Matematik B HF eksamen 9. december 2011 | Oversigt

Svar på opgave 1:

  1. Reducering:

    a3·a4·a-1 = a3+4-1 = a6

    x7/x2 = x7·x-2 = x7-2 = x5

Svar på opgave 2:

  1. P(100,193) ligger på grafen for f, hvis f(100) = 193. Man får:

    f(100) = 2·100 - 7 = 193, dvs. P ligger på grafen for f

Svar på opgave 3:

  1. Modellen er: f(x) = 35·x + 40,

    hvor f(x) er vægten i gram og x er antal dage efter udklækningen.

Svar på opgave 4:

  1. For grafen:...

    gælder:...

    a > 0, da grafens grenene vender opad,

    b < 0, da grafens hældning i skæringen med y-aksen er negativ,

    c > 0, da grafens skæring med y-aksen er positiv og

    d < 0, da grafen ikke skærer x-aksen.

Svar på opgave 5:

  1. Man bruger reglerne for integration af potensfunktioner: 4x3 + 10x - 3 dx = x4 + 5x2 - 3x

Svar på opgave 6:

  1. Tangenten til kurven gennem punktet (1,0) følger formlen: y = f'(1)·(x-1) + f(1) = f'(1)·(x-1).

    Her mangler man at bestemme f´(1).

    Man får at f´(x) = [x3 - x]' = 3x2 - 1. Dermed er f´(1) = 3·12 - 1 = 2.

    Dette giver, at tangentens ligning er y = 2x - 2

Svar på opgave 7:

  1. |BD| bestemmes ved hjælp af en cosinusrelation:

    solve(cos(46.1°)=(932+872-bd2)/(2*93*87),bd)|bd>0 ▸ bd=70.6921

    Dvs. |BD| = 70,7

  2. Man finder vinkel ABD ved hjælp af en cosinusrelation:

    solve(cos(abd*1.°)=(932+70.69212-872)/(2*93*70.6921),abd)|0<b<180 ▸ abd=62.4707

    Dvs. vinkel ABD = 62,5°

    Vinkel ADB findes ved hjælp af reglen om, at vinkelsummen i en trekant er 180°:

    Vinkel ADB = 180° - 62,4707° - 46,1° = 71,4°

  3. |BC| findes ved hjælp af sinusrelationen sin(C)/|BD| = sin(BDC)/|BC|. Her er vinkel BDC = 180° - 71,4293° = 108,571°. Man får:

    solve(sin(31.1°)/70.6921=sin(108.571°)/bc,bc) ▸ bc=129.732

    Dvs. |BC| = 129,7

Svar på opgave 8:

  1. Kogetiden for et æg på 57 gram er f(57). Man får:

    f(x):=18.2*x0.67 ▸ Udført

    f(57) ▸ 273.217

    Dvs. kogetiden er 273,2 min. for et æg på 57 g.

  2. Man skal bruge formlen for procent-procent vækst: (1 + ry) = (1 + rx)a, hvor man skal finde vækstraten for y, ry, når vækstraten for x, rx, er 15 %.

    Vækstraten for kogetiden er ((1 + 15 %)0,67 - 1)·100 % = (1,150,67 - 1)·100 % = 9,816 %

    Dvs. det tager 9,8 % længere tid at koge ægget.

Svar på opgave 9:

  1. Man opretter lister med antal dB og arbejdstiden ved hvert støjniveau.

    antaldb:={0,5,11,17,22,25} ▸ {0,5,11,17,22,25}

    arbejdstid:={1440,480,120,30,10,5} ▸ {1440,480,120,30,10,5}

    Man laver en eksponentiel regression på listerne:

    ExpReg antaldb,arbejdstid,1: CopyVar stat.RegEqn,f1: stat.results ▸
    [["Titel","Eksponentiel regression"]
    ["RegEqn","a*b^x"]
    ["a",1458.57]
    ["b",0.796877]
    ["r²",0.99994]
    ["r",−0.99997]
    ["Resid","{...}"]
    ["ResidTrans","{...}"]]

    Man får, at a = 0,7969 og b = 1458,6

    (Bemærk at Ti-Nspire buger a og b modsat opgaven.)

  2. Det antal minutter man kan arbejde ved dette støjniveau er f(32):

    f1(32) ▸ 1.01965 (f1(x) er den regressionsfunktion som Ti-Nspire danner.)

    Dvs. man kan arbejde i 1 min.

  3. Halveringskonstanten, K1/2, findes ved hjælp af formlen: K1/2 = ln(1/2)/ln(a):

    ln(0.5)/ln(0.796877) ▸ 3.05277

    Dvs. halveringskonstanten er 3,05 dB

    Dette tal betyder, at hver gang man øger støjniveauet med 3db over grænsen, så halveres den tid man maksimalt må arbejde ved dette støjniveau.

Svar på opgave 10:

  1. Man skal finde rentesatsen, r, i formlen 360·(1+r)n = 179, hvor n = 2010 - 2004 = 6.

    solve(360.*(1+r)6=179,r) ▸ r=−1.89007 or r=−0.109928

    Da r ikke kan være mindre end -1 er den gennemsnitlige procentvise ændring = −0,1099 = -11 %

    (En gennemsnitlig procentlig årlig ændring på mindre end -1 (-100 %) svarer til, at man fjerner mere end det, der er at tage af.)

Svar på opgave 11:

  1. f(x):=3190/(1+29.5*exp(−0.113*x)) ▸ Udført (f(x) oprettes)

    Kyllingens vægt 20 dage efter udklægningen er f(20):

    f(20) ▸ 782.181

    Dvs. kyllingens vægt efter 20 dage er 782 g

  2. Man skal løse ligningen f(x) = 2500 med hensyn til x. Man får:

    solve(f(x)=2500,x) ▸ x=41.3429

    Dvs. kyllingen bliver 41 dage gammel

  3. Væksthastigheden er f'(15). Man får:

    derivative(f(x),x)|x=15 ▸ 47.4252

    Dvs. væksthastigheden efter 15 dage er 47 g/dag

Svar på opgave 12:

  1. f(x):=(2*x2-6*x)/(x2+1) ▸ Udført (opret f(x))

    Man finder x1 og x2 som nulpunkterne for f´(x):

    solve(derivative(f(x),x)=0.,x) ▸ x=−1.38743 or x=0.720759

    Dvs. x1 = −1,387 og x2 = 0,7208

  2. Arealet er integralet ag f mellem x = (det største nulpuinkt for f) og x = 6. Man bestemmer nulpunkterne for f:

    solve(f(x)=0,x) ▸ x=0 or x=3

    Dvs. arealet er integralet af f fra x = 3 til x = 6:

    integral(f(x)*1.,x,3,6) ▸ 1.7618

    Dvs. arealet af området er 1,762