Folkeskolens problemregning for 10. klasse, maj 2016 | Oversigt

Svar på opgave 1: Mads undersøger priser i et fitnesscenter

  1. Forskellen på oprettelse af medlemskab for voksne og for unge under 18 år er: (249 - 99) kr. = 150 kr.

  2. Han skal betale: 99 kr. + 6·165 kr. = 1089 kr.

  3. Formlen er 99 + n·165, hvor resultatet er i kr.

  4. Man skal undersøge hvilket medlemskab, der er billigst i længden og hvor længe det ene medlemskab evt. er billige end det andet, hvis det ikke altid er billigere.

    Man kan prøve sig frem en måned ad gangen, men man kan også opstille en formel for hvert medlemskab i stil med formlen fra forrige spørgsmål.

    For familliemedlemskab får man formlen: 399 + n·599, hvor n er antallet af måneder, som man har haft medlemskabet i og den samlede enhed er kr.

    For enkeltmedlemskaber (en ung og to voksne) får man formlen for den samlede pris til: 99 + n·165 + 2·(249 + n·169) = 597 + n·503.

    Af de to formler ses, at enkelt-medlemskabet er dyrest at oprette, men at det er billigere pr. måned. Dvs. at familiemedlemskab vil være billigst i nogle måneder, hvorefter at enkeltmedlemskaberne vil være billigst.

    For at regne ud, hvor længe familiemedlemskabet er billigst sætter man de to formler for prisen af medlemskaber lig med hinanden og løser den fremkomne ligning med hensyn til n (antal måneder). Dette giver:

    399 + n·599 = 597 + n·503 ⇔

    n·599 - n·503 = 597 - 399 ⇔

    n·96 = 198 ⇔

    n = 198/96 ⇔

    n = 2,0625

    Dvs. skillelinjen ligger efter 2 måneder. Dvs. familiemedlemskab er billigst de to første måneder, hvorefter enkeltperson-medlemskab er billigst.

    For en sikkerheds skyld kan man undersøge prisen for henholdsvis 2 og 3 måneder:

    Familiemedlemskab efter 2 måneder: 399 + 2·599 kr. = 1.597 kr.

    Enkeltpersonsmedlemskab efter 2 måneder: 597 + 2·503 kr. = 1.603 kr.

    Familiemedlemskab efter 3 måneder: 399 + 3·599 kr. = 2.196 kr.

    Enkeltpersonsmedlemskab efter 3 måneder: 597 + 3·503 kr. = 2.106 kr.

Svar på opgave 2: Helene undersøger tal fra en skydeprøve

  1. Man lægger tallene (forskellig fra 0) sammen i kolonnen med overskriften Antal tilmeldte, der ikke deltog i prøven

    Dette giver: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

  2. Beståelsesprocenten beregnes som [(antal beståede)/(antal tilmeldte)]·100 %. For Hjallerup Jagtcenter er antal beståede = 7 og antal tilmeldte = 11. Dette er vist nedenunder:

    Dette giver: (7/11)·100 % = 63,6 %

  3. Man har som før: beståelsesprocent = [(antal beståede)/(antal tilmeldte)]·100 %.

    Antal tilmeldte = 109 og beståelsesprocenten er 73,8 %. Man kalder for nemheds skyl antal beståede for x og får ligningen:

    73,8 % = (x/109)·100 % ⇔

    (73,8 %)/(100 %) = x/109 ⇔

    (73,8/100)·109 = x ⇔

    x = 80,44

    Dvs. der skulle have været 80 personer, som bestod prøven, for at beståelsesprocenten havde være det den samme (eller så tæt man kan komme, når antal personer skal være et helt tal) i Flejsborg Skydecenter som i Sydthy Flugtskydningscenter.

  4. Helene har fat i den rigtige formel, mens hendes far bruger en forkert. (Bortset fra det har de begge regnet rigtigt).

    Man skal tage det samlede antal personer, der er tilmeldt til prøven og dividere med det samlede antal, der bestod. Dette skal så ganges med 100 % for at få det som procenttal. Tallene man skal bruge er vist nedenunder:

    Helenes beregning giver beståelsesprocenten: (301/522)·100 % = 57,7 %, der er den rigtige.

    Faderens regnestykke er: (63,6 + 73,3 + 62,8 + 65,0 + 63,3 + 73,8 + 52,1 + 59,0 + 51,2 + 47,7)/10 = 61,18

    Fejlen for Helenes far er ikke selve beregning, men at skytteklubberne ikke har lige mange medlemmer, og man defor ikke kan lægge deres procenttal sammen.


Svar på opgave 3: Allan cykler på bane

  1. Omkredsen af banen (den blå linje) = 2·46,00 m + 2·π·25,15 m = 250,02 m

  2. Det svarer til (4000 m)/(250 m) = 16 omgange

  3. Man skal bruge formlen: tid gange gennemsnitsfart = tilbagelagt vej. Man har her, at:

    Tid = x, gennemsnitsfart = 11 m/s og tilbagelagt vej = 4.000 m.

    Det giver ligningen: x·(11 m/s) = 4000 m ⇔

    x = (4.000 m)/(11 m/s) ⇔

    x = 363,6 s

    Dette regnes om til minutter: 363,6 s = 363,6·((1/60) min.) = 6,06 min. De 0,06 min. regnes om til sekunder: 0,06 min. = 0,06·(60 s) = 3,6 s ≈ 4 s.

    Dvs. Allan vil være 6 min. 4 s om at køre de 4000 m.

  4. I følge formlen får man t = [125/(11 + 10,5)] s = (125/0,5) s = 250 s

  5. Allan har kørt i 250 sekunder med en gennemsnitsfart af 11 m/s. Dermed er den tilbagelagte vej: (250 s)·(11 m/s) = 2750 m

  6. Der gælder som ovenfor at tid gange gennemsnitsfart = tilbagelagt vej. Man skal huske, at det er Allans tid, gennemsnitsfart og tilbagelagt vej, der er tale om.

    Man kender tiden i minutter og sekunder og skal regne den om til sekunder: 5 min. 12 s = 5·(60 s) + 12 s = 312 s.

    Allans distance er lig med Bos distance plus en halv baneomgang, dvs. Allans distance er 3455 m + 125 m = 3580 m.

    Dette giver følgende ligning med hensyn til Allans gennemsnitshastighed, som kaldes x:

    (312 s)·x = 3580 m ⇔

    x = (3580 m)/(312 s) ⇔

    x = 11,47 m/s

    Dvs. Allans gennemsnitsfart er 11,5 m/s

Svar på opgave 4: Rasmus og Sonja spiller et terningspil

  1. De mulige udfald af øjne er (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

  2. Der er een mulighed ud af 36 for at få to enere, dvs. sandsynligheden er 1/36 eller 2,8 %

  3. Nedenfor er vist en tabel over øjenkombinationer og deres sum for de to terninger. Farverne svarer til felterne på spillefladen.

    Det ses, at der er 6 gule felter, 12 røde, 11 orange og 7 blå.

    Dvs. sandsynligheden for at få en sum på det gule felt af spillepladen er 6/36 = 1/6 = 16,7%, sandsynlighden for at få en sum på det røde felt er 12/36 = 1/3 = 33,3 %, sandsynligheden for at få en sum, der ligger på det orange felt er 11/36 = 30,6 % og sandsynligheden for at få en sum af øjne, der ligger på det blå felt er 7/36 = 19,4 %.

    Dermed har Rasmus ikke ret. Sandsynligheden for at vinde er størst, hvis man sætter sin brik på det røde felt.

Svar på opgave 5: Rasmus tegner en mandorla

  1. Nedenstående tegning er lavet i Geogebra.

  2. Nedenfor er cirklerne med firkanten vist.

    Afstanden |C1A| = |C1B| = radius af venstre cirkel, fordi A og B ligger på venstre cirkels periferi. Tilsvarende er |C2A| = |C2B| = radius af højre cirkel. Da de to cirkler er ens er alle sider i firkanten lige lange.

  3. Nedenunder er en tegning, hvor de to centre er forbundet.

    Det ses at ΔAC1C2 og ΔBC1C2 er ligesidede, da alle sider er lig med radius, idet de to centre ligger på cirkelperiferien af den anden cirkel. Dermed er alle vikler i trekanten 60°. Da vinkel C1 og vinkel C2 består af to vinkler på 60° er de i alt på 120° hver.

  4. Hver af mandorlaens sider er en sjettedel af omkredsen af en cirkel med radius 10 eftersom 60° er en sjettedel af 360°, der svarer til en hel cirkel. En cirkel med radius 10 har omkredsen 2·10·π, dvs. hver side i madorlaen har længden (1/6)·2·π·10 = (20/3)·π.

    Dermed er omkredsen af mandoelaen 2·(20/3)·π = (40/3)·π = 41,9

  5. Arealet af mandorlaen er [(4π - 3√3)/6]·102 = 122,8

  6. Man kalder krydsningspunktet for diagonalerne for D. Det ses at |DC2| = 0,5·|C1C2| = 0,5·radius = 0,5·10 = 5. Desuden ses, at ΔAC2D er en retvinklet trekant.

    Den længste diagonal = 2·|AD|, hvor |AD| kan findes ved hjælp af Pythagoras læresætning. Man får:

    |AD|2 + |C2D|2 = |AC2|2

    |AD|2 + (0,5·radius)2 = (radius)2

    |AD|2 + 52 = 102

    |AD|2 = 102 - 52

    |AD|2 = 100 - 25 ⇔

    |AD|2 = 75 ⇔

    |AD| = √75

    Dermed er den længste diagonal lig med 2·√75 = 17,32

  7. Man har som ovenfor:

    |AD|2 + ((1/2)·r)2 = r2

    |AD|2 = r2 - (1/4)·r2

    |AD|2 = (3/4)·r2

    |AD| = √[3/4]·r = (√[3]/2)·r

    Den længste diagonal er 2·|AD| = 2·(√[3]/2)·r = r·√3, hvilket skulle vises.

Svar på opgave 6: Sonja tegner sekskanter

  1. Sekskanten kan inddeles i to rektangler eller rettere et rektangel (A) og et kvadrat (B). Dette er vist nedenunder:

    Kvadratet har siden 3. Dermed er arealet af skeskanten 7·2 + 3·3 = 14 + 9 = 23

  2. Sekskanten kan inddeles som ovenfor i et rektangel (A) og et kvadrat (B). Dette er vist nedenunder:

    Kvadratet har siden √5. Dermed er arealet af sekskanten (4·√5)·(2·√5) + (√5)·(√5) = 8·5 + 5 = 45

  3. Sekskanten kan inddeles i to rektangler: A og B. A's sider er a og d, mens B's sider er (b-d) og c. Dette er vist nedenunder:

    Dermed er arealet af sekskanten: a·d + (b-d)·c = a·d + b·c - c·d.

    Man skal nu undersøge, hvilke af de viste udtryk som ikke kan omskrives eller reduceres til denne formel:

    1. c·(b-d) + a·d = a·d + b·c - c·d (rigtigt)

    2. a·b - (a - c)·(b - d) = a·b - a·b + a·d + b·c - c·d = a·d + b·c - c·d (rigtigt)

    3. a·b - c·(b - d) = a·b - b·c + c·d (forkert)

    4. d·(a - c) + b·c = a·d + b·c - c·d (rigtigt)

    Formel 3 ses at give noget andet end det rigtige, så det er den, som ikke stemmer.

  4. Man omskriver på følgende måde:

    d·(a - c) + c·(b - d) + c·d = (parenteserne ganges ud)

    d·a - d·c + c·b - c·d + c·d = (leddene reduceres)

    a·d - c·d + b·c (man ændrer faktorernes orden)

    Dermed har man det samme som i (2).