Folkeskolens problemregning for 10. klasse, december 2017 | Oversigt

Svar på opgave 1: Chauffør

  1. Det tager 3 år at blive uddannet, dvs. at Christoffer vil være færdig i 2018 + 3 = 2021

  2. Der er i alt 2·40 uger = 80 uger med skole eller praktik i hovedforløbet. Af disse 80 uger er de 3/5 praktik. Dvs. der er (3/5)·80 uger = 48 uger med praktik i hovedforløbet.

  3. Antal arbejdstimer på 2 uger er 2·37 timer = 74 timer. Dvs. Kurts timeløn er (11.914 kr./74 timer) = 161 kr. i timen

  4. Formlen for AM-bidraget er: 0,08·(løn - pensionsbidrag - ATP-bidrag). Ved at indsætte tallene får man: AM-bidrag = 0,08·(11914 - 650 - 49,80) kr. = 897,14 kr. Dvs. beregningen i skemaet er rigtig

  5. Kurts beskatningsgrundlag er: 10317,06 kr. - 1730 kr. = 8587,06 kr.

    Kurts A-skat er: 0,4·8587,06 kr. = 3434,82 kr.

    Udbetalt løn: 10317,06 kr. - 3434,82 kr. = 6882,24 kr.

  6. Kurts kollega har samme skattepligtige indkomst som Kurt: 10.317,06 kr. Kollegaens fradrag i skattepligtig indkomst kaldes x. Man har følgende formel for udbetalt løn:

    Udbetalt løn = skattepligtig indkomst - A-skat ⇒

    Udbetalt løn = skattepligtig indkomst - 0,4·beskatningsgrundlag ⇒

    Udbetalt løn = skattepligtig indkomst - 0,4·(skattepligtig indkomst - x) ⇒

    7002,24 kr. = 10.317,06 kr. - 0,4·(10.317,06 kr. - x) ⇔

    7002,24 kr. = (10.317,06 kr.)·0,6 + 0,4·x ⇔

    7002,24 kr. = 6190,24 kr. + 0,4·x ⇔

    x = (7002,24 kr. - 6190,24 kr.)/0,4 = 2030 kr.

    Dvs. kollegaens fradrag i skattepligtig indkomst er 2030 kr.

Svar på opgave 2: Affald

  1. Stigningen i husholdningernes affaldsmængde var fra 2013 til 2014 lig med:

    (3.383.000 - 3.342.000) tons = 41.000 tons

  2. Mængden af husholdningsaffald pr. indbygger var i 2014 lig med:

    (3.383.000 tons)/(5,5 mio. indb.) = (3.383.000/5.500.000) tons/indb. = 0,615 tons/indb. = 615 kg pr. indbygger

  3. Nedenfor er graferne tegnet i Excel.

  4. Tallet 375.000 i model 1 viser, at man forventer, at affaldsmængden stiger med 375.000 tons om året.

    Tallet 1,025 i model 2 viser, at man forventer, at affaldsmængden skal ganges med 1,025 om året. Dette svarer til en procentvis årlig tilvækst på (1,025 - 1) = 0,025 = 2,5 %

  5. Årstallet 2050 svarer til at x = 2050 - 2014 = 36.

    Model 1 giver forudsigelsen: 375.000·36 + 11.700.000 tons = 25,2 mio. tons

    Model 2 giver forudsigelsen: 11.700.000·(1,025)36 = 28,5 mio. tons

  6. Genanvendelsen i tons er lig med affalds-mængden i tons gange genanvendelses-procenten. Da både affaldsmængden og genanvendelsesprocenten stiger for hvert år, så er genanvendelsen i tons størst i 2014

  7. Christoffer har ikke ret. Nedenstående tabel er lavet i Excel (se fil) og viser tallene for affaldsmængderne og genanvendelse både i procent og tons for 2014.

    Genbrugsmængderne til højre i tabellen er beregnet ved at gange affaldsmængderne til venstre med genbrugsprocenterne i midten række for række.

    Derefter er affaldsmængderne lagt sammen til tallet forneden til højre (7.862.300). Dette tal er divideret med den totale affaldsmængde forneden til venstre (11.739.000) og resultatet er skrevet som procenttal i midten forneden (67,0 %).

    Disse 67,0 % er den rigtige procentdel. Det bemærkes, at man ikke generelt kan erstatte dette tal med gennemsnittet af procentsatserne.

Svar på opgave 3: Affaldsbeholder

  1. Christoffer og hans familie kan højst lægge (240 L)/(14 dage) = 17,14 L/dag = 17,1 L affald pr. dag i affaldsbeholderen.

  2. Man indsætter affaldsbeholderens mål i formlen og får følgende rumfang for beholderen:

    V = 100·(2·58·50 + 2·43·43 + 58·43 + 43·50)/6 = 235.700. Dvs. at rumganget er 235.700 cm3. Dette omregnes til L, idet 1 L = 1 dm3 = 1·(10 cm)3 = 1000 cm3. Dvs. 1 cm3 0,001 L.

    Man får følgende rumfang i L: 235.700 cm3 = 235.700·(1 cm3) =

    235.700·(0,001 L) = (235.700·0,001) L = ≈ 236 L. Dermed kan affaldsbeholderen ikke indeholde 240 L, når man runder af til nærmeste antal hele L.

  3. Den samlede længde af de stolper, som Christoffer og hans far skal bruge, er: 4·(1,80 m) = 7,20 m.

    Prisen af stolperne bliver dermed: (7,20 m)·(17,95 kr./m) = 129,24 kr. ≈ 129,50 kr.

  4. Opgavens løsning kræver en tegning og nogle antagelser.

    Antagelserner er, at stolpernes bredde og tykkelse er 50 mm, at afstanden mellem stolperne er 60 cm, at brædderne lægges vandret, og at brædderne kun saves over på tværs og ikke på langs.

    Tegningen til beregningen er lavet i Geogebra og vist nedenunder:

    Længden af bræddestykkerne i skjulernes er valgt til 60 cm, dels fordi der på den måde er god plads til affaldsbeholderen og dels fordi bræddestykkernes længde derved går et helt antal gange op i de købte brædders længde.

    Bræddestykkerne starter i 10 cm's højde. For at dække affaldsbeholderne skal bræddestykkerne nå op i 1 meters højde, dvs. at de skal dække et lodret stykke, der måler: 100 cm - 10 cm = 90 cm.

    Antallet af brædder, der lægges over hinanden i højden (regnet som decimaltal) kaldes x. Bredden af et bræddestykke er 125 mm = 12,5 cm. Dette er den midterste af dimensionerne af et bræt. Man får følgende ligning for antallet af bræddestykker:

    x·(12,5 cm) = 90 cm ⇔ x = 90/12,5 = 7,2. Dette rundes op til 8 for at få et helt antal, der er tilstrækkeligt til at dække affaldsbeholderen.

    Man finder nu at der skal bruges 3·8 = 24 bræddestykker i alt. Der går følgende antal bræddestykker på et bræt: (3600 mm)/(60 cm) = (360 cm)/(60 cm) = 6.

    Dvs. der skal i alt bruges følgende antal brædder til skjuleren: 24/6 = 4

Svar på opgave 4: Taltrapper

  1. Taltrappen er udfyldt nedenunder.

    Man ved at summen af de tal, der bruges, skal være lig med tre gange summen af en række plus summen af de to tal, der står hvor række og søjle mødes.

    Disse tal er her 4 og 1, der giver summen 5.

    Summen af alle tal er 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

    Man kalder summen af tallene i en række for x. Dvs. 3·x = 28 + 5 = 3 ⇒ x = 11.

    For at summen af tallene i søjlen skal give 11, skal man indsætte 6.

    Resten giver sig selv: de manglende tal i øverste række skal give 11 - 4 = 7, og de manglende tal i nederste række skal give 11 - 1 = 10.

  2. Ikke alle kombinationer af tal i de grønne felter kan lade sig gøre.

    Som ovensfor har man at summen af tallene i de grønne felter og 28 skal give et tal, der er deleligt med 3.

    Dette betyder, at summen af tallene i de grønne felter skal være 2, 5, 8 eller 11. Højere tal kan ikke lade sig gøre, da næste tal i rækken skulle være 14 og da den højest mulige sum af to forskellige tal, der ligger mellem 1 og 7 er 6 + 7 = 13.

    Man undersøger nu hvilke kombinationer af to forskellige tal mellem 1 og 7, der kan give summerne 2, 5, 8 eller 11.

    For 2 findes ingen kombinationer.

    For 5 findes kombinationerne: (1,4) og (2,3).

    For 8 findes kombinationerne: (1,7), (2,6) og (3,5).

    For 11 findes kombinationerne: (4,7) og (5,6).

    Dvs. at kombinationen 1 og 3 f.eks. ikke kan lade sig gøre som tallene i de grønne felter.

  3. Af søjlen i taltrappen fremgår det at summen af hver række skal give: -3 + 17 + 4 = 18.

    Dette giver følgende ligning for p: -3 + p + 10 = 18 ⇒ p = 18 - 10 + 3 = 11

    Dette giver følgende ligning for n: -8 + n + 4 = 18 ⇒ n = 18 + 8 - 4 = 22

  4. Rækker og søjle skal give samme sum. Man sætte først nederste række lig med søjlen:

    14 + 16 + q = r + 12 + q ⇔ 30 + (q - q) = r + 12 ⇔ 18 = r.

    Dette indsættes ligningen: søjle lig med øvre række:

    r + 12 + q = r + 10 + 8 ⇒ 18 + 12 + q = 18 + 10 + 8 ⇔ 30 + q = 36 ⇔ q = 6

    Dvs. q = 6 og r = 18

Svar på opgave 5: Trekant i en cirkel

  1. Nedenunder er trekanten tegnet i Geogebra.

  2. Nedenfor er vist en interaktiv udgave af ovenstående tegning, hvor man kan flytte på det blå punkt. Det ses at vinklen i dette hjørne af trekanten altid er 90°.

    Se evt. tegningen på Geogebra

    Dette viser, at Christoffer har ret

  3. Man skal vise, at vinkel u på nedenstående tegning er lig med vinkel v samt at denne vinkel er 53°. Den store trekants hjørner kaldes A, B og C og Man indfører vinklen x den tredje vinkel i trekant ABD.

    Det fremgår, at både trekant ABD og trekant BDC er retvinklede.

    Det fremgår desuden, at trekant ABC er retvinklet, og at x + v = 90°. Dvs. x = 90° - v.

    I trekant ABD gælder, at vinkelsummen er 180°, og dermed er x = 180° - 90° - u ⇒ u = 90° - x.

    Dette giver, at u = 90° - (90° - v) ⇒ u = v.

    Af trekant ABC gælder, at u = 180° - 90° - w = 90° - w = 90° - 37° = 53°.

    Da u = v, og da u = 53°, så gælder, at både u og v er 53°

  4. Man ved, at h = √x. Da h = 9 får man ligningen:

    9 = √x ⇒ 92 = x ⇔ x = 81

  5. Man betragter figuren fra før. Man ved, at trekanterne ABD og trekant BCD er ligedannede, da deres vinkler er ens. Man fandt før, at u = v. Desuden gjaldt at x = 90° - v, der giver x = 90° - (90° - w) = w.

    Da ΔABD og ΔBCD er ligedannede, så gælder at |AD|/|BD| = |BD|/|CD| ⇒ 1/h = h/x ⇔ x = h2h = √x. Hvilket skulle vises.