Matematik A STX eksamen 7. december 2016 | Oversigt

Svar på opgave 1:

  1. En lineær funktion f har forskriften: f(x) = ax + b, hvor a og b er konstanter. Disse findes ved at løse to sammenhørende ligninger:

    a·8 + b = 9 ∧ a·14 + b = 12 ⇔

    a = (9 - b)/8 ∧ [(9 - b)/8]·14 + b = 12 ⇔

    a = (9 - b)/8 ∧ b(1 - 14/8) = 12 - 9·14/8 ⇔

    a = (9 - b)/8 ∧ b·(-6) = -30 ⇔

    a = 1/2 ∧ b = 5

    Dvs. forskriften for f er f(x) = (1/2)·x + 5

Svar på opgave 2:

  1. Parablens toppunkt er (xT,yT) = (-b/(2·a),c-b2/(4·a)). Her er a = 2, b = -4 og c = 3.

    Det giver : xT = -(-4)/(2·2) = 1 og yT = 3 - (-4)2/(4·2) = 1.

    Dvs. toppunktet er (1,1)

Svar på opgave 3:

  1. Ligningen for tangenten gennem (1,f(1)) er y = f´(x)·(x - 1) + f(1).

    f'(x) = 1/x + 2. Det giver: f´(1) = 1/1 + 2 = 3.

    f(1) = ln(1) + 2·1 = 2. I alt får man:

    y = 3·(x - 1) + 2 ⇒ y = 3x - 1

Svar på opgave 4:

  1. 2·(a+b)/(a2 - b2) = 2·(a+b)/[(a+b)(a-b)] = 2/(a-b)

Svar på opgave 5:

  1. Firkant ABCD er et rektangel. Trekant ABE er en af de fire trekanter, der dannes af rektanglet og dets diagonaler. Alle disse fire trekanter har et areal, der er en fjerdel af rektanglets.

    Dvs. arealet af trekant ABE er (1/4)·6·8 = 12

    (Bevis: Rektanglet kan inddeles som vist. Alle de fire trekanter mærket med "I" har arealet 0,5·3·4 = 6. Både den røde og det blå trekant består af to sådanne trekanter og har dermed begge arealet 12.)

Svar på opgave 6:

  1. Man skal finde integralet af g minus f fra x = 0 til x = 4. Dette er lig med:

    G(4) - F(4) - (G(0) - F (0)) = 5 - 3 - (-1 - 1) = 4

Svar på opgave 7:

  1. Man opretter en liste med år after 2009 i Ti-Nspire:

    årstal:={2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}-2009 ▸ {0,1,2,3,4,5,6}

    Man opretter en liste med salg i Ti-Nspire:

    salg:={46,70,516,1128,1743,3318,11970} ▸ {46,70,516,1128,1743,3318,11970}

    ExpReg årstal,salg,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results ▸
    [["Titel","Eksponentiel regression"]
    ["RegEqn","a*b^x"]
    ["a",47.9958]
    ["b",2.49669]
    ["r²",0.963895]
    ["r",0.981782]
    ["Resid","{...}"]
    ["ResidTrans","{...}"]]

    (Kommandoen hedder: Beregninger ▸ Statistik ▸ Statistiske beregninger ▸ Eksponential regression...)

    Man udskriver f(x), der er den regressionsfunktion, som Ti-Nspire har dannet (se: "...CopyVar stat.RegEqn,f1").

    f1(x) ▸ 47.9958*(2.49669)x

    Heraf ses, at a = 2,497 og b = 48,00

    Målepunkterne (blå cirkler) og regressionsfunktionen (rød streg) er vist nedenunder:

  2. Konstanten a er fremskrivningsfaktoren, der er det tal som sidste års salg skal ganges med for at få det nye års.

    Fordoblingskonstanten er ln(2)/ln(a) = ln(2)/ln(2,4967) = 0,76, dvs. der går 0,76 år før salget af el-biler er fordoblet.

  3. f´(7) findes i Ti-Nspire: derivative(f1(x),x)|x=7 ▸ 26556

    Dvs. vækstraten efter 7 år er 26.556 biler/år

Svar på opgave 8:

  1. Man opretter vektorerne a og b i Ti-NSpire:

    a:=[3*t+20,2] ▸ [3*t+20,2]

    b:=[2,−1] ▸ [2,−1]

    Man beregner projektionen ab for t=1:

    (dotP(a,b)/norm(b)2)*b|t=1. ▸ [17.6,−8.8]

    Dvs. projektionen er (17,6;−8,8)

  2. Man finder de t, der giver samme længde (norm) for de to vektorer i Ti-Nspire:

    solve(norm(a)=norm(b)*1.,t) ▸ t=−7. or t=−6.3333

    Dvs. t = -7 ∨ t = −6,333

Svar på opgave 9:

  1. Man bruger formlen for procent-procentvækst og får (husk at a er negativ):

    (1,2-0,8 - 1)·100 % = −13,57 %, dvs. y aftager med 13,6 %, når x vokser med 20 %.

Svar på opgave 10:

  1. Man finder vinkel B i Ti-Nspire ved hjælp af en cosinusrelation:

    solve(cos(b*1.°)=(2*102-162)/(2*102),b)|0<b<180 ▸ b=106.26

    Dvs. vinkel B = 106,3°

    Diagonalen |BD| = |BP| + |PD| som vist på tegningen ovenfor. Linjestykkerne BP og PD er kateter i hver sin retvinklede trekant. Man får længden af BD ved hjælp af Pythagoras læresætning:

    √[102-82] + √[12,22-82] = 15,2109. Dvs. længden af diagonalen BD er 15,21

  2. Firkant ABCD er en dragefirkant. Arealet er halvdelen af produktet af diagonalernes længder. Dvs arealet af firkant ABCD = (1/2)·16·15,2109 = 121,7

  3. Firkanten ABCD ligger i yz-planen. Denne plan har (1,0,0) som normalvektor.

    Planen α har normalvektoren: (85,6;−51,6;68,8), der aflæses af planens ligning: 85,6x + (-51,6)·y + 68,8z = 0.

    Vinklen mellem de to firkanter findes ud fra vinklen mellem normalvektorerne til de planer der indeholder dem. Man får følgende i Ti-Nspire:

    solve(cos(x*1.°)=dotP([85.6,−51.6,68.8],[1,0,0]/(norm([85.6,−51.6,68.8])*norm([1,0,0])),x)|0<x<180 ▸ x=45.1336

    Dvs. den stumpe vinkel er 180° - 45,13° = 134,9°

Svar på opgave 11:

  1. Man opretter f(x) i Ti-Nspire: f(x):=3*sin(2*x)+7 ▸ Udført

    Dette giver følgende graf: (definitionsmængden skrives: f(x)|0<x<2*pi)

    Minimum for f findes, når sin(2x) = -1. Dette giver minimumsværdien: 7 - 3 = 4

  2. Ligningen løses i Ti-Nspire:

    solve(f(x)=8.5,x)|0≤x≤2*π ▸ x=0.261799 or x=1.309 or x=3.40339 or x=4.45059

    Dvs. løsningerne er: x = 0,2618 ∨ x = 1,309 ∨ x = 3,4034 ∨ x = 4,4506

    (Løsningerne kan også findes som førstekoordinaterne til skæringspunkterne mellem grafen for f og linjen y = 8,5. Dette er vist på figuren nedenunder.)

  3. På figuren nedenfor er M vist:

    Rumfanget af rotationslegemet findes i Ti-Nspire:

    1.*π*integral((f(x))2,x,0,5) ▸ 958.479

    Dvs. rumfanget af rotationslegemet er 958,5

Svar på opgave 12:

  1. Afstanden d findes ved hjælp af Pythagoras læresætning som vist på figuren nedneunder:

    Man får d = √[(4-x)2+(−x2+4x)2] = √[x4 - 8x3 + 17x2 - 8x + 16]

  2. Man bruger fMax-kommandoen i Ti-Nspire til at finde det x, der giver den største værdi af d. Man behøver kun at undersøge udtrykket under kvadratrodstegnet for at finde x.

    fMax(x4-8*x3+17*x2-8*x+16,x)|0≤x≤4 ▸ x=1.70711

    Man skal desuden finde f(x) for dette x: −x2+4*x|x=1.70711 ▸ 3.91422.

    Dvs. at koordinatsættet til det punkt, der er længst fra A på ruten, er (1,707;3,914)

Svar på opgave 13:

  1. Man foretager en Chi-i-anden uafhængighedstest. Det samlede antal personer findes som totalsummen (f.eks. højre kolonne): 178 + 29 = 207

    De forventede værdier findes ved at gange rækkesum med kolonnesum og dividere med antallet af personer i undersøgelsen. Dette giver følgende skema i Ti-Nspire over forventede værdier:

  2. Man skal sammenlige teststørrelsen på 2,925, med den kritiske grænse for en chi-i-anden fordeling med 2 frihedsgrader. Den kritiske grænse på et 5 % signifikansniveau findes i Ti-Nspire:

    invχ²(0.95,2) ▸ 5.9915

    Da teststørrelsen er mindre end den kritiske grænse accepteres nulhypotesen.

Svar på opgave 14:

  1. Man finder væksthastigheden til t=0, ved at indsætte startværdierne på højre side af differentialligningen: 0,02·(300 - 75) = 4,5 enheder/dag2

  2. Differentialligningen løses i TI-Nspire:

    deSolve(a'=0.02*(300-a) and a(0)=75,t,a) ▸ a=300.-225.*(0.980199)t

    Dvs. løsningen er A(t) = 300 - 225·0,9802t

    Det tidspunkt, hvor en medarbejder har opnået en produktivitet på 200 enheder pr. dag, findes i Ti-Nspire:

    solve(300.-225.*(0.980199)t=200,t) ▸ t=40.5472

    Dvs. der går 40,5 døgn

  3. Man løser den nye differentialligning:

    deSolve(a'=k*(250-a) and a(0)=50,t,a) ▸ a=250-200*exp(−k*t)

    Dernæst finder man k:

    solve(250-200*exp(−k*30)=120.,k) ▸ k=0.014359

    Dvs. k = 0,014

    M er den øvre grænse for produktiviteten. Det kan også vises grafisk som den røde linje på nedenstående figur: