opretter derefter en liste over hyppigheden for de enkelte varigheder.

    hyppighed:={0,889,722,531,358,341,396} ▸ {0,889,722,531,358,341,396}

    Ud fra hyppigheder opretter man en liste af kummulerede frekvenser.

    kummfrekvens:=cumulativeSum(hyppighed/sum(hyppighed))*1. ▸ {0.,0.2746,0.49768,0.66172,0.77232,0.87766,1.}

    Udfra listerne varighed og kummfrekvens laves en sumkurve i Ti-Nspire.

Svar på opgave 10:

  1. Man opretter f(x) i Ti-Nspire.

    f(x):=12350*0.96x ▸ Udført

    Man finder værdien i Ti-Nspire, idet man skal tage funktionsværdien af differencen mellem 2007 og 2012:

    f(2012-2007) ▸ 10069.85

    Dvs. kvadratmeterprisen i 2012 er 10070 kr.

  2. Man skal løse ligningen f(x) = 9000 med hensyn til x.

    solve(f(x)=9000,x) ▸ x=7.75

    Man runder op og får, at årstallet er 2007 + 8 = 2015

  3. Man opretter g(x) i Ti-Nspire.

    g(x):=14251*0.95x

    Man skal løse ligningen f(x) = g(x) med hensyn til x.

    solve(f(x)=g(x),x) ▸ x=13.67

    Dvs. årstallet er 2008 + 13 + 0,67·12 mdr. = august 2021

Svar på opgave 11:

  1. Der gælder følgende trigonometriske ligning:

    Højden i B = |BC|·sin(v) ⇒ 17,2 = 22·sin(v) ⇒ sin(v) = 0,7818. Det bemærkes af v er stump og at v derfor er 180° - sin-1(0,7818) ⇒ v = 128,6°

Svar på opgave 12:

  1. Man opretter f(x) i Ti-Nspire:

    f(x):=−x2+3.5*x+sqrt(x) ▸ Udført

    Man skal bestemme nulpunkterne for f for at kende grænserne af området M.

    solve(f(x)=0,x) ▸ x=0. or x=4.

    Man skal beregne arealet af M ved at integrere f(x) fra x = 0 til x = 4.

    integral(f(x),x,0,4) ▸ 12.

    Dvs. arealet af M er 12

    Nedenunder er M tegnet i Geogebra.

Svar på opgave 13:

  1. Der er tale om en χ2 uafhængighedstest med en frihedsgrad.

    Nulhypotesen er, at der ikke er sammenhæng mellen køn (lodret søjle) og farvens betydning (vandret række).

    Man opretter tabellen med observationer som en matrix i Ti-Nspire:

    Man bruger kommandoen (Beregninger ▸ Statistik ▸ Statistiske tests ▸ χ2-uafhængighedstest...)

    χ²2way observeret: stat.results ▸

    Da PVal er mindre end 0,05 = 5 % forkastes hypotesen

Svar på opgave 14:

  1. Man opretter v(t) i Ti-Nspire:

    v(t):=(10-0.1*t2)3 ▸ Udført

    For at bestemme mængden af vand i beholderen efter 5 minutter skal man finde v(5).

    v(5) ▸ 421.875

    Dvs efter 5 minutter er der 422 L i beholderen

    For at finde det tidspunkt, hvor mængden af vand er 4 L skal man løse ligningen: v(t) = 4 med hensyn til t inden for intervallet 0≤t≤10.

    solve(v(t)=4,t)|0<t<10 ▸ t=9.172

    Dvs. der går 9,2 minutter før der er 4 L i beholderen.

  2. Man bestemer v'(t) med kommandoen rderivative() i Ti-Nspire.

    derivative(v(t),t) ▸ −0.006*t*(t2-100.)2

    Dvs. V'(t) = −0,006·t·(t2 - 100)2

    Man skal finde det tidspunkt, hvor den numeriske værdi af V'(t) er størst.

    fMax(abs(derivative(v(t),t)),t)|0<t<10 ▸ t=4.472

    Dvs. det tidspunkt hvor der løber mest vand ud af beholderne pr. minut er efter 4,47 minutter