Folkeskolens problemregning for 10. klasse, december 2016 | Oversigt

Svar på opgave 1: Kørekort, køreskole

  1. Prisen er (1899 + 1899 + 2199 + 600 + 16·350) kr. = 12197 kr.

  2. Hun sparer ((12197 - 10999)/12197)·100 % = 9,8 %

    ... ved at vælge køreskole 2 frem for køreskole 1.

  3. Hun skal betale 10999 kr. + 2·475 kr. = 11949 kr.

    ...for køreskole 2, hvis hun tager 2 lektioner ekstra ud over de 16.

  4. Prisen for køreskole 1 er (12197 + (n - 16)·350) kr. = (350·n + 6597) kr.

    ...hvor n er antal kørelektioner og leddet (n - 16) er lig med antal lektioner ud over 16.

  5. Sammenhængen mellem antal køretimer og samlet pris for køreskole 2 er (10999 + (n - 16)·475) kr. = (475·n + 3399) kr.

    Man skal finde det antal timer eller det n, som gør at de to køreskoler har samme samlede pris. Det gøres ved at løse følgende ligning med hensyn til n:

    350·n + 6597 = 475·n + 3399 ⇔

    350·n - 475·n = 3399 - 6597 ⇔

    -125·n = −3198 ⇔

    n = −3198/(-125) ⇔

    n = 25,584

    Dvs. køreskole 2 er billigere end køreskole 1, så længe antallet af køretimer er mindre end eller lig med 25

    Kontrol af priser: (hvis man er i tvivl om hvor vidt, man skal runde op eller ned)

    n = 25: køreskole 1 = (350·25 + 6597) kr. = 15347 kr.; køreskole 2 = 475·25 + 3399 kr. = 15274 kr.

    n = 26: køreskole 1 = (350·26 + 6597) kr. = 15697 kr.; køreskole 2 = 475·26 + 3399 kr. = 15749 kr.

    Det ses, at for antal lektioner = 25 er køreskole 2 billigst og modsat for antal lektioner = 26.

Svar på opgave 2: Bilsalg, luksusbiler mm.

  1. Det gennemsnitlige antal solgte luksusbiler pr. år fra 2010 til 2015 er

    (111 + 158 + 116 + 125 + 148 + 136)/6 = 132,3 = 132

  2. Mellem store bilers procentdel af det samlede bilsalg:

    2010: (32804/153902)·100 % = 21,3 %

    2015: (44804/207552)·100 % = 21,6 %

    Dvs. hun har ret i sin påstand inden for en forskel på 0,3 % point.

  3. Nedenstående kurve for salget af mikrobiler er lavet i Excel.

    Det fremgår af kurven, at salget af mikrobiler stiger fra 2010 til 2013 for derefter at falde igen. Overordnet stiger salget fra 2010 til 2015.

  4. Salget falder overordnet for tre slags biler: sportsvogne, store familiebiler og MPV'er.

    Procentvis tilbagegang:

    Sportsvogne: ((230 - 143)/230)·100 % = 37,8 %

    Store familiebiler: ((22081 - 19287)/22081)·100 % = 12,7 %

    MPV'er: ((16577 - 11099)/16577)·100 % = 33,0 %

    Dvs. salget af sportsvogne har det største procentvise fald.

  5. Den gennemsnitlige årlige stigning i salget af biler på 6 år fra 2010 til 2015 er (207552 - 153902)/6 = 8941,7.

    Hvis man antager at denne stigning fortsætter i 5 år mere indtil år 2020 får man følgende salgstal:

    207552 + 5·8941,7 = 252000

Svar på opgave 3: Nummerplader med palindromtal

  1. Et eksempel på et palindromtal med 2 som første ciffer er 21012

  2. Palindromtal der begynder med 73 ender på 37. I midten kan stået et hvilket som helst ciffer mellem 0 og 9:

    73037, 73137, 73237, 73337, 73437, 73537, 73637, 73737, 73837, 73937

  3. Til det første ciffer - og dermed også det sidste - kan man vælge mellem tallene fra 1 til 9, dvs. der er 9 muligheder. Tallet 0 kan ikke vælges, da tallet så ikke vil være fem-cifret men kun fire-cifret.

    Det andet og dermed også det fjerde ciffer kan vælges mellem alle cifre fra 0 til 9 og det samme gælder cifret i midten. Dvs. for hvert af disse to valg er der 10 muligheder.

    Dette giver i alt følgende muligheder for antallet af palindromtal: 9·10·10 = 900

  4. Sandsynligheden for at man tilfældigt ser en bil med et palindromtal på nummerpladen er: antal fem-cifrede palindromtal divideret med antal fem-cifrede tal. Man ser bort fra bogstavkombinationerne, da antallet af dem er ens for begge typer af nummerplader.

    Antallet af fem-cifrede tal findes som før: første ciffer kan vælges mellem 9 cifre og de fire andre mellem 10 forskellige cifre. Dette giver: antallet af fem-cifrede tal = 9·10·10·10·10 = 90.000.

    Dvs. sandsynligheden for at møde en bil med et palindromtal er 900/90.000 = 0,01. Sandsynligheden for at møde to i træk er dette tal ganget med sig selv, dvs sandsynligheden bliver 0,01·0,01 = 0,0001 = 0,01 %

Svar på opgave 4: Figurfølger

  1. Fígur 5 er tegnet nedenunder i Geogebra.

  2. Det bemærkes, at for at komme fra een figur til den næste, skal man lægge 3, 5, 7, 9...firkanter til. Dvs. for at komme fra figur 3 til figur 4 skal man lægge 5 til, og for at komme fra figur 5 til figur 6 skal man lægge 7 til.

    Figur 1: 2

    Figur 2: 5

    Figur 3: 10

    Figur 4: 17

    Figur 5: 26

    Figur 6: 37

    Figur 7: 50

    Figur 8: 65

    Figur 9: 82

  3. Figur 12 indeholder følgende antal firkanter: 82 + 19 + 21 + 23 = 145

  4. Nedenstående figur viser hvordan man kan omarrangere firkanterne i en figur, så der dannes et stort og et lille kvadrat. Det store kvadrat indeholder n2 små kvadrater, hvor n er nummeret på figuren i figurfølgen.

    Dvs. figur n i figurfølgen indeholder: n2 + 1 små kvadrater.

  5. Antallet af kvadrater i figur 100 er 100·(100 + 1) = 100·101 = 10100

  6. Man skal finde det naturlige tal n, hvorom det gælder, at n·(n + 1) = 1122.

    Man skal derfor løse ligningen: n·(n + 1) = 1122 med hensyn til n. Man får:

    n·(n + 1) = 1122 ⇔

    n2 + n = 1122 ⇔

    n2 + n - 1122 = 0 ⇔

    n = ½ ± ½·√[4449] ⇔

    n = ½ ± ½·67 ⇔

    n = -68/2 ∨ n = 66/2 ⇔

    n = -34 ∨ n = 33 (kun 33 er gyldig, da n er et naturligt tal)

    Dvs. nummeret for figuren er 33

Svar på opgave 5: Firkant i kvadrat

  1. Nedenstående tegning er lavet i Geogebra.

  2. Trekant AEH er en retvinklet trekant med kateterne 4 og 10. Dens areal er 0,5·4·10 = 20

  3. HE og EF er hver især hypotenuse i en retvinklet trekant. Begge retvinklede trekanter har kateterne 4 og 10. Da kateterne er ens, er hypotenuserne også ens i følge Pythagoras læresætning.

  4. Trekanterne AEH og BEF er retvinklede og har samme kateter. Dermed er de kongruente, dvs. de hart samme sider og vinkler.

    Dermed er u1 = v1 og u2 = v2. Der gælder desuden, at v2 + w + u1 = 180°, da de danner en ret linje omkring punktet E.

    v2 + w + u1 = 180° ⇒ u2 + w + u1 = 180° ⇒ w = 180° - (u1 + u2).

    Da u1 og u2 er de spidse vinkler i en retvinklet trekant, gælder: u1 + u2 + 90°= 180° ⇒ u1 + u2 = 90°. Dette indsættes i ligningen for w:

    w = 180° - (u1 + u2) = 180° - 90° ⇒ w = 90°

  5. x er afstanden fra A til E. Da E ligger på linjestykket AB, som er 10, må AE være mindre end 10 og større end nul, da det skal være positivt.

  6. Nedenstående graf for f(x) er tegnet i Geogebra.

  7. Man skal finde det x, der opfylder ligningen 2x2 - 20x + 100 = 68. Man får:

    2x2 - 20x + 100 = 68 ⇔

    2x2 - 20x + 32 = 0 ⇔

    x = 5 ± ¼·√[202 - 2·4·32] ⇔

    x = 5 ± ¼·√[144] ⇔

    x = 5 ± ¼·12 ⇔

    x = 5 ± 3 ⇔

    x = 2 ∨ x = 8

    Dvs. når arealet af det indre kvadrat er 68, kan x have værdierne 2 eller 8

  8. Ved at betragte kurven for arealet af den lille firkant ses den mindste værdi at findes for x = 5.

    For x = 5 er arealet af det lille kvadrat 50, som dermed er dets mindste areal.