Matematik B HF eksamen 31. august 2010 | Oversigt

Svar på opgave 1:

  1. A = π·c·(a + b) ⇔

    A/(π·c) = a + b ⇔

    a = A/(π·c) - b

Svar på opgave 2:

  1. x2 + 2x + (-3) = 0

    Diskriminanten, D = b2 - 4·a·c = 22 - 4·1·(-3) = 4 + 12 = 16

    x = -b/(2·a) ± (√D)/(2·a) ⇒

    x = -2/(2·1) ± (√16)/2 ⇔

    x = -2/2 ± 4/2 ⇔

    x = -1 - 2 ∨ x = -1 + 2 ⇔

    x = -3 ∨ x = 1

Svar på opgave 3:

  1. (Lavet i omvendt rækkefølge:)

    Der tale om en (positiv) lineær sammenhæng. Dvs. pulsen stiger med et fast antal for hver grad (ikke med en fast fremskrivningsfaktor eller procenttal).

    En lineær sammenhæng kan skrives y = ax + b. Tallet b er y-værdien for x = 0. Her svarer x = 0 til 21 °C, dvs. b er y-værdien ved 21 °C, som er 155 slag pr. minut. Tallet a er stigningen i pulsslag for hver grad temperaturen stiger, som er 2 slag/min.

    Dette giver modellen: y = 2x + 155

    Pulsen ved den samme træning ved 31 °C findes ved at indsætte x = 31 - 21 = 10 o formlen: y = 2·10 + 155 = 175.

    Dvs. pulsen er 175

Svar på opgave 4:

  1. Når x og y er proportionale gælder, at x/y = konstant for alle par af x og y. Dvs. for det første tomme felt får man ligningen: x/3 = 6/9 som giver x/3 = 6/9 ⇔ x = 3·6/9 ⇔ x = 2

    For det andet felt får man: 5/y = 6/9 som giver 5/y = 6/9 ⇔ 5 = y·6/9 ⇔ y = 5/(6/9) ⇔ y = 7,5

    Nedenunder er tabellen udfyldt:

Svar på opgave 5:

  1. En vilkårlig stamfunktion (kaldet F(x)) til f(x) = ex + 10x er lig med det ubestemte integrale til f(x), som er ex + 10·(1/2)·x2 + k = ex + 5·x2 + k. Man skal nu bestemme k, så F(0) = 2. Dette giver:

    e0 + 5·02 + k = 2 ⇔

    1 + 0 + k = 2 ⇔

    k = 2 - 1 ⇔

    k = 1

    Dvs. stamfunktionen gennem punktet (0,2) er ex + 5·x2 + 1

Svar på opgave 6:

  1. Nedenfor er vist en parabel for a=b=c=1. (Reglerne er a > 0: grene vender opad; a < 0: grene vender nedad; b er kurvens hældning i skæringspunktet med y-aksen; c er y-værdien af kurvens skæringspunkt med y-aksen.

    Nedenunder er en interaktiv tegning lavet i Geogebra. Varier på a, b og c for at se hvordan grafen ændrer sig. Tryk på opdateringspilene i øverste højre hjørne af billedet, hvis den grønne graf ikke kommer frem fra start. Hvis du ikke kan se billedet i det hele taget, så kan du finde det på Geogebra hjemmeside.

Svar på opgave 7:

  1. Man opretter en liste for x, som er antal år efter 2002 kaldet "år". Derudover opretter man en liste for y kaldet "antal". Dette er gjort i Ti-Nspire nedenunder':

    (Menu-stien til kommandoen, når man står i Noter er: Beregninger ▸ Statistik ▸ Statistiske beregninger ▸ Lineær regression (mx + b)... hvorpå man vælger de to lister).

    Det ses af resultatskemaet, at a = 58,4 og b = 76,2 (Ti-Nspire bruger m i stedet for a).

  2. Den årlige vækst er a = 58,4 fisk

  3. Året 2007 svarer til x = 2007 - 2002 = 5. Her er antallet af fisk i følge modellen: 58,4·5 + 76,2 = 368.

    Året 2008 svarer til x = 2008 - 2002 = 6. Her er antallet af fisk i følge modellen: 58,4·6 + 76,2 = 427.

    Det sidste tal passer dårlig med virkelighedens 878.

Svar på opgave 8:

  1. Arealet af ΔABC er 0,5·grundlinje·højde = 0,5·|AC|·|BC|·sin(∠C) = 0,5·9,0·4,0·sin(35,4°) = 10,4

    Bregningen af højden er vist nedenfor:

  2. |AB| bestemmes ved hjælp af en cosinusrelation, som her er løst med hensyn til |AB| i Ti-Nspire:

    Dvs. |AB| = 6,19

  3. ∠A kan bestemmes ved hjælp af enten en cosinusrelation eller en sinusrelation.

    Ved at bruge en cosinusrelation får man i Ti-Nspire:

    Med ensinusrelation får man, idet ∠A forudsættes at være spids:

    Dvs. ∠A = 21,9°

Svar på opgave 9:

  1. Man opretter de to funktioner i Ti-Nspire:

    Man finder de x, hvor f og g har samme værdi og finder de tilhørende funktionsværdier:

    Dvs. skæringspunkterne er (1,6) og (4;4,243)

  2. Området er tegnet med rødt i Geogebra nedenunder:

    Arealet af området er integralet af g(x) - f(x) fra x = 1 til x = 4, her beregnet i Ti-Nspire:

    Dvs. arealet af området er 1,5

Svar på opgave 10:

  1. Man sætter x = 8 ind i formlen og får: 131,8·8-2,5 m = 0,73 m, der er afstanden mellem spærene for et tag med en bredde på 8 m.

  2. Man bruger formlen for procent-procentvækst for en potensfunktion, der giver: ((1,25)-2,5 - 1)·100 = −42,76.

    Dvs. afstanden mellem spærene på det brede tag på typehus A er 43 % mindre end afstanden på det smalle tag på typehus B.

Svar på opgave 11:

  1. Man opretter f(x) i Ti-Nspire:

    Monotoniforholdene bestemmes ved at lave en fortegnsundersøgelse for f´(x). Dette gøres i Ti-Nspire som vist:

    Dvs. f´(x)<0 for x<1 og f´(x)>0 for x>1. Dermed er f aftagende for x<1 og voksende for x>1

  2. Man skal løse ligningen f(x) = 31x - 44 med hensyn til x. Dernæst skal den tilhørende værdi af f(x) findes. Dette gøres i Ti-Nspire:

    Dvs. koordinatsættet er (x,y) = (2,18)

Svar på opgave 12:

  1. Arealet af rektanglet er længde·bredde = |PS|·|PQ| = (2 - x)·f(x) = (2 - x)·(x3 + 1)

    Når x = 1,5 bliver arealet: (2 - 1,5)·(1,53 + 1) = 0,5·(3,375 + 1) = 0,5·4,375 = 2,1875

  2. For at finde dets tørst mulige areal skal man differentiere areal-funktionen og sætte den afledte lig med 0. Dernæst skal man lave en fortegnsundersøgelse af den afledte i definitionsintervallet for f (0<x<2):

    Da arealet som vist stiger fra x = 0,5 til x = 1,366 og derefter falder, ses det, at x = 1,366 er et maksimumspunkt. Arealet for denne x-værdi er (2 - 1,366)(1,3663 + 1) = 2,25.

    Udover ekstremumspunkterne skal man også undersøge endepunkterne x = 0 og x = 2. For x = 0 får man arealet 2 og for x = 2 får man arealet 0.

    Dvs. det største areal fås for x = 1,366, og dermed er det største areal 2,25