Matematik A HTX eksamen 31. maj 2018 | Oversigt

Svar på opgave 1:

  1. Man opretter lister i Ti-Nspire med årstal (årstal), antal år efter 2010 (tid) og karakterer (karakter).

    årstal:={2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017} ▸ {2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017}

    tid:=årstal-2010 ▸ {0,1,2,3,4,5,6,7}

    karakter:={6.6,6.8,6.8,7.,7.1,7.2,7.4,7.5} ▸ {6.6,6.8,6.8,7.,7.1,7.2,7.4,7.5}

    Man laver en graf i Ti-Nspire af karakterer som funktion af årstal (i modulet Diagrammer og statistik)

    Løsning i Maple:

  2. Ud fra listerne tid og karakter laver man en lineær regression i Ti-Nspire:

    LinRegMx tid,karakter,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results ▸
    [["Titel","Lineær regression (mx+b)"]
    ["RegEqn","m*x+b"]
    ["m",0.1262]
    ["b",6.608]
    ["r²",0.9835]
    ["r",0.9917]
    ["Resid","{...}"]]

    Man får følgende regressions-funktion: f1(x) ▸ 0.1262*x+6.608

    Dvs. k(t) = 0,13·t + 6,6

    Løsning i Maple (stadig med gympakken):

  3. Karaktergennemsnittet i 2020 vil være k(2020-2010) = k(10) = 0,13·10 + 6,6 = 7,9

    Karaktergennemsnittet i 2060 vil være k(2060-2010) = k(50) = 0,13·50 + 6,6 = 12,9

  4. Karaktererne er urealistisk høje, og man vil nok justere karakterskalaen eller måden, som eleverne bliver bedømt på.

Svar på opgave 2:

  1. Man opretter punkterne A, B, C og D som stedvektorer Ti-Nspire:

    a:=[0,0,0] ▸ [0,0,0]

    b:=[25,0,0] ▸ [25,0,0]

    c:=[12.5,21.7,0] ▸ [12.5,21.7,0]

    d:=[12.5,7.22,20] ▸ [12.5,7.22,20]

    Længden af vektoren AD (=d-a) findes i Ti-Nspire ved hjælp af norm()-kommandoen: norm(d-a) ▸ 24.665

    Dvs. |AD| = 24,7 cm

    Løsning i Maple:

  2. Man benytter, at vektoren AD = (12,5;7,22;20) er retningsvektor til linjen, og at linjen går gennem A = (0,0,0). Man får følgende parameterfremstilling for linjen: l(t) = OA + t·AD eller:

    l(t) = (12,5·t;7,22·t;20·t), hvor t er et reelt tal og O er koordinatsystemets begyndelsespunkt.

  3. For at finde planens ligning, så skal man have en normalvektor (n) til den. Denne normalvektor kan være krydsproduktet af AD (=d-a) og AB (=b-a). Man opretter n i Ti-Nspire:

    n:=crossP(d-a,b-a) ▸ [0.,500.,−180.5]

    Man har følgende ligning for planen: n·((x,y,z)-a) = 0. Her er (x,y,z) et punkt i planen.

    Dette indsættes i Ti-Nspire: dotP(n,[x,y,z]-a)=0 ▸ 500.*y-180.5*z=0

    Dvs. planens ligning er 500·y - 180,5·z = 0

    Løsning i Maple (stadig med geom3d-pakken):

  4. Rumfanget af en pyramide med højden h og en regulær grundflade med arealet G er: (1/3)·h·G.

    For en grundflade, der er en regulær trekant med siden 25 cm, er arealet G = ((√3)/4)·252 cm2 = 270,63 cm2

    Rumfang af pyramide = (1/3)·20·270,63 cm3 = 1804,2 cm3.

    Rumfanget af en pyramidestub med højden h, en regulær grundflade med arealet G og en topflade med arealet g er: (1/3)·h·(G+g+√[g·G]).

    Topfladen har arealet g = ((√3)/4)·52 cm2 = 10,825 cm2.

    Rumfang af pyramidestub = (1/3)·15·(270,63 + 10,825 + √[270,63·10,825]) cm3 = 1677,9 cm3

    Det samlede rumfang for skulpturen er (1804 + 1678) cm3 = 3482 cm3

Svar på opgave 3:

  1. Arealet af ringen er arealet af den store cirkel minus arealet af den lille.

    Dvs. arealet af ringen er: π·(R2 - r2) = π·(5,32 - 2,02) cm2 = 75,7 cm2

  2. Nedenstående tegning viser en retvinklet trapez, hvor de ikke-rette vinkler er v og en vinkel kaldet u. De parallelle sider har længderne a og R.

    En firkant har vinkelsummen 360°. Af tegningen fremgår, at: 2·90° + v + u = 360° ⇒ v = 180° - u.

    For vinklen u får man: (b+r)·cos(u) = R-a ⇒ u = cos-1((R-a)/(b+r)) = cos-1((5,3-2,4)/(7,5+2,0)) = cos-1(0,3053) = 72,23°.

    Dvs. v = 180° - 72° = 108°

  3. Længden af d kan beregnes ved hjælp af reglen om, at ensliggende sider i to ensvinklede trekanter er proportionale. De to ensvinklede trekanter er vist nedenunder:

    Dette giver: b/(d - a) = (b + r)/(R - a) ⇒

    d = a + (R - a)·b/(b + r) = 2,4 + (5,3 - 2,4)·7,5/(7,5 + 2,0) = 4,69

Svar på opgave 4:

  1. Parablen er grafen for et andengrads-polynomium. Man kender toppunktet (y = 3,8) og nulpunkterne (x = 0 og x = 3,2) for dette andengrads-polynomium.

    Formlen for andengradspolynomiet f(x) kan skrives ved hjælp af toppunkt og nulpunkter på følgende måde:

    f(x) = a·(x - x1)·(x - x2), hvor a er en reelt konstant og x1 og x2 er nulpunkterne for f(x).

    For at bestemme a, skal man vide, for hvilket x, som f(x) er størst. Dette sker, når x er midt mellem nulpunkterne, dvs. for x = (x1 + x2)/2 = (0 + 3,2)/2 = 1,6.

    Man får: f(1,6) = 3,8 ⇒ a·(1,6 - 0)·(1,6 - 3,2) = 3,8 ⇔ a·1,62 = 3,8 ⇔ a = 3,8/1,62 = 1,484.

    Dette giver: f(x) = a·(x - x1)·(x - x2) = 1,484·(x - 0)·(x - 3,2) = 1,48·x2 - 4,75·x, som skulle vises.

  2. Formlen for en parabel kan generelt skrives: y = a·x2 + tan(α)·x + c, dvs. tan(α) er koefficienten til x-leddet.

    Man får: tan(α) = 4,75 ⇒ α = 78,1°

  3. Man opretter f(x) i Ti-Nspire: f(x):=−1.48*x2+4.75*x ▸ Udført

    Man indsætter f(x) i formlen for kurvelængden og integrerer mellem x = 0 og x = 3,2:

    integral(sqrt(1+(derivative(f(x),x))2),x,0,3.2) ▸ 8.508

    Dvs. kurvelængden er 8,51

    Løsning i Maple:

  4. Til tidspuntet t1 gælder: x(t1) = 3,2. Man får: x(t1) = 3,2 ⇒ 1,82·t1 = 3,2 ⇔ t1 = 1,76

    Dvs. dråben rammer jorden efter 1,76 s

Svar på opgave 5:

  1. Arealet under kurven er integralet af f(x) fra x = π til x = 3π.

    Man opretter f(x) i Ti-Nspire: f(x):=cos(x)+2 ▸ Udført

    Man integrerer f(x) fra x = π til x = 3π i Ti-Nspire: integral(f(x),x,π,3*π) ▸ 4*π

    Dvs. arealet under kurven er

    Løsning i Maple:

  2. Man skal vise, at sin(k) + 2k - 2π er formlen for integralet af f(x) fra x = π til x = k (k > π).

    Man får følgende i Ti-Nspire: integral(f(x),x,π,k) ▸ sin(k)+2*k-2*π

    Dette viser, at arealformlen er A(k) = sin(k) + 2k - 2π, som var det, der skulle vises.

Svar på opgave 6:

  1. Nedenstående graf viser en mulig løsning med med faste røde linjer. Stiplede linjer viser ønsker, der ikke kan opfyldes.

  2. Man skriver kombinationer af person og opgave ved at sammensætte forbogstav for personen og tallet for opgaven. F.eks. Anne tildeles opgave 1 skrives A1.

    Kombinationen A2, B1, C3 og D4 giver den samlede tid: (1 + 2 + 5 + 2) timer = 10 timer. Det forudsættes, at den ene arbejder efter den anden.

  3. Man bruger den ungarske metode på skemaet for at finde den kombination af person og opgave, der giver den mindste sum af arbejdstid.

    Man starter med at trække det mindste tal i hver række fra alle tal i samme række. Det mindste tal i række 1 til 4 er henholdsvis 1, 2, 3 og 2. Man får derved det reducerede skema, som er vist nedenunder:

    Man finder nu de rækker, hvor der kun optræder eet nul. Dette er række 1 og 3. De to nuller indrammes og både rækken og søjlen, som de står i, streges igennem. Resultatet er vist nedenunder:

    Nu er der to nuller tilbage, der ikke er streget ud. Disse står i hver sin række og indrammes, så man får fire indrammede nuller som vist:

    Man overfører nu de indrammede steder til det oprindelige skema og får:

    Dvs. den optimale opgavefordeling er: A2, B3, C1 og D4.

    Dette giver i alt følgende tidsforbrug: (1 + 2 + 3 + 2) timer = 8 timer

    De sparer (10 - 8) timer = 2 timer. Hvis de startede samtidig og arbejdede parallelt, ville det tage 3 timer at blive færdig, men den optimale kombination ville i dette tilfælde være den samme.