Matematik A STX eksamen 22. maj 2014 | Oversigt

Svar på opgave 1:

  1. Parablens toppunkt har formlen: (-b/(2·a),c - b2/(4·a)) =

    (-4/(2·2),-6 - 22/(4·2)) =

    (-1,-8)

Svar på opgave 2:

  1. Trekant ABC og trekant ADE er ensvinklede, fordi de har vinkel A til fælles, og fordi de to modstående sider til vinkel A er parallelle.

    Skaleringsfaktoeren er |AE|/|AC| = 10/4 = 5/2

    |DE| = |BC|·5/2 = 2·5/2 = 5

Svar på opgave 3:

  1. x + y = 11 ∧ 6x + 2y = 42 ⇔

    x = 11 - y ∧ 3x + y = 21 ⇔

    x = 11 - y ∧ 3·(11 - y) + y = 21 ⇔

    x = 11 - y ∧ 33 - 3y + y = 21 ⇔

    x = 11 - y ∧ -3y + y = 21 - 33 ⇔

    x = 11 - y ∧ -2y = -12 ⇔

    x = 11 - 6 ∧ y = 6 ⇔

    x = 5y = 6

Svar på opgave 4:

  1. Man omskriver cirklens ligning til standardform ved hjælp af kvadratkomplettering:

    x2 - 6x + y2 + 2y - 26 = 0 ⇔

    (x - 3)2 - 9 + (y + 1)2 -1 - 26 = 0 ⇔

    (x - 3)2 (y + 1)2 = 36 = 62

    Heraf ses at centrum er: (3,-1) og radius er 6

Svar på opgave 5:

  1. Man får: f´(x) = 3·a·x2 + 10x + 2.

    f´(1) = 3·a·12 + 10·1 + 2 = 3·a + 10 + 2 = 3·a + 12.

    f´(1) = -3 ⇒ 3·a + 12 = -3 ⇔ a = -5

Svar på opgave 6:

  1. Man bruger substitutionen: y = x2 + 7, dy = 2xdx, der giver:

    Numerisktegnene kan udelades til sidst, da x2 + 7 altid er større end 0.

Svar på opgave 7:

Løsning i Ti-Nspire.

  1. Man bruger en sinusrealtion til at finde ∠B. Man sætter x = ∠B og bemærker, at ∠B <100°, da ∠B + ∠C = 180° - 80° = 100°. Man får:

    Dvs. ∠B = 64,5°

    ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 80° - 64,5° = 35,48° = 35,5°

  2. Tegningen nedenfor, som er lavet i Geogebra, viser trekanten med medianen ma. Man kalder fodpunktet for medianen for D.

    Man anvender en cosinusrelation på trekanten ACD, idet længden af ma kaldes x, og idet det kræves at x > 0:

    Man får at ma = 7,036

Svar på opgave 8:

Løst i Ti-Nspire.

  1. Man opretter to lister med data for henholdsvis højder og belastningsevner:

    aar:={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45} ▸ {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45}

    moeder:={359,539,811,1195,1717,2452,3372,5107,8164,10969} ▸ {359,539,811,1195,1717,2452,3372,5107,8164,10969}

    Man bruger kommandoen for potensregression på de to lister:

    ExpReg aar,moeder,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results

    [["Titel","Eksponentiel regression"]
    ["RegEqn","a*b^x"]
    ["a",370.3758045107]
    ["b",1.0786603416125]
    ["r²",0.99894670557677]
    ["r",0.99947321403666]
    ["Resid","{...}"]
    ["ResidTrans","{...}"]]

    Her aflæses a til 1,0787 og b til 370,38

    Bemærk at Ti-Nspire bruger a og b i modsat betydning af opgaven.

  2. År 2010 svarer til t = 2010 - 1963 = 47.

    Man skal finde M(47) = 370,38·1,078747 = 13008

    Fordoblingskonstanten er ln(2)/ln(1,0787) år = 9,15 år

  3. M'(37) findes ved kommandoen:

    derivative(370.376*(1.07866)t,t)|t=37 ▸ 461.9

    Dvs. M'(37) = 461,9 møder/år, dvs. antal møder pr. år steg med 462 i år 2000.

Svar på opgave 9:

Løsning i Geogebra og Ti-Nspire.

  1. Nedenfor er grafen skitseret i Geogebra.

    Man finder ligningen for tagenten i Ti-Nspire:

    y=tangentLine(x3-5*x2+7.5*x-2,x,1) ▸ y=0.5*x+1.

    Dvs. tangenten har ligningen y = 0,5·x + 1

  2. M tegnet i Geogebra:

    Førstekoordinaten til B findes i Ti-Nspire:

    solve(x3-5*x2+7.5*x-2=0.5*x+1.,x)|x≠1 ▸ 3 (A har første koordinaten x=1)

    Dvs. førstekoordinaten for B er x = 3

    M's areal findes med kommandoen:

    integral(abs(x3-5*x2+7.5*x-2-(0.5*x+1.)),x,1,3) ▸ 1.333 (integralet af den numeriske værdi af y-værdien af tangenten og f(x) fra x=1 til x=3)

    Dvs. arealet af M er 1,333

Svar på opgave 10:

Løsning i Ti-Nspire.

  1. Linjen går igennem A og har vektoren AB som retningsvektor.

    AB = (9,17) - (1,5) = (8,12)

    Parameterfremstillingen for l bliver: (1,5) + t·(8,12), t ∈R

  2. P's projektion på l findes som OA + AP's projektion på AB:

    a:=[1,5] ▸ [1,5]

    b:=[9,17] ▸ [9,17]

    p:=[−10,21] ▸ [−10,21]

    ab:=b-a ▸ [8,12]

    ap:=p-a ▸ [−11,16]

    ap_ab:=(dotP(ab,ap)/norm(ab)2)*ab ▸ [4,6] (vektor AP's projektion på vektor AB)

    a+ap_ab ▸ [5,11]

    Dvs. P's projektion på l er (5,11)

Svar på opgave 11:

Løsning i Ti-Nspire.

  1. a:=[24,−9,16] ▸ [24,−9,16]

    b:=[15,20,16] ▸ [15,20,16]

    c:=[−15,20,16] ▸ [−15,20,16]

    d:=[0,0,44] ▸ [0,0,44]

    e:=[0,−25,0] ▸ [0,−25,0]

    ab:=b-a ▸ [−9,29,0]

    ad:=d-a ▸ [−24,9,28]

    n:=crossP(ab,ad) ▸ [812,252,615]

    dotP(n,[x,y,z]-a)=0 ▸ 812*x+252*y+615*z-27060=0

    Planens ligning er α: 812x + 252y + 615z - 27060 = 0

  2. Den stumpe vinkel mellem α og β findes som den stumpe vinkel mellem deres normalvektorer n og m.

    Planen βs normalvektor m aflæses af ligningen: 0x + 7y + 5z - 220 = 0 og oprettes i Ti-Nspire:

    n:=[0,7,5] [0,7,5]

    Den stumpe vinkel mellem n og m findes ved kommandoen:

    solve(cos(x*1.°)=−abs(dotP(n,m))/(norm(n)*norm(m)),x)|0<x<180 ▸ x=122.42

    Dvs. den stumpe vinkel mellem α og β er 122,4°

  3. Man bruger afstandsformlen mellem punkt og plan. Her får man i Ti-Nspire:

    Formlen giver her:

    abs(0*0+(−25)*7+0*5-220)/sqrt(02+72+52)*1. ▸ 45.918

    Dvs. afstanden mellem punktet E og tagfladen BCD er 45,92

Svar på opgave 12:

Løsning i Ti-Nspire (uden regneark):

  1. Det første skema er populationen udtrykt i %. Detrandet skema er observeret stikprøve.

    Nulhypotesen er, at stikprøvens afvigelse fra populationen kan forklares ved tilfældigheder

  2. Man opretter en liste med observerede hyppigheder:

    observeret:={271,161,250,201,122} ▸ {271,161,250,201,122}

    Man opretter en liste med forventede frekvenser:

    forventet_fre:={26%,15%,24%,24%,11%}*1. ▸ {0.26,0.15,0.24,0.24,0.11}

    Man opretter en liste med forventede hyppigheder som er lig med 1005 gange listen over forventede frekvenser:

    forventet_hyp:=sum(observeret)*forventet_fre ▸ {261.3,150.75,241.2,241.2,110.55}

    Man laver en chi-i-anden goodness-of-fit test på listerne observeret og forventet_hyp:

    χ²GOF observeret,forventet_hyp,4: stat.results

    [["Titel","χ²-Goodness of Fit test"]
    ["χ²",9.2639889132426]
    ["PVal",0.054829285434625]
    ["df",4.]
    ["CompList","{...}"]]

    Man ser at PVal = 0,055 = 5,5%. Da dette er større end 5%, accepteres nulhypotesen.

Svar på opgave 13:

Løsning i Ti-Nspire.

  1. Man bruger desolve() kommandoen med startbetingelsen u(25) = 6,25:

    deSolve(u'=0.1518*u and u(25)=6.25,x,u) ▸ u=0.140518*(1.163927)x

    Dette giver løsningen u(x) = 0,1405*(1,1639)x

    Man skal finde det x, der er løsning til ligningen u(x) = 4. Man får:

    solve(0.140518*(1.163927)x=4,x) ▸ x=22.060

    Dvs. 22 knob er den fart, der giver en CO2-udledning på 4 g/ton/km.

  2. Man skal udregne forholdet u(17,5)/u(25):

    (0.140518*(1.163927)17.5/(0.140518*(1.163927)25) ▸ 0.320

    Det ses, at forholdet er 0,32 = 32% og dermed er påstanden rigtig

Svar på opgave 14:

  1. Omkredsen er 3x+2y.

    Arealet af trekanter er x2·(√3)/4, da trekanten er ligesidet og x dens sidelængde.

    Arealet af rektanglet er x·y

    Det samlede areal af figuren er x2·(√3)/4 + x·y

    Når x = 50 m og y = 100 m, er omkredsen 3·50 m + 2·100 m = 350 m

    Arealet med de samme værdier af x og y er 502·(√3)/4 + 50·100 m2 = 6082,5

  2. Omkredsen er 3x+2y = 200, dvs. y udtrykt ved x for den givne omkreds er:

    y = (200 - 3x)/2 = 100 - 3x/2

    Indsættes dette i formlen for arealet fås:

    Areal = T(x) = x2·(√3)/4 + x·y =

    x2·(√3)/4 + x·(200 - 3x)/2 =

    x2·(√3)/4 + 100x - 3x2/2 =

    ((√3)/4 - 3/2)·x2 + 100x

  3. Man finder først x med fMax() kommandoen i Ti Nspire

    fMax(((sqrt(3)/4)-(3/2))*x2+100.*x,x)|20≤x≤60 ▸ x=46.861

    Dvs x = 46,86 og y = 100 - 3·46,86/2 = 29,71

    Beregning af x i Maple: