Folkeskolens problemregning for 10. klasse, december 2018 | Oversigt

Svar på opgave 1: Frederik sælger juletræer

  1. Frederiks arbejdstid:

    Søndag: fra 10:00 til 15:30, hvilket giver 5 timer og 30 minutter = 5,5 timer

    Tirsdag: fra 15:15 til 17:30, hvilket giver 2 timer og 0 minutter = 2,0 timer

    Torsdag: fra 17:00 til 20:30, hvilket giver 3 timer og 30 minutter = 3,5 timer

    I alt arbejder han: (5,5 + 2,0 + 3,5) timer = 11 timer

  2. Frederik tjente: løn + penge fra salg

    Lønnen er antal arbejdstimer gange timeløn = (11 timer)·(65,61 kr./time) = 721,71 kr.

    Penge fra salg er antal solgte juletræer gange indtægt pr. solgt juletræ = (55 stk.)·(3 kr./stk.) = 165 kr.

    I alt tjener han 721,71 kr. + 165 kr. = 886,71 kr. i uge 48.

  3. Formlen for det, han tjener pr. time, kan skrives: (65,61 + 3·n) kr.

  4. Det, som Frederik tjener pr. time, skal være mere end eller lig med det, som Martin tjener. Man finder først ud af hvor mange træer, som han skal sælge for at tjene det samme.

    Frederik tjener (65,61 + 3·n) kr. og Martin tjener 75,34 kr. Dvs. man får følgende ligning, som skal løses med hensyn til n:

    65,61 + 3·n = 75,34 ⇒

    3·n = 75,34 - 65,61 ⇒

    n = (75,34 - 65,61)/3 ⇒

    n = 3,24

    Ved at runde ned til 3 træer får man indtjeningen: (65,61 + 3·3) kr. = 74,61 kr. (for lidt)

    Ved at runde op til 4 træer får man indtjeningen: (65,61 + 3·4) kr. = 77,61 kr. (i orden)

    Dvs. Frederik skal mindst sælge 4 træer for at tjene mere pr. time end Martin.

  5. Antallet af træer, som Frederik solgte, kaldes x,

    antallet af træer, som Helene solgte, kaldes y og

    antallet af træer, som Kaya solgte, kaldes z.

    De sælger tilsammen 150 juletræer, dvs. x + y + z = 150

    Helene sælger dobbelt så mange juletræer som Frederik, dvs. y = 2·x.

    Frederik sælger 10 flere juletræer end Kaya, dvs. x = z + 10 eller z = x - 10.

    Man samler det hele i een ligning med x som ubekendt:

    x + 2·x + (x - 10) = 150 ⇒

    x·4 - 10 = 150 ⇒

    x = (150 + 10)/4 ⇒

    x = 40

    Dvs. Frederik solgte 40 juletræer

Svar på opgave 2: Alder på grantræer

  1. De to første år dannes der ikke grenkranse. Derefter dannes der en grenkrans pr. år. Dvs. alderen er antal grenkranse plus 2.

    Dermed er træets alder: (8 + 2) år = 10 år

  2. Man må for det første antage, at begge træer har grenkranse, ellers kan man ikke sammenligne deres alder ved hjælp af grenkransene.

    Det ene træ har alderen n + 2 år, mens det andet har alderen m + 2 år, hvor n og m har enheden år.

    Forskellen er dermed: (n + 2 år) - (m + 2 år) = n - m, hvor enheden er år.

  3. Sammenhængen er f(x) = x - 2, hvor x har enheden år, og hvor x skal være mindst 3.

Svar på opgave 3: Brænde

  1. Rumfanget er højde × længde × bredde. Dette giver:

    (205 cm)·(120 cm)·(80 cm) =

    (2,05 m)·(1,20 m)·(0,80 m) =

    2,05·1,20·0,80 m3 =

    1,968 m32,0 m3

  2. Vb er rumfanget af brænde. Man skal finde Vb i formlen:

    F = (Vb/Vs)·100, hvor

    F = 70 og Vs = 2,0 m3 (fra forrige spørgsmål). Man får:

    70 = (Vb/(2,0 m3))·100 ⇒

    Vb = (70/100)·(2,0 m3) ⇒

    Vb = (0,7·2,0) m3

    Vb = 1,4 m3

  3. Prisen for en kubikmeter brænde i brændestablen på palle er pris af brænde divideret med rumfang af brænde i stabel.

    Dette giver: (1599 kr.)/(1,4 m3) = 1.142,14 kr./m3

    Prisen for en kubikmeter brænde i kassen er pris af brænde divideret med rumfang af brænde i kasse.

    Dette giver: (700 kr.)/(0,45 m3) = 1555,56 kr./m3

    Dvs. brænde på palle er billigst.

  4. Stablen består af en cylinder plus en kegle.

    Cylinderen har rumfanget: radius i anden gange pi gange højde af cylinder.

    Keglen har rumfanget: 1/3 gange radius af grundflade i anden gange pi gange højde af kegle.

    Radius af både cylinder og keglens grundflade er (2,4 m)/2 = 1,2 m.

    Højden af cylinderen er 1,0 m, mens højden af keglen er 1,7 m - 1,0 m = 0,7 m

    Det samlede rumfang bliver:

    (1,2 m)2·π·(1,0 m) + (1/3)·(1,2 m)2·π·(0,7 m) = 5,6 m3

  5. Man antager at den nye brændestabel skal have samme form som den gamle. Forholdet mellem nyt og gammelt rumfang er er 8/5,6 = 1,4, dvs. den nye brændestabel er 1,4 gange større end den gamle.

    For at få et rumfang, der er 1,4 gange større, så skal alle dimensioner være kubikroden af 1,4 gange større.

    Kubikroden af 1,4 er 3√1,4 = 1,13. Dvs. man skal bruge en brændestabel, hvor

    diameteren af stablen er 2,4·1,13 m = 2,7 m,

    højden af cylinderen er 1,0·1,13 m = 1,1 m og

    højden af stablen er 1,7·1,13 m = 1,9 m

Svar på opgave 4: Jagtudbytte i Danmark

  1. Det samlede antal nedlagte dyr er 9.700 + 8.000 + 538 + 108.400 = 126.638

    (Se Excel-fil)

  2. Krondyr har haft den største procentvise stigning. Den procentvise stigning beregnes som:

    (antal dyr i 2015 minus antal dyr i 1945) divideret med antal dyr i 1945. Man får:

    Krondyr: (9.700 - 556)/556 = 16,45 = 1645 %

    Dådyr: (8.000 - 1.456)/1.456 = 4,49 = 449 %

    Sika: (538 - 256)/256 = 1,10 = 110 %

    Rådyr: (108.400 - 17.884)/17.884 = 5,06 = 506 %

  3. Overordnet er der sket en stigning i jagtudbyttet for begge arter.

    Dådyr havde en nedgang i jagtudbyttet i 1970, 2000 og 2010.

    For rådyrs vedkommende har der været en nedgang siden 2010

  4. Man bruger fremskrivningsformlen (eller formlen for kapitaltilvækst): K = K0·(1+r)n.

    Her er K0 = 1456, r = 2,5% og n = 2015 - 1945 = 70. Man skal undersøge om K bliver 8000. Man får:

    1456·(1+2,5%)70 =

    1456·1,02570 =

    1456·5,63 = 8.197.

    Dvs. antagelsen om, at antallet af dådyr er vokset med 2,5 % om året siden 1945 passer, hvis man runder af til nærmeste antal tusinde.

  5. Nedenstående graf lavet i Excel viser udviklingen i det samlede jagtudbytte fra 1945 til 2015..

  6. På nedenstående graf er indtegnet en eksponentiel tendenskurve for det samlede jagtudbytte fra 1945 til 2015. Kurven er forlænget til 2025.

    Det kan ud fra kurven forudses, at jagtudbyttet vil være ca. 200.000 dyr i 2025, hvis udviklingen fra de foregående 70 år fortsætter.

Svar på opgave 5: Regulære polygoner

  1. Regneudtrykket er: sidelængde = 30/5 = 6.

  2. Regneudtrykket er: s = 30/n

  3. Nedenstående tegning er lavet i Geogebra.

    Til venstre på billedet ses, at arealet af den viste regulære femkant er ca. 62

  4. På billedet nedenunder er tegnet en femkant og en femtenkant - begge med omkredsen 30. Femtenkanten har arealet 70,6.

    Det ses, at jo flere kanter man kommer på, jo mere nærmer man sig en cirkel med omkreden 30.

    Denne cirkel har arealet π·r2. Radius findes ud fra omkredsen: 2·π·r = 30 ⇒ r = 15/π. Dvs. arealet er: π·(15/π)2 = 225/π ≈ 71,6.

    Da en cirkel er den figur, som har det største areal af alle figurer med en given omkreds, så kan arealet af en regulær n-kant med omkredsen 30 ikke komme over 71,6, og Frederiks påstand er dermed forkert.

Svar på opgave 6: Dobbeltligevægt

  1. De 24 g på venstre side er i ligevægt med 3 stjerner og 2 kasser på højre. På højre side er de 3 stjerner samtidig i ligevægt med de 2 kasser.

    Man kalder vægten af en stjerne for s og vægten af en kasse k.

    Dette giver følgende to ligninger med to ubekendte:

    24 = 3·s + 2·k og 3·s = 2·k ⇒

    24 = 3·s + 3·s og 3·s = 2·k ⇒

    24 = 6·s og k = (3/2)·s ⇒

    s = 24/6 og k = (3/2)·s ⇒

    s = 4 og k = (3/2)·4 ⇒

    s = 4 og k = 6

    Dvs. en stjerne vejer 4 g og en kasse 6 g.

  2. Med de samme betegnelser som i forrige spørgsmål får man:

    32 = 2·s + 4·k og 2·s = 4·k ⇒

    32 = 2·s + 2·s og k = (1/2)·s ⇒

    32 = 4·s og k = (1/2)·s ⇒

    s = 32/4 og k = (1/2)·s ⇒

    s = 8 og k = (1/2)·8 ⇒

    s = 8 og k = 4

    Dvs. en stjerne vejer 8 g og en kasse 4 g

  3. En kasse er lettest og 2 vejer mindst 2 g, som også er den mindste vægt som stjernen kan have. Dvs. loddet vejer mindst 4 g. Derud over kan bare gange op med naturlige tal for en kasses vægt som man har lyst:

    Hvis en kasse vejer 2 g vil en stjerne veje 4 og loddet 8 g og hvis en kasse vejer 3 g vil en stjerne ved 6 g og loddet 12 g.

  4. Med betegnelserne fra før får man følgende sammenhørende ligninger:

    3 + 3·s + k = 2·s + 5·k og 2·s = 5·k ⇒

    3 + 3·s + (2/5)·s = 2·s + 5·(2/5)·s og k = (2/5)·s ⇒

    3 + s·17/5 = s·4 og k = (2/5)·s ⇒

    3 = s·(20/5 - 17/5) og k = (2/5)·s ⇒

    3 = s·3/5 og k = (2/5)·s ⇒

    s = 5 og k = (2/5)·5 ⇒

    s = 5 og k = 2

    Dvs. en stjerne vejer 5 g og en kasse 2 g