Matematik B HF eksamen 31. august 2010 | Oversigt
Svar på opgave 1:
A = π·c·(a + b) ⇔
A/(π·c) = a + b ⇔
a = A/(π·c) - b
Svar på opgave 2:
x2 + 2x + (-3) = 0
Diskriminanten, D = b2 - 4·a·c = 22 - 4·1·(-3) = 4 + 12 = 16
x = -b/(2·a) ± (√D)/(2·a) ⇒
x = -2/(2·1) ± (√16)/2 ⇔
x = -2/2 ± 4/2 ⇔
x = -1 - 2 ∨ x = -1 + 2 ⇔
x = -3 ∨ x = 1
Svar på opgave 3:
(Lavet i omvendt rækkefølge:)
Der tale om en (positiv) lineær sammenhæng. Dvs. pulsen stiger med et fast antal for hver grad (ikke med en fast fremskrivningsfaktor eller procenttal).
En lineær sammenhæng kan skrives y = ax + b. Tallet b er y-værdien for x = 0. Her svarer x = 0 til 21 °C, dvs. b er y-værdien ved 21 °C, som er 155 slag pr. minut. Tallet a er stigningen i pulsslag for hver grad temperaturen stiger, som er 2 slag/min.
Dette giver modellen: y = 2x + 155
Pulsen ved den samme træning ved 31 °C findes ved at indsætte x = 31 - 21 = 10 o formlen: y = 2·10 + 155 = 175.
Dvs. pulsen er 175
Svar på opgave 4:
Når x og y er proportionale gælder, at x/y = konstant for alle par af x og y. Dvs. for det første tomme felt får man ligningen: x/3 = 6/9 som giver x/3 = 6/9 ⇔ x = 3·6/9 ⇔ x = 2
For det andet felt får man: 5/y = 6/9 som giver 5/y = 6/9 ⇔ 5 = y·6/9 ⇔ y = 5/(6/9) ⇔ y = 7,5
Nedenunder er tabellen udfyldt:
Svar på opgave 5:
En vilkårlig stamfunktion (kaldet F(x)) til f(x) = ex + 10x er lig med det ubestemte integrale til f(x), som er ex + 10·(1/2)·x2 + k = ex + 5·x2 + k. Man skal nu bestemme k, så F(0) = 2. Dette giver:
e0 + 5·02 + k = 2 ⇔
1 + 0 + k = 2 ⇔
k = 2 - 1 ⇔
k = 1
Dvs. stamfunktionen gennem punktet (0,2) er ex + 5·x2 + 1
Svar på opgave 6:
Nedenfor er vist en parabel for a=b=c=1. (Reglerne er a > 0: grene vender opad; a < 0: grene vender nedad; b er kurvens hældning i skæringspunktet med y-aksen; c er y-værdien af kurvens skæringspunkt med y-aksen.
Nedenunder er en interaktiv tegning lavet i Geogebra. Varier på a, b og c for at se hvordan grafen ændrer sig. Tryk på opdateringspilene i øverste højre hjørne af billedet, hvis den grønne graf ikke kommer frem fra start. Hvis du ikke kan se billedet i det hele taget, så kan du finde det på Geogebra hjemmeside.
Svar på opgave 7:
Man opretter en liste for x, som er antal år efter 2002 kaldet "år". Derudover opretter man en liste for y kaldet "antal". Dette er gjort i Ti-Nspire nedenunder':
(Menu-stien til kommandoen, når man står i Noter er: Beregninger ▸ Statistik ▸ Statistiske beregninger ▸ Lineær regression (mx + b)... hvorpå man vælger de to lister).
Det ses af resultatskemaet, at a = 58,4 og b = 76,2 (Ti-Nspire bruger m i stedet for a).
Den årlige vækst er a = 58,4 fisk
Året 2007 svarer til x = 2007 - 2002 = 5. Her er antallet af fisk i følge modellen: 58,4·5 + 76,2 = 368.
Året 2008 svarer til x = 2008 - 2002 = 6. Her er antallet af fisk i følge modellen: 58,4·6 + 76,2 = 427.
Det sidste tal passer dårlig med virkelighedens 878.
Svar på opgave 8:
Arealet af ΔABC er 0,5·grundlinje·højde = 0,5·|AC|·|BC|·sin(∠C) = 0,5·9,0·4,0·sin(35,4°) = 10,4
Bregningen af højden er vist nedenfor:
|AB| bestemmes ved hjælp af en cosinusrelation, som her er løst med hensyn til |AB| i Ti-Nspire:
Dvs. |AB| = 6,19
∠A kan bestemmes ved hjælp af enten en cosinusrelation eller en sinusrelation.
Ved at bruge en cosinusrelation får man i Ti-Nspire:
Med ensinusrelation får man, idet ∠A forudsættes at være spids:
Dvs. ∠A = 21,9°
Svar på opgave 9:
Man opretter de to funktioner i Ti-Nspire:
Man finder de x, hvor f og g har samme værdi og finder de tilhørende funktionsværdier:
Dvs. skæringspunkterne er (1,6) og (4;4,243)
Området er tegnet med rødt i Geogebra nedenunder:
Arealet af området er integralet af g(x) - f(x) fra x = 1 til x = 4, her beregnet i Ti-Nspire:
Dvs. arealet af området er 1,5
Svar på opgave 10:
Man sætter x = 8 ind i formlen og får: 131,8·8-2,5 m = 0,73 m, der er afstanden mellem spærene for et tag med en bredde på 8 m.
Man bruger formlen for procent-procentvækst for en potensfunktion, der giver: ((1,25)-2,5 - 1)·100 = −42,76.
Dvs. afstanden mellem spærene på det brede tag på typehus A er 43 % mindre end afstanden på det smalle tag på typehus B.
Svar på opgave 11:
Man opretter f(x) i Ti-Nspire:
Monotoniforholdene bestemmes ved at lave en fortegnsundersøgelse for f´(x). Dette gøres i Ti-Nspire som vist:
Dvs. f´(x)<0 for x<1 og f´(x)>0 for x>1. Dermed er f aftagende for x<1 og voksende for x>1
Man skal løse ligningen f(x) = 31x - 44 med hensyn til x. Dernæst skal den tilhørende værdi af f(x) findes. Dette gøres i Ti-Nspire:
Dvs. koordinatsættet er (x,y) = (2,18)
Svar på opgave 12:
Arealet af rektanglet er længde·bredde = |PS|·|PQ| = (2 - x)·f(x) = (2 - x)·(x3 + 1)
Når x = 1,5 bliver arealet: (2 - 1,5)·(1,53 + 1) = 0,5·(3,375 + 1) = 0,5·4,375 = 2,1875
For at finde dets tørst mulige areal skal man differentiere areal-funktionen og sætte den afledte lig med 0. Dernæst skal man lave en fortegnsundersøgelse af den afledte i definitionsintervallet for f (0<x<2):
Da arealet som vist stiger fra x = 0,5 til x = 1,366 og derefter falder, ses det, at x = 1,366 er et maksimumspunkt. Arealet for denne x-værdi er (2 - 1,366)(1,3663 + 1) = 2,25.
Udover ekstremumspunkterne skal man også undersøge endepunkterne x = 0 og x = 2. For x = 0 får man arealet 2 og for x = 2 får man arealet 0.
Dvs. det største areal fås for x = 1,366, og dermed er det største areal 2,25