Matematik A STX eksamen 9. december 2011 | Oversigt

Svar på opgave 1:

  1. (a - b)2 + 2a·(a + b) - b2 =

    a2 - 2ab + b2 + 2a2 + 2ab - b2 =

    1a2 + 2a2 - 2ab + 2ab + 1b2 - 1b2 =

    1a2 + 2a2 + (-2)·ab + 2ab + 1b2 + (-1)·b2 =

    (1 + 2)·a2 + ((-2) + 2)·ab + (1 + (-1))·b2 =

    3a2 + 0ab + 0b2 =

    3a2

Svar på opgave 2:

  1. Man skal finde t, så skalarproduktet af vektor a og vektor b giver 0. Man får:

    (2,t)·(-3,4) = 0 ⇔

    2·(-3) + t·4 = 0 ⇔

    -6 + t·4 = 0 ⇔

    t·4 = 6 ⇔

    t = 6/4 = 3/2

Svar på opgave 3:

  1. Man omskriver kuglens ligning til normalform: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2 for at kunne aflæse centrum og radius.

    Dette gøres ved hjælp af kvadratkomplettering af den givne ligning med hensyn til x, y og z:

    x2 - 2x + y2 + 6y + z2 + 2z + 2 = 0 ⇔

    (x2 - 2x + (2/2)2) - (2/2)2 + (y2 + 6y + (6/2)2) - (6/2)2 + (z2 + 2z + (2/2)2) - (2/2)2 + 2 = 0 ⇔

    (x - (2/2))2 - (2/2)2 + (y + (6/2))2 - (6/2)2 + (z + (2/2))2 - (2/2)2 + 2 = 0 ⇔

    (x - 1)2 - 1 + (y + 3)2 - 9 + (z + 1)2 - 1 + 2 = 0 ⇔

    (x - 1)2 + (y - (-3))2 + (z - (-1))2 = 32

    Det ses heraf, at kuglens centrum = (1,-3,-1) og dens radius = 3

Svar på opgave 4:

  1. Man skal løse de to sammenhørende ligninger:

    f(3) = 1 ∧ f(6) = 8 ⇒

    b·a3 = 1 ∧ b·a6 = 8 ⇔

    b = a-3 ∧ a-3·a6 = 8 ⇔

    b = a-3 ∧ a-3+6 = 8 ⇔

    b = a-3 ∧ a3 = 8 ⇔

    b = a-3 ∧ a = 81/3

    b = 2-3 ∧ a = 2 ⇔ a = 2 ∧ b = 1/8

Svar på opgave 5:

  1. Parablens skæringspunkter med x-aksen findes ved at løse den tilhørende andengradsligning:

    x2 - 2x - 8 = 0 ⇔

    x = -1±(1/2)·√[4 + 4·8] ⇔

    x = -1±(1/2)·√[36] ⇔

    x = -1±3 ⇔

    x = -1 - 3 ∨ -1 + 3 ⇔

    x = -4 ∨ x = 2

    Da y-værdien til at punkt på x-aksen er 0, får man følgende koordinater til parablens skæringspunkter med x-aksen:

    (x,y) = (-4,0) og (x,y) = (2,0)

Svar på opgave 6:

  1. Man har: x2·h = 9 ⇔ h = 9/x2 m

    Man indsætter udtrykket for h som funktion af x ved et rumfang på 9 m3 ind i formlen for overfladearealet:

    2hx + x2 ∧ h = 9/x2x2+18/x

Svar på opgave 7:

  1. |BC| bestemmes ved hjælp af en cosinusrelation i Ti-Nspire:

    solve(cos(30.°)=(72+102-x2)/(2*7*10),x)|0<x ▸ x=5.26844

    Dvs. |BC| = 5,27

  2. Arealet er 0,5·(højden i B)·|AD|. Højden i B = 7·sin(30°) = 3,50. Man mangler nu at finde AD, som er vist på figuren nedenunder.

    Her bruger man igen en cosinusrelation. Den ubekendte er her den ene hosliggende side til vinkel A:

    solve(cos(30.°)=(72+x2-5.2682)/(2*7*x),x)|0<x ▸ x=2.12435 or x=10.

    Da |AC| = 10, ses det, at |AD| = 2,124.

    Arealet giver: 0,5·(højden i B)·|AD| = 0,5·3,50·2,124 = 3,72

Svar på opgave 8:

  1. Man opretter lister for x (liste_x) og f(x) (liste_y) i Ti-Nspire:

    liste_x:={20,40,60,80} ▸ {20,40,60,80}

    liste_y:={0.035,0.063,0.085,0.1} ▸ {0.035,0.063,0.085,0.1}

    Man vælger følgende kommando i Ti-Nspire: Beregninger ▸ Statistik ▸ Statistiske beregninger ▸ Potensregression... hvorefter man vælger de to lister, som man lige har oprettet og får:

    PowerReg liste_x,liste_y,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results ▸
    [["Titel","Potensregression"]
    ["RegEqn","a*x^b"]
    ["a",0.003596]
    ["b",0.76693]
    ["r²",0.994664]
    ["r",0.997328]
    ["Resid","{...}"]
    ["ResidTrans","{...}"]]

    Heraf ses at a = 0,7669 og b = 0,003596

    Det bemærkes at Ti-Nspire bruger a og b modsat opgaven. For en sikkerheds skyld kan man bruge kommandoen:

    f1(x) ▸ 0.003596·x0.76693

    Dette er den regressionsfunktion, som Ti-Nspire selv opretter.

  2. Kraftpåvirkningen er f(45), som findes i Ti-Nspire:

    f1(45) ▸ 0.066631

    Dvs. kraftpåvirkningen er 0,067 N

  3. Man bruger formlen for procent-procent vækst i TI-Nspire:

    (1+30%)0.76693-1)*100 ▸ 22.2888

    Dvs. kraftpåvirkningen vokser med 22,3 %

Svar på opgave 9:

  1. Man opretter punkterne T, A, B og C i Ti-Nspire som vektorer:

    t:=[0,0,520] ▸ [0,0,520]

    a:=[400,0,200] ▸ [400,0,200]

    b:=[280,280,200] ▸ [280,280,200]

    c:=[0,400,200] ▸ [0,400,200]

    Man opretter herefter vektorene AT og AB, som ligger i planen α

    at:=t-a ▸ [−400,0,320]

    ab:=b-a ▸ [−120,280,0]

    En normalvektor, n, til α er lig med krydsproduktet af AT og AB:

    n:=crossP(at,ab) ▸ [−89600,−38400,−112000]

    Man opretter en vektor AX fra punktet A, der ligger i α til et vilkårligt punkt i rummet:

    ax:=[x,y,z]-a ▸ [x-400,y,z-200]

    De punker, der ligger i planen α opfylder af skalarproduktet af AX og n = 0. Man får:

    dotP(n,ax)=0 ▸ −89600*x-38400*y-112000*z+58240000=0

    Dette kan forkortes med -3200, og man får den enklere ligninge for planen α:

    28x + 12y + 35z - 18200 = 0

  2. Man bruger afstandsformlen for afstanden mellem punktet (0,0,0) og planen med ligningen 12x + 28y + 35z = 18200 i Ti-Nspire:

    abs(12*0+28*0+35*0-18200.)/√[122+282+352] ▸ 392.238

    Dvs. afstanden mellem (0,0,0) og β er 392,2

  3. Man finder vinklen mellem α og β som vinklen mellem planernes normalvektorer. Normalvektoren til β aflæses af planens ligning: 12x + 28y + 35z = 18200. Dvs. m = (12,28,35). Denne vektor oprettes i Ti-Nspire:

    m:=[12,28,35] ▸ [12,28,35]

    Man indsætter vektorerne n og m i formlen for vinklen mellem vektorer i Ti-Nspire:

    solve(cos(x*1.°)=dotP(n,m)/(norm(n)*norm(m)),x)|0<x<180 ▸ x=151.775

    Dvs. vinklen mellem α og β er enten 151,8° eller 180° - 151,8° = 28,2°.

    Ud fra billedet ses det, at vinklen er stump og dermed lig dermed 151,8°

Svar på opgave 10:

  1. Man opretter f(x) i Ti-Nspire:

    f(x):=x2-50*ln(x) ▸ Udført

    Man finder tangenten gennem (3,f(3)) med tangentLine-kommandoen (man kan sætte "y=" foran som vist her for at få vist ligningen med det samme)

    y=tangentLine(f(x),x,3.) ▸ y=−10.6667*x-13.9306

    Heraf ses, at tangentens ligning er y = −10,67x - 13,93

  2. Man skal løse ulighederne f´(x)<0 og f´(x)>0. Det gøres i Ti-Nspire (idet x>0):

    solve(derivative(f(x),x)<0,x)|x>0 ▸ 0<x<5

    solve(derivative(f(x),x)>0,x)|x>0 ▸ x>5

    Dvs. f(x) aftager for 0 < x < 5 og vokser for x > 5

  3. Man skal finde en ret linje gennem (0,0), der er tangnt til grafen for f.

    Først finder man det x, der opfylder ligningen: f´(x)·x = f(x). Dette gøres i Ti-Nspire:

    solve(derivative(f(x),x)*x=f(x),x) ▸ x=2.41824

    Dvs. tangentens ligning bliver y = f´(2.41824)·x ⇒ y = −15,8x

    Nedenunder er grafen for f tegnet med blåt og tangenten med rødt i Ti-Nspire.

Svar på opgave 11:

  1. Forskriften findes i TI-Nspire ved hjælp af desolve-kommandoen:

    deSolve(c'=0.4-0.02*c and c(0)=0,t,c) ▸ c=20.-20.*(0.980199)t

    Dvs. C(t) = 20 - 20·0,9802t

  2. C(t) oprettes i Ti-Nspire:

    c(t):=20.-20.*(0.980199)t ▸ Udført

    I Ti-Nspire tegner man nedenstående graf for f (blå streg) og y = 10 (rød streg).

    Det tidspunkt hvor koncentrationen af forurenende stof er 10 ppm findes som skæringen mellem de to kurver.

    Tidspunktet kan også findes ved hjælp af solve-kommadnoen:

    solve(c(t)=10,t) ▸ t=34.6579

    Dvs. tidspunktet er t = 34,7 minutter

  3. Man finder C'(15) i Ti-Nspire:

    derivative(c(t),t)|t=15 ▸ 0.296324

    Dvs. C'(15) = 0,296 ppm/minut

    Dette er ændringen i koncentrationen af forurenende stof pr. tidsenhed efter 15 minutter.

Svar på opgave 12:

  1. Man opretter f(x) i TI-Nspire:

    f(x):=3*x+1/x ▸ Udført

    Arealet af M er integralet af 4 - f(x) mellem skæringspunkterne for f og y = 4. Skæringspunkternes x-værdier findes i Ti-Nspire:

    solve(f(x)=4,x) ▸ x=1/3 or x=1

    Dvs. man skal integrere mellem x = 1/3 og x = 1. Man får:

    ∫(4.-f(x),x,1/3,1) ▸ 0.234721

    Dvs. arealet af M er 0,235

  2. Rumfanget findes med at trække rumfanget af omdrejningslegemet for y=4 mellem x = 1/3 og x = 1 fra rumfanget af omdrejningslegemet for f(x) mellem de samme værdier af x. Det giver i Ti-Nspire:

    π*(integral(42,x,1/3,1)-integral(f(x)2,x,1/3,1.) ▸ 5.58505

    Dvs. rumfanget af omdrejningslegemet (som er en ring) er 5,585

Svar på opgave 13:

  1. Man opretter f(x) i TI-Nspire:

    f(x):=211.4885-10.4801*(exp(0.0329*x)+exp(−0.0329*x)) ▸ Udført

    Buens bredde ved jordoverfladen er den numeriske værdi af differensen mellem f's nulpunkter. Nulpunkterne findes i Ti-Nspire:

    solve(f(x)=0,x) ▸ x=−91.2531 or x=91.2531

    Nulpunkterne er x=−91.2531 og x=91.2531. Dermed er bredden |−91.2531-91.2531| m = 182,5 m

  2. Man sætter a = −91.2531 og b = 91.2531 i formlen i TI-Nspire og får:

    integral(sqrt(derivative(f(x),x)2)+1),x,−91.2531,91.2531) ▸ 451.255

    Dvs. buens længde er 451,3 m

Svar på opgave 14:

  1. Hældningen er lig med 0,17·f(x). Man skal finde hælningen i P = (0,f(0)) = (0,3).

    Dvs. hældningen til kurven i P er 3·0,17 = 0,51

    Differentialligningen er y' = 0,17·y med begyndelsesbetingelsen: y(0)=3.