Matematik A STX eksamen 5. december 2014 (Ti-Nspire) | Oversigt

Svar på opgave 1:

  1. Løsning:

    x2 + 5x - 14 = 0 ⇔

    x = -5/2 ± (1/2)·√[25 - 4·1·(-14)] ⇔

    x = -5/2 ± (1/2)·√[25 + 56] ⇔

    x = -5/2 ± (1/2)·√81 ⇔

    x = -5/2 ± (1/2)·9 ⇔

    x = -7x = 2

Svar på opgave 2:

  1. Modellen bliver f(x) = 6·0,987x,

    f(x) er arealet af havis i mio. km2 og x er antal år efter 2008. (0,987 = 1 - 1,3 %.)

Svar på opgave 3:

  1. Den lodrette afstand fra sædet på gyngen til toppen af stativet kan findes som den korteste katete i en 3-4-5 retvinklet trekant. Dvs. den lodrette afstand fra sædet til toppen er 3 m.

    Disse 3 m skal trækkes fra stativets højde og man får sædets højde over jorden til (6,3 - 3) m = 3,3 m

Svar på opgave 4:

  1. Stamfunktionen til f(x) er ln(x) + 2x3 + k.

    Man skal løse ligningen: ln(1) + 2·13 + k = 8 med hensyn til k:

    ln(1) + 2·13 + k = 8 ⇔

    2 + k = 8 ⇔

    k = 6

    Dvs. stamfunktionen bliver F(x) = ln(x) + 2·x3 + 6, x > 0

Svar på opgave 5:

  1. Tangenten har ligningen: y = ax + b, hvor hældningen a kan findes ved at indsætte (x,y) = (2,3) på højreside af differentialligningen (forudsat der står dy/dx på venstre side og ikke andet):

    (x2 + 1)/(y - 1) = (22 + 1)/(3 - 1) = 5/2

    Man har y = (5/2)·x + b

    Derefter findes b ved at indsætte (x,y) = (2,3) i y = (5/2)·x + b og løse den fremkomne ligning med hensyn til b:

    y = (5/2)·x + b ⇒ 3 = (5/2)·2 + b ⇒ b = -2

    Dette giver tangentlignigen:

    y = (5/2)·x - 2

Svar på opgave 6:

  1. Da f(x) er et tredjegradspolynomium og man ved at f´(x) har et maksimum, gælder at dette maksimum optræder for det x hvor f''(x) = 0.

    Man har at f´(x) = -3x2 + 6x + 1 og f''(x) = -6x + 6

    f''(x) = 0 ⇒ -6x + 6 = 0 ⇔ x = 1

    Dvs. den værdi af x hvor f´(x) er maksimal er x = 1

Svar på opgave 7:

  1. Man opretter en liste med vægtene.

    rejevaegt:={6,7,7,7,7,8,8,9,10,11,11,15,15,18,19,19,21,21,22,22,25,29,30,31,32} ▸ {6,7,7,7,7,8,8,9,10,11,11,15,15,18,19,19,21,21,22,22,25,29,30,31,32}

    Ved at bruge kommandoen OneVar rejevaegt,1: stat.results får man en liste over statistiske oplysninger, hvoraf kvartilsættet kan aflæses: 1. kvartil (Q₁X) = 8, median (MedianX) = 15 og 3. kvartil (Q₃X) = 22

    Nedenstående er tegnet i Geogebra:

    I Ti-Nspire tegnes boksplot sådan: Man åbner en Tilføj diagrammer og statistik applikation. Man vælger listen rejevaegt på x-aksen. Man højre-klikker på graf-fladen og vælger boxplot.

Svar på opgave 8:

  1. Man omskriver ligningen til standardform med kommandoen:

    completeSquare(x2-2*x+y2+2*y-23,x,y)=0 ▸ (x-1)2+(y+1)2-25=0

    Dette kan også skrives: (x-1)2 + (y+1)2 = 52, som er ligningen for en cirkel med centrum i (1,-1) og radius 5.

  2. Man bruger kommandoen:

    solve((x-1)2+(y+1)2-25=0 and x-7*y+17=0,x,y) ▸ x=−3 and y=2 or x=4 and y=3

    Dvs. skæringspunkterne er (x,y) = (-3,2) og (x,y) = (4,3)

Svar på opgave 9:

  1. Man deler tabellens data op på to lister:

    temp:={288,298,308,318,328,338,348,358,368} ▸ {288,298,308,318,328,338,348,358,368}

    hast:={340,346,352,357,363,369,374,379,385} ▸ {340,346,352,357,363,369,374,379,385}

    Man bruger kommandoen:

    Beregninger ▸ Statistik ▸ Statistiske beregninger ▸ Potensregression... på listerne x=temp og y=hast og får:

    f(x) = 19,63·x0,5037 (Bemærk, Ti-Nspire bruger a og b i omvendt rækkefølge af opgaven).

  2. Man bruger formlen for procentvis ændring af potensfunktioner og finder følgende ændring:

    ((1 + r)a - 1)·100% = ((1 + 5%)0,5037 - 1)·100% = (1,050,5037 - 1)·100% = 2,5 %, dvs. hastigheden vokser med 2,5 %, når temperaturen vokser med 5 %.

Svar på opgave 10:

  1. Tegnet i Geogebra:

    Arealet af trekanten er 0,5·højde·grundlinje = 0,5·4·10 = 20

  2. Der gælder, at |AB|·sin(20°) = højde. |AB| findes ved Ti-Nspire-kommandoen:

    solve(x*sin(20°)=4.,x) ▸ x=11.695

    Dvs. |AB| = 11,7

    Man bruger sinusrealtionen, idet ∠C kaldes x og ∠B dermed bliver 180° - 20° - x. Man får i Ti-Nspire ved hjælp af solve:

    Dvs. vinkel C = 103,9°

Svar på opgave 11:

  1. f(x):=(x2+2*x-2)*exp(−x) ▸ Udført (man definerer f(x))

    solve(derivative(f(x),x)<0,x) ▸ x<−2 or x>2 (man finder de x, hvor f´(x)<0)

    solve(derivative(f(x),x)>0,x) ▸ −2<x<2 (man finder de x, hvor f´(x)>0)

    Man får monotoniforholdene:

    f(x) aftager for x < -2

    f(x) vokser for -2 < x < 2

    f(x) aftager for x > 2

Svar på opgave 12:

  1. Tegning i Ti-Nspire (med x i stedet for t):

    sinus-funktionen kan højst give værdien 1. Derfor er maksimum for f(x) = 3,2 + 0,4 = 3,6

  2. f(t):=3.2+0.4*sin(1.25*t) ▸ Udført (man definerer f(t))

    solve(f(t)=3.5,t)|0≤t≤5 ▸ t=0.6784 or t=1.8348 (man finder de t, hvor f(t) = 3,5)

    De t hvor f(t) er 3,5 er t = 0,68 og t = 1,83

  3. derivative(f(t),t)|t=2 ▸ −0.401 (beregning af f´(2))

    Man får at f´(2) = -0,40. Dvs. luftmængden i lungerne aftager med 0,4 liter/sekund til tiden 2 sekunder.

Svar på opgave 13:

  1. Nulhypotesen er, at rygevaner og aktivitetsniveau er uafhængige af hinanden.

    (man definerer matricen)

    ...(man udfører en chi-i-anden uafhængighedstest)

    PVal = 0.038324 = 3,8 %. Da dette tal er mindre end 5 % forkastes nulhypotesen.

Svar på opgave 14:

  1. f(x):=sqrt(25-((5*x/2.1))2) ▸ Udført (man definerer f(x))

    pi*integral((f(x))2,x,-2.1,2.1) ▸ 219.9 (beregning af rumfang ved rotation om x-aksen)

    Dvs. rumfanget er 219 m3

  2. Man får i Ti-Nspire:

    2*π*integral(f(x)*sqrt(1+(derivative(f(x),x))2),x,−2.1,2.1) ▸ 203.28 (bereging af integrale)

    Man får, at husets overfladeareal er 203,3 m2

Svar på opgave 15:

  1. Væksthastigheden dh/dt beregnes ved at indsætte h = 4 på højre side af differentialligningen. Man får

    Væksthastighed = dh/dt = 0,16·4 cm/døgn = 0,64 cm/døgn

  2. deSolve(h'=0.16*h and h(0)=3,x,h) ▸ h=3.*(1.1735)x (løsning af differentialligningen med startbetingelsen h(0) = 3 cm)

    solve(8=3.*(1.17351)x,x) ▸ x=6.13 (man finder det t, hvor h(t) = 8 cm)

    Det ses, at der går 6,13 døgn mellem de to klipninger

Svar på opgave 16:

  1. Man opretter punkterne som stedvektorer

    a:=[3,0,0] ▸ [3,0,0]

    b:=[0,5,0] ▸ [0,5,0]

    c:=[0,0,t] ▸ [0,0,t]

    ab:=b-a ▸ [−3,5,0]

    ac:=c-a ▸ [−3,0,t]

    Arealet findes som halvdelen af længden (normen) af krydsproduktet AB × AC for t = 4

    0.5*norm(crossP(ab,ac))|t=4 ▸ 13.865

    Dvs. arealet er 13,9

  2. Man finder det t som gør, at skalarproduktet af vektoren (AB + AC) med l's retningsvektor (10,6,15) giver resultatet 0:

    solve(dotP([10,6,15],ab+ac)=0,t) ▸ t=2

    Dvs. den værdi af t, som gør at l står vinkelret på planen som A, B og C ligger i, er 2