Folkeskolens problemregning for 10. klasse, maj 2017 | Oversigt

Svar på opgave 1: Biler og udledning af CO2

  1. Bilen udleder følgende mængde CO2 = (153 km)·(140 g CO2/km) = 21420 g CO2 = 21,4 kg CO2

  2. Den procentvise nedgang i CO2-udledning, når man går fra den gamle bil til den nye, er:

    [(140-88)/140]·100 % = 37,1 %

  3. Det antal km, som den nye bil må køre for højst at udlede 1,7 tons CO2, kaldes x. Der gælder:

    x·(88 g CO2/km) = 1,7 tons CO2

    x = (1,7 tons CO2)/(88 g CO2/km) ⇔

    x = (1,7 tons)/(88 g) km ⇔

    x = (1,7·1.000.000 g)/(88 g) km ⇔

    x = 1.700.000/88 km ⇔

    x = 19.318 km

    Dvs. Klaus skal køre ca. 19.300 km på et år for at udlede 1,7 tons CO2.

  4. Nedenfor er grafen tegnet i Geogebra.

  5. Af formlen f(x) = 2,4·x fremgår det, at 1 liter benzin giver 2,4 kg CO2, når den forbrændes.

    Man ved, at når Klaus' bil kører 1 km, så udleder den 0,088 kg CO2.

    Man skal finde ud af, hvor mange km bilen kører på 1 liter benzin, hvilket er det samme som det antal km, den kører, for at udlede 2,4 kg CO2.

    Antallet af km, som bilen kører på en liter benzin, kaldes x. Man får:

    x·(0,088 kg CO2/km) = 2,4 kg CO2 ⇔ x = 2,4/0,088 km = 27,27 km

    Dvs. Klaus' bil kører 27,3 km pr. liter benzin

  6. Den masse af CO2, som han udleder, er i kg: (15000 km)·(0,088 kg/km) = 1320 kg.

    Rumfanget af denne CO2 er: masse divideret med massefylde =

    (1320 kg)/(1,8 kg/m3) = 1320/1,8 m3 = 733,3 m3730 m3

  7. Ballonen er en kugle og har rumfanget: (4/3)·π·r3, hvor r er dens radius.

    Man har følgende ligning for r: (4/3)·π·r3 = 730 m3

    r3 = 3·730/(4·π) m3 ⇔ r = 3√[3·730/(4·π) m3] = 5,5857 m

    Dvs. ballonens radius er 5,6 m

Svar på opgave 2: Menneskeskabt udledning af CO2

  1. Udledningen i 1950 aflæses af første søjle, mens udledningen i 2013 aflæses af sidste.

    Forskel mellem udslip i 1950 og 2013 var: (36234 - 5976) mio. tons CO2 = 30258 mio. tons CO2

  2. I 2000 var udslippet 24805 mio. tons CO2.

    Den procentvise forskel mellem udslippene, når man starter med 2000 og slutter med 2013 er: ((36234 - 24805)/24805)·100 % = 46,1 %

  3. 450 i den første model står for startværdien eller udslippet i 1950 målt i mio. tons.

    0,03 i den anden model er den årlige vækstprocent, dvs. væksten i udslip af CO2 er 3 % om året.

  4. Vurderingen kræver, at man opretter søjler i Excel med værdier af de to modeller. Det er vist nedenunder:

    Disse data sættes ind i Exceldiagrammet og laves om til stregkurver ved at højreklikke på søjlerne for hver model og vælge: Skift diagramtype...XY-punkt...Punktdiagram med jævne kurver. Man ser hvor godt stregkurverne for de to modeller passer med søjlediagrammet for CO2-udslip.

    I følge facitlisten er de to modeller lige gode. De afviger omtrent lige meget fra tallene i søljediagrammet.

  5. I året 2050 er x = 2050-1950 = 100.

    Forudsigelse i følge model 1: 6000 + 450·100 = 51000.

    Forudsigelse i følge model 2: 6000·1,03100 = 115312.

    Forskellen på de to forudsigelser er: 115.312 - 51.000 = 64.312

  6. De to diagrammer ser forskellige ud fordi man i det nederste diagram kun ser på området mellem 13,7 og 14,7 på venstre y-akse. Tilsvarende ser man kun på området mellem 0,3 og 0,4 promille på højre. Desuden er de to y-akser forskud i forhold til hinanden, så den røde og den blå kurve starter i samme punkt.


Svar på opgave 3: Vasketøj og udledning af CO2

  1. Man skal finde ud af, hvor meget CO2 familien i alt udleder på en uge og dividere det med 4.

    De 3 vaske, der er på 40 °C, udleder: 3·0,8 kg CO2 = 2,4 kg CO2.

    Den ene vask, der er på 60 °C, udleder: 1,1 kg CO2.

    I alt udleder familien (2,4 + 1,1) kg CO2 = 3,5 kg CO2 om ugen.

    Dvs. at familien pr. vask udleder (3,5/4) kg CO2 = 0,875 kg CO2

  2. Mængden af CO2, som udledes, afhænger kun af vaskens temperatur og ikke af tøjets vægt.

    Udledningen på 1 vask, om indeholder x kg tøj, er derfor 1,1 kg CO2.

    Udledningen af CO2 pr. kg tøj er dermed 1,1/x kg CO2, hvor x er tøjets vægt i kg.

  3. Det ses af grafen, at når man sænker temperaturen med 40 °C, så sænkes CO2-udledningen med 0,6 kg. Dvs. at når man sænker tempraturen 1 °C, så mindskes CO2-udledningen med 0,6/40 kg = 0,015 kg.

    Dvs. når man mindsker vaske-temperaturen med x grader celsius, så mindskes CO2-udslippet med 0,015·x kg CO2

  4. Der regnes med gennemsnitlige antal vaske, dvs. en hel vask hver anden uge er i gennemsnit en halv vask om ugen.

    Hvis man bruger 6 kg i stedet for 4 kg, så behøver man i kun [(4 kg tøj)/(6 kg tøj)]·(1 vask) = 0,67 vaske om ugen ved den høje temperatur.

    0,67 vaske om ugen ved 60 °C udleder: (0,67 vask/uge)·(1,1 kg CO2/vask) = 0,75 kg CO2 om ugen.

    Hvis man bruger 6 kg i stedet for 4 kg, så behøver man kun [(4 kg tøj)/(6 kg tøj)]·(3 vaske) = 2 vaske om ugen ved den lave temperatur.

    Besparelsen i CO2 ved at sænke temperaturen med 20 °C er i følge formlen fra foregående spørgsmål lig med: 0,015·20 kg CO2 = 0,3 kg CO2.

    2 vaske om ugen ved 20 °C udleder dermed: (2 vask/uge)·[(0,8 - 0,3) kg CO2/vask] = (2 vask/uge)·(0,5 kg CO2/vask) = 1,0 kg CO2 om ugen.

    Dette giver tilsammen om ugen: (0,75 + 1,0) kg CO2 = 1,75 kg CO2.

    I øjeblikket udleder familien 3,5 kg CO2 om ugen, der er det dobbelte af 1,75 kg CO2 om ugen. Dvs. Klaus har ret.

    (I følge facitlisten har Klaus ret, når alle vaske foregår ved 20 °C, men ikke når en vask foregår ved 60 °C og to vaske foregår ved 20 °C).

Svar på opgave 4: En legebenet, retvinklet trekant

  1. Der er givet: I et kvadrat ABCD er alle vinkler lig med 90° og alle sider lige store. I en ligebenet trekant er to sider lige store. I en retvinklet trekant er en vinkel 90°.

    Bevis: Trekant ABC har to sider, AB og BC, der indgår i kvadratet. Disse er dermed lige store og trekant ABC er derfor ligebenet. Siderne AB og BC danner B, som er 90°. Dermed er trekant ABC en ligebenet retvinklet trekant.

  2. Nedenunder er tegnet en retvinklet ligebenet trekant i Geogebra.

  3. På tegningen nedenunder er tegnet trekant ADO, hvor D er det sted, hvor vinkelhalveringslinjen fra B skærer siden AC.

    Man kender to vinkler: ∠BAC = 45° i trekant ABC og ∠ODC = 90° i trekant CDO.

    Desuden ved man, at summen af vinklerne i trekant ADO er 180°.

    Man skal finde vinkel v, som er lig med ∠AOD.

    Af det ovenstående fremgår at: v = 180° - ∠OAD - ∠ADO.

    Man ved, at ∠OAD er halvdelen af ∠BAC og dermed lig med 45°/2 = 22,5°. Samtidig er ∠ADO supplementvinkel til ∠ODC og dermed lig med 180° - ∠ODC = 180° - 90° = 90°.

    Dvs. v = 180° - 22,5° - 90° = 67,5°

  4. Omkredsen af trekant ABC er |AB| + |BC| + |CA|. Man ved, at |AB| = 10 og at |AB| = |BC|, dvs at omkredsen kan skrives: 10 + 10 + |CA| = 20 + |CA|.

    Desuden ved man at |CA| er hypotenusen i den retvinklede trekant ABC, og der gælder derfor i følge Pythagoras læresætning:

    |AB|2 + |BC|2 = |CA|2 der medfører at:

    102 + 102 = |CA|2 ⇒ 200 = |CA|2|CA| = √200 = 14,1421.

    Dvs. omkredsen er 20 + 14,1421 ≈ 34,14

  5. Arealet af en ligebenet retvinklet trekanten er (1/2)·katete2 = (1/2)·102 = 50. Dette følger af, at den som nævnt ovenfor kan ses som et kvadrat, der er skåret midt over langs en diagonal.

    Trekantens omkreds kendes ovenfra og er 34,14. Dermed er variablen s i formlen lig med 34,14/2 = 17,07.

    Ved at indsætte tallene i formlen, får man radius = 50/17,07 = 2,93

Svar på opgave 5: Regneruter

  1. I den øvre rute får man regnestykkerne: 10 + 3 = 13 og 13·2 = 26

    I den nedre rute får man: 10·2 = 20 og 20 + 3 = 23

  2. Den den første firkant indsætter man den variable x. Man finder x ved at indsætte det i øvre rute:

    Øvre rute: x + 3 = ?. Her indsættes x + 3 som "?" og man får: (x + 3)·2 = 2

    Heraf findes x: (x + 3)· 2 = 2 ⇔ x + 3 = 2/2 ⇔ x = 2/2 - 3 = 1 - 3 = -2. Dette indsættes i nedre rute.

    Nedre rute giver: (-2)·2 + 3 = -4 + 3 = -1

  3. Man undersøge først hvilket eller hvilke starttal, der giver et sluttal på netop 100 for de to veje.

    Øvre rute: (x + 3)·2 = 100 ⇒ x = 47.

    Nedre rute: x·2 + 3 = 100 ⇒ x = 97/2 = 48,5.

    Det ses, at vælger man 48 som starttal, så vil øvre rute give 102 og nedre rute vil give 99, så 48 opfylder betingelsen.

  4. For at vise at Stine tager fejl, så indsætter man -2/3 som starttal. Man får:

    Øvre rute: (-2/3 + 3)·2 = 14/3

    Nedre rute: (-2/3)·2 + 3 = 5/3

    Forkellen er 14/3 - 5/3 = 3. Dermed tager Stine fejl

  5. Man indsætter x som starttal og får: øvre rute: (x + 3)·2 = 2·x + 6. Nedre rute: x·2 + 3 = 2·x + 3.

    Forskellen på øvre og nedre rute er: (2·x + 6) - (2·x + 3) = 2·x - 2·x + 6 - 3 = 3.

    Dette viser, at uanset hvilket starttal, som man vælger, så får man altid en forskel på 3. Dermed har Klaus ret