Matematik A STX eksamen 13. august 2015 | Oversigt

Svar på opgave 1:

  1. Når x = 7, bliver y = 3·7 + 4 = 25. Væksten bliver: 3·5 = 15

Svar på opgave 2:

  1. Der er tale om eksponentiel vækst, fordi prisen vokser med en bestemt konstant procent­sats hvert år. De varable er:

    x: antal år efter 2015, y: prisen i kr. Til en eksponentiel vækstmodel hører en startværdi (prisen for x = 0) og en fremskrivningsfaktor. Startværdien er 213 kr. og fremskrivnings­faktoren er 1 + 4,5% = 1,045. Modellen bliver:

    f(x) = 213·1,045x, x > 0

Svar på opgave 3:

  1. a > 0, da grenene på kurven vender opad.

    b < 0, da hødningen til kurven er negativ, der hvor den skærer y-aksen.

    c > 0, da kurven skærer y-aksen i en værdi, der er større end 0.

    d < 0, da kurven ikke skærer x-aksen.

Svar på opgave 4:

  1. V = l·b·h = (3h + 4)·(2l + 1)·h = (3h + 4)·(2(3h + 4) + 1)·h = (3h + 4)·(6h + 9)·h

Svar på opgave 5:

  1. Man indsætter f(x) = x·ex på begge sider af differentialligningen og ser, om man får det samme.

    Venstre side giver:

    Højre side giver:

    Da venstre og højre side er ens, er f(x) en løsning.

Svar på opgave 6:

  1. Man laver substitutionen:

    Dette giver:

Svar på opgave 7:

  1. Man skal finde de t, for hvilke skalarproduktet af de to vektorer er 0:

  2. Man skal løse følgende ligning med hensyn til t:

    Den løses i TiNspire:

Svar på opgave 8:

Løst i Geogebra.

  1. Man sætter tallene ind i et regneark og indfører variablen x = årstal - 2007:

    Heraf får man ved hjælp af tovaribel-regressionsanalyse følgende lineære regressionskurve:

    Det fremgår af figuren, at a = 8.983 og b = 244.963

  2. a er væksten målt i antal familier pr. år.

    Antallet af familier med to biler i 2020 er: f(2020-2007) = f(13) = 8.983·13 + 244.963 = 361.738 biler

Svar på opgave 9:

  1. Man bruger cosinusrelationen:

    Det samme løst i Geogebra:

  2. En median deler en trekant i to trekanter med samme areal. D er dermed punktet hvor medianen fra hjørnet A skærer siden a. Da |BC| = 6,41 er |CD| = 3,21. Man finder derefter |AD| med cosinusrelationen:

Svar på opgave 10:

Løsning i Ti-Nspire.

  1. Man skal vise, at afstanden fra cirklens centrum til førsteaksen er lig med radius.

    Afstanden fra centrum til førsteaksen er lig med centrums y-værdi = 5, hvilket ses af cirklens ligning. Radius = √25 = 5, hvormed det ønskede er bevist.

  2. Tangenternes røringspunkter kan findes som skæringspunkterne mellem cirklen og en linje gennem centrum og vinkelret på linjen y = (4/3)·x.

    Denne linje har ligningen - ¾·x + b, hvor b kan findes ved at indsætte centrumskoordinater i ligningen: - ¾·(3) + b = 5 ⇒ b = 29/4. Skæringspunkterne findes ved Ti-Nspire kommandoen:

    solve(y=(−3/4)*x+(29/4) and (x-3)2+(y-5)2=25.,x,y) ▸ x=−1. and y=8. or x=7. and y=2.

    Dette giver skæringspunkterne: (x,y) = (-1,8) og (x,y) = (7,2)

Svar på opgave 11:

  1. Geogebra: Man får følgende grønne kurve for G(t) (x er valgt i stedet for t, da det er lettere i Geogebra). G(2) = 161,8 mg/dl

  2. Ti-Nspire: Man definerer G(t) og løser G'(t) = 0 ved hjælp af kommandoerne:

    Man beregner derefter G(0,9913) og G(4,0414) for at finde henholdsvis maksimum og minimumsværdien (se nedenstående figur).

    Geogebra: funktionsundersøgelses-værktøjet bruges til at finde minimum og maksimum. Minimum = 78,4 mg/dl og maksimum = 216,1 mg/dl

  3. Nedenstående figur, der er lavet i Geogebra, viser G'(t) med blå streg. Der er to nulpunkter for G'(t) : et ved maksimum og et ved minimum. Mellem disse værdier er G'(t) < 0 og G(t) dermed aftagende. Dvs. G(t) er aftagende mellem t = 1,0 timer og t = 4,0 timer

Svar på opgave 12:

Løsning i Geogebra.

  1. Nulhypotesen er, at afvigelserne mellem observerede og forventede hyppigheder skyldes tilfældigheder.

    Der er tale om en goodnes-of-fit test, idet man får opgivet forventede sandsynligheder. Disse tal (divideret med 100) ganger man det samlede antal observationer for at finde forventede hyppigheder. Resultatet er vist i tabellen nedenunder.

  2. Af tabellen fremgår det, at Q-værdien er 21,7. Dette sammenlignes med tallet 15,5, der er nedre grænse for det kritiske område (P(X ≥ 15,5) = 0,05, for en Chi^2 fordeling med 8 frihedsgrader). Da 21,7 ligger i det kritiske område, forkastes nul-hypotesen

Svar på opgave 13:

Løsning i Geogebra.

  1. Man indtaster punkterne og bruger Flade gennem 3 punkter-værktøjet.

  2. Man indtaster punkterne D og E. Man vælger linje-værktøjet (1. i rød ramme fra venstre) og klikker på de to punkter. Dermed får man linjen med det automatisk valgte navn b, der svarer til l. Den har parameterfremstillingen: (x,y,z) = (6,-2,9) + t·(1,-5,1), t er et reelt tal.

    Skæringspunktet F findes ved hjælp af skæringsværktøjet (2. i rød ramme fra venstre). Man klikker først på planen og dernæst på linjen samtidig med at skæringsværktøjet er aktiveret og får F = (5,3,8)

Løsning i Ti-Nspire.

  1. AB×AC er normalvektor til planen. Den findes med Ti-Nspire kommandoen:

    Et punkt P = (x,y,z) i planen skal opfylde at AP·(AB×AC) = 0. Man findes (AB×ACAP ved hjælp af Ti-Nspire kommandoen:

    Dvs. planens ligning er 600x + 200y + 300z - 6000 = 0 eller kortere: 6x + 2y + 3z - 60 = 0

  2. Vektoren DE er retningsvektor til linjen. DE = (7 - 6, -7 - (-2), 10 - 9) = (1,-5,1). Linjen går gennem punktet D = (6, -2, 9). Parameterfremstillingen bliver:

    l: (x,y,z) = (6,-2,9) + t·(1,-5,1), t ∈ R.

    Skæringspunktet findes ved først at tage paramterværdierne for x, y og z i linjens parameterfremstilling og indsætte dem i planens ligning.

    Man får: 6x + 2y + 3z - 60 = 0 ∧ (x,y,z) = (6,-2,9) + t·(1,-5,1) ⇔

    6x + 2y + 3z - 60 = 0 ∧ (x = 6 +t ∧ y = -2 -5t ∧ z = 9 + t) ⇒

    6·(6 + t) + 2·(-2 -5t) + 3·(9 + t) - 60 = 0 ⇔

    36 + 6t - 4 - 10t + 27 + 3t - 60 = 0 ⇔ t = -1

    Dette t indsættes i linjens ligning og man finder skæringspunktet: (x,y,z) = (6,-2,9) - 1·(1,-5,1) = (5,3,8)

Svar på opgave 14:

  1. Ti-Nspire. Man bruger kommandoerne:

    og

    expand(2.4E-4*t*(t-100.)*(t-50.)) ▸ 0.00024*t3 - 0.036*t2 + 1.2*t

    Løsning: S(t) = 0,00024·t3 - 0,036·t2 + 1,2·t, 0 ≥ t ≥ 50

  2. Man bruger kommandoen:

    fMax(2.4E-4*t3-0.036*t2+1.2*t,t)|0≤t≤50 ▸ t=21.13

    Tidspunktet, hvor saltmængden er størst er derfor: t = 21,1 timer

Svar på opgave 15:

  1. Indfør den konstante funktion g(x) = 5. Arealet bliver:

  2. Omdrejningslegemet har rumfanget: