Matematik A HTX eksamen 29. maj 2019 (løst i Ti-Nspire) | Oversigt

Svar på opgave 1:

  1. Vinklen v kan beregnes ud fra den trigonometriske formel: tan(v/2) = a/b,

    der gælder for en retvinklet trekant, og hvor a og b som vist nedenunder er henholdsvis 10 og 18.

    Man får følgende i radianer med Ti-Nspire: solve(tan(0.5·v)=10/18,v)|0<v<π/2 ▸ v=1.0142

    Dette omregnes til grader: 1,0142·180/π = 58,109

    Dvs. v = 58,1°

  2. Man bruger formlen for rumfanget af en kuglekalot:

    V = (π/3)·h2·(3·R - h)

    Man får: V = (π/3)·5,52·(3·9,5 - 5,5) = 728,59

    Dvs. foderets rumfang er 728,6 cm2

Svar på opgave 2:

  1. Man opretter lister med årstal og antal robotter:

    årstal:={2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016} ▸ {2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016}

    antal_robotter:={1021,1059,1153,1235,1332,1472,1632,1828} ▸ {1021,1059,1153,1235,1332,1472,1632,1828}

    Dette bruges til afbildningen nedenunder:

  2. Man opretter en liste over antal år efter 2009, dette svarer til t.

    antal_år:=årstal-2009 ▸ {0,1,2,3,4,5,6,7}

    Dette bruges sammen med listen over antal robotter til at lave en eksponentiel regression for data over udviklingen:

    ExpReg antal_år,antal_robotter,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results ▸
    [["Titel","Eksponentiel regression"]
    ["RegEqn","a*b^x"]
    ["a",981.252]
    ["b",1.08752]
    ["r²",0.985055]
    ["r",0.9925]
    ["Resid","{...}"]
    ["ResidTrans","{...}"]]

    f1(t) ▸ 981.252*(1.08752)t

    Dvs. a = 1,0875 og b = 981,3

  3. Fordoblingstiden i følge modellen er:

    ln(2)/ln(1,0875) = 8,2616

    IFR's forudsigelse er vækstraten ca. 13%. Dette giver fordoblingstiden:

    ln(2)/ln(1 + 0,13) = 5,6714

    Modellens tal viser en langsommere udvikling end IFR's beregninger.

Svar på opgave 3:

  1. Cirklen kan deles op i fire vinkler: v, u samt to rette vinkler. Vinklen u er 60°, fordi den er hjørne i en ligesidet trekant.

    v + u + 2·90° er tilsammen lig med 360°, som er hele cirklen.

    Dvs. v = 360° - 2·90° - 60° = 120°.

  2. Af cirklernes ligninger kan man finde forskellen mellem cirklernes radier og dermed bredden af rektanglerne.

    De to ligninger er: x2 + (y-200)2 = 1352 og x2 + (y-200)2 = 952.

    Da ligningerne er opskrevet på standardform så gælder, at højre side er kvadratet på radius. Heraf ses, at den største cirkel har radius 135 og den mindste har radius 95.

    Dermed er bredden 135 - 95 = 40

    Afstanden mellem centre i to cirkler er lig med længden af to rektangulære moduler.

    Af leddet (y-200)2 ses, at y-værdien for de røde cirklers centrum er 200.

    Da de nederste (sorte) cirkler og de røde cirkler er anbragt symmetrisk omkring x-aksen så gælder, at y-værdien af de sorte cirklers centrum er -200.

    Dermed er afstanden mellem centrum for de røde cirkler og centrum for de sorte cirkler: 200 + 200 = 400.

    Dermed er længden af et rektangulært modul: 400/2 = 200

  3. Man kender radius for den blå cirkel nemlig 135. Man ved også, at y-værdien for centrum er 0, fordi cirklen ligger på x-aksen.

    Centrums x-værdi kaldes a.

    Man ved, at a er katete i en retviklet trekant som vist:

    Heraf fås ved hjælp af Pythagoras læresætning, at a2 + 2002 = 4002, der giver følgende værdi for a:

    solve(a2+(200.)2=4002,a)|a>0 ▸ a=346.41

    Dermed er ligningen for den blå cirkel: (x - 346)2 + y2 = 1352

  4. Sandkassens indre kan inddeles i tre dele:

    - et cirkeludsnit på en tredjedel cirkel med radius 95,

    - et rektangel med siderne 95 og 400 samt

    - en ligesidet trekant med siden 400 og højden 346.

    Det samlede indre areal af sandkassen bliver:

    π·952 + 3·95·400 + 0,5·400·346 cm2 = 211553 cm2 = 211553 (10-2 m)2 = 211553·10-4 m2 = 21,155 m2

    Rumfanget af sand findes ved at gange dette med højden af sandkassen: (0,30 m)·(21,155) m2 = 6,35 m3

Svar på opgave 4:

  1. Linjens ligning kan skrives y = a·x + b, hvor a er tan(v) og b er linjens skæring med y-aksen.

    Det ses, at b = 0. a = tan(5.°) = 0,087489

    Dette giver følgende ligning for linjen l: y = 0,0875·x

  2. For at beregne højde og bredde af sejlet, så skal man finde, dels parablens skæring med y-aksen, dels x-værdien af dens skæring med l.

    f(x):=−3.87*10-3*x2-0.827*x+535 ▸ Udført

    Skæring med y-aksen ses at være 535, som er det konstante led i f(x).

    Skæring med l findes til: solve(f(x)=0.0875*x,x)|x>0 ▸ x=271.98

    Dvs. højden af sejlet er 535 cm, mens bredden er 272 cm

  3. Man opretter linjens ligning som funktion:

    Arealet af A er integralet af f(x) - (0,0875·x) fra x = 0 til x = 272. Man får:

    integral(f(x)-0.0875*x,x,0,272) ▸ 85731.3

    Dvs. sejlets areal er 85731 cm2 = 85731 (10-2·m)2 = 85731·10-4 m2 = 8,57 m2

  4. g'(17) er m's hældning. Denne findes ud fra koordinaterne til P og Q:

    ∆y/∆x = (130 - 96)/(0 - 17) = −2

Svar på opgave 5:

  1. Man opretter punkterne:

    a:=[1,2,−1] ▸ [1,2,−1]

    b:=[−2,0,3] ▸ [−2,0,3]

    c:=[3,4,−1] ▸ [3,4,−1]

    Man opretter vektorerne AB og AC:

    ab:=b-a ▸ [−3,−2,4]

    ac:=c-a ▸ [2,2,0]

    Krydsproduktet af AB og AC er en normalvektor til alfa.

    crossP(ab,ac) ▸ [−8,8,−2]

    Man dividerer med 2. Dette giver normalvektoren n:

    n:=[−8,8,−2]/2 ▸ [−4,4,−1]

    Et vilkårligt punkt i alfa kaldes P=(x,y,z).

    p:=[x,y,z] ▸ [x,y,z]

    Der gælder, at skalarproduktet mellem vektoren AP og n er lig med 0. Man får herved ligningen for alfa:

    dotP(n,p-a)=0 ▸ −4*x+4*y-z-5=0

    Dette omskrives og giver følgende ligning for alfa: 4x - 4y + z = -5

  2. Den spidse vinkel findes som komplementærvinklen mellem retningsvektoren til l og normalvektoren til beta.

    Retningsvektoren til l aflæses til (2,-2,-1), som den vektor, der er ganget med t i parameterfremstillingen, mens normalvektoren til beta aflæses til (7,-3,8), som dannes ud fra ligningens koefficienter til x, y og z.

    Man finder vinklen mellem disse vektorer ved hjælp af formlen for vinklen mellem to vektorer:

    solve(cos(v*1.)=dotP([2,−2,-1],[7,−3,8])/(norm([2,−2,-1])*norm([7,−3,8])),v)|0<v<π/2 ▸ v=1.20023

    Dette opregnes fra radianer til grader: 1,20023·180/π = 68,768

    Denne vinkel trækkes fra 90°: 90° - 68,768° = 21,232°

    Dvs. vinklen mellem l og beta er 21,2°

    Løsning i Geogebra:

Svar på opgave 6:

  1. f´(x) = 0,5·x, dvs. det er en differentialligning af type II

  2. For linje-elementerne gælder, at de har samme hældning for samme y, dvs. hældningen afhænger ikke af x.

    Dermed er type III den rigtige differentialligning, for heri indgår x ikke.

Svar på opgave 7:

  1. Man omregner først breddegrader, så de går ud fra Nord som nul. Længdegrader ændres ikke, da de er østlige.

    Kuglekoordinater for København: (R;θ;φ) = (90° - 55,68°;34,3°;12,57°) = (6378;34,3°;12,57°)

    Kuglekoordinater for Paris: (R;θ;φ) = (90° - 48,86°;41,1°;2,34°) = (6378;41,1°;2,34°)

  2. Man beregner den sfæriske afstand ved hjælp af den sfæriske cosinusrelation og punkterne: A = København, B = Paris og C = Nordpolen.

    Cosinusrelationen giver:

    cos(c) = cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b)·cos(∠C),

    hvor c = AB, a = BC, b = AC og ∠C er vinklen mellem AC og BC.

    ∠C = 12,57° - 2,34° = 10,23°, a = 41,1° og b = 34,3°. Man bruger solve til at finde c:

    solve(cos(c*1.°)=cos(41.1°)*cos(34.3°)+sin(41.1°)*sin(34.3°)*cos(10.2°),c)|0<c<180 ▸ c=9.2091

    Afstanden er dermed: 2·π·6378·9,2091/360 km = 1025,2 km (Tabelværdi: 1028 km)

  3. Man skal først omregne kuglekoordinater til rektangulære koordinater og dernæst fra koordinater på kugleskallen til det fysiske kort.

    Rektangulære koordinater for København på jorden:
    x = 6378·sin(34,3°)·cos(12,57°) = 3508,0
    y = 6378·sin(34,3°)·sin(12,57°) = 782,21
    z = 6378·cos(34,3°) = 5268,9

    Fysiske kort-koordinater for København:
    u = 2·6378·3508,0/((5268,9 + 6378)·750000) km = 0,005123 km
    v = 2·6378·782,21/((5268,9 + 6378)·750000) km = 0,001142 km

    Dvs. de fysiske koordinater for København er: (u,v) = (5,12 m;1,14 m)

    Rektangulære koordinater for Paris på jorden:
    x = 6378·sin(41,14°)·cos(2,34°) = 4192,6
    y = 6378·sin(41,14°)·sin(2,34°) = 171,32
    z = 6378·cos(41,14°) = 4803,3

    Fysiske kort-koordinater for Paris:
    u = 2·6378·4192,6/((4803,3 + 6378)·750000) km = 0,006377 km
    v = 2·6378·171,32/((4803,3 + 6378)·750000) km = 0,000261 km

    Dvs. de fysiske koordinater for Paris er: (u,v) = (6,38 m;0,26 m)