Folkeskolens problemregning for 10. klasse, december 2015 | Oversigt

1. Olivers økonomi.

Oliver er i lære som tømrer. Hans månedsløn er afhængig af, hvor mange timer han arbejder. Olivers timeløn er 75,35 kr. I oktober arbejdede han 160 timer.

  1. Hvor stor var Olivers månedsløn i oktober?

  2. I november måned var Olivers månedsløn 12.432,75 kr.

  3. Hvor mange timer arbejdede Oliver i november?

  4. Oliver får ikke udbetalt hele sin månedsløn, fordi han skal betale skat og arbejdsmarkedsbidrag. Du kan beregne Olivers udbetalte løn med formlen i den gule boks herunder.

    Udbetalt løn = månedsløn · 0,92 - (månedsløn · 0,92 - 4.673) · 0,38
  5. Hvor stor bliver Olivers udbetalte løn, hvis hans månedsløn er 12.432,75 kr.?

  6. Rentefoden på et lån er den procentdel af lånet, der skal betales i rente.

    Ydelsen er det beløb, der skal betales i rente og afdrag.

    Primo saldo er det beløb, der mangler at blive betalt ved månedens begyndelse.

    Ultimo saldo er det beløb, der mangler at blive betalt ved månedens slutning.

    Oliver vil gerne købe en bil til 129 000 kr. Han har sparet 30 000 kr. op og kan låne resten af pengene i banken. Banken tilbyder et billån med en rentefod på 0,60 % pr. måned.

  7. Du skal vise med beregning, at renten på billånet den første måned er 594 kr.

  8. Oliver skal betale en ydelse på 2500 kr. pr. måned. Regnearket herunder viser oplysninger om lånets afvikling. Regnearket er også på filen BIL_DEC_2015.

    Lån: 90.000,00 kr.
    Rentefod: 0,6 % pr. måned
    Ydelse: 2.500,00 kr. pr. måned

  9. Hvor mange penge skal Oliver i alt betale i afdrag de fire første måneder?

  10. Hvor meget skal Oliver i alt betale i rente i hele låneperioden?

  11. Oliver vælger at låne pengene og han køber bilen. Den blå boks herunder viser, hvilke faste udgifter Oliver har til bilen.

    Faste udgifter

    Grøn ejerafgift:  890 kr. pr. halvår

    Forsikring:   4000 kr. pr. halvår

    Serviceaftale med bilforhandleren:  350 kr. pr. måned

    Ydelse på lån:  2500 kr. pr. måned

  12. Du skal vise med beregning, at Olivers faste udgifter til bilen er 3.665 kr. i gennemsnit pr. måned.

  13. Du kan beregne Olivers samlede anslåede udgifter til bilen det første år med den matematiske model i den gule boks herunder.

    y = 0,6x + 43.980

    y er de samlede anslåede udgifter i kr. til bilen det første år.

    x er antallet af kørte kilometer det første år

  14. Beregn Olivers samlede anslåede udgifter det første år, hvis han kører 20 000 km.

  15. Den bil, Oliver har købt, kører 18 km på en liter benzin. Oliver regner med en benzinpris på 10,80 kr. pr. liter.

  16. Du skal vise med beregning, hvordan værdierne 0,6 og 43.980 i den matematiske model kan være fremkommet.

Svar på opgave 1: Olivers økonomi.

  1. Olivers månedsløn i oktober er: 75,35 kr./time · 160 timer = 12.056 kr.

  2. Olivers arbejdstid i november er: 12.432,75 kr. : (75,35 kr./time) = 165 timer

  3. Udbetalt løn = 12.432,75 kr. · 0,92 - (12.432,75 kr. · 0,92 - 4.673) · 0,38 = 8.867,38 kr.

  4. Den første rente er 99.000 kr. · 0,006 = 594 kr.

  5. Olivers afdrag de første fire måneder er : 1906 kr. + 1917,44 kr. + 1928,94 kr. + 1940,51 kr. = 7692,89 kr.

  6. Renten er lig med samlet ydelse minus lån, idet ydelse dækker lån plus renter. Det bemærkes, at den sidste ydelse er forskellig fra de andre. Samlet ydelse: 45·2500 kr. + 875,44 kr. = 113.375,44 kr.

    Rente: 113.375,44 kr. - 99.000,00 kr. = 14.375,44 kr.

  7. Alle udgifter omregnes til månedlige udgifter, dvs. de to første udgifter skal deles med 6. Det giver: (890 : 6) kr. pr. måned + (4000 : 6) kr. pr. måned + 350 kr. pr. måned + 2500 kr. pr. måned = 3665 kr. pr. måned

  8. De samlede anslåede udgifter til bilen det første år = 0,6 · 20.000 + 43.980 kr = 55.980 kr.

  9. 43.980 kr. er de samlede årlige faste udgifter til bilen = 12 måneder · 3665 kr. pr. måned.

    0,6 kommer af udgiften til benzin pr. kørt kilometer: Bilen kører 18 km pr. liter benzin og benzinpriser 10,80 kr. pr. liter. Det giver udgiften pr. kilometer: (10,80 kr. / liter) : (18 km / liter) = 0,60 kr. / kilometer.

2. Hvor mange arbejder som tømrere?

Oliver interesserer sig for, hvor mange der arbejder som tømrere. På Danmarks Statistiks hjemmeside har Oliver fundet tal, som viser, hvor mange tømrere, der arbejder med "Nybyggeri og tilbygning" og "Reparation og vedligeholdelse" i perioden 2013 til 2014. Tabellen herunder er også på filen STATISTIK_DEC_2015.

  1. Hvilket kvartal var der størst forskel på antallet af tømrere, der arbejdede med "Nybyggeri og tilbygning" og med "Reparation og vedligeholdelse"?

  2. De to diagrammer herunder viser begge udviklingen i antallet af tømrere, der arbejder med "Reparation og vedligeholdelse".

  3. Forklar hvorfor kurverne ser forskellige ud, selvom de viser den samme udvikling.

  4. Fremstil et diagram, der viser udviklingen i antal tømrere, som arbejdede med "Nybyggeri og tilbygning" fra 1. kvartal 2013 til 1. kvartal 2014.

  5. Beskriv i en kort tekst udviklingen i det samlede antal tømrere i perioden 1. kvartal 2013 frem til 1. kvartal 2014. I din tekst skal du bruge ordene stigning, fald og procent.

Svar på opgave 2: Hvor mange arbejder som tømrere?

  1. Man laver en ekstra kolonne til tabellen, hvor man finder forkellen på de to kolloner med tal ved hjælp af kommandoen "=C2-B2", som kopieres nedad. I den nye kolonne finder man det største tal 7228 i første kvartal 2014

  2. Værdiakserne skærer ikke første-aksen i samme værdi. Den ene skærer i 0, den anden i 13.500.


  3. Antallet af tømrere, der arbejder med nybyggeri og tilbygning stiger i perioden 1 kvartal 2013 til 4. kvartal 2013. Herefter er der et 20 % fald 1. kvartal 2014 og en stigning i det følgende kvartal hvorefter antallet ligger næsten konstant.

    Antallet af tømrere, der arbejder med reparationer og vedligeholdelse stiger i perioden 1 kvartal 2013 til 4. kvartal 2013. Herefter er der et mindre fald 1. kvartal 2014 og en skiftevis stigning og fald i de følgende kvartaler med en overordnet stigning.

3. Oliver og Albert bygger trapper.

Oliver skal bygge en trappe, der er vist på skitsen nedenunder. På skitsen er alle mål i millimeter. I den gule boks til højre for skitsen kan du læse, hvilke krav, der skal være opfyldt, hvis en trappe skal være god for voksne at gå på.

En god trappe

  1. Hvert trappetrins grund, G, skal være større end 21 cm

  2. Hvert trappetrins stigning, S, skal være mellem 15 cm og 18 cm

  3. 2·S + G skal være mellem 61 cm og 63 cm

  4. Trappens hældning skal være mellem 30° og 45°.

  1. Hvor mange centimeter skal hvert trappetrins stigning, S, være på den trappe, som Oliver skal bygge?

  2. Undersøg med tegning eller beregning, om trappens hældning, v, opfylder punkt 4 i den gule boks.

  3. Oliver skal bygge en anden trappe, hvor hvert trappetrins stigning, S, skal være 17 cm, og hvor 2·S + G skal være 61 cm.

  4. Hvor stor skal trappetrinets grund, G, være på denne trappe?

  5. Olivers kammerat, Albert, skal bygge en trappe med 8 trin, der opfylder kravene for en god trappe i den gule boks. Trappens højde skal være 136 cm.

  6. Du skal tegne en skitse til en trappe, som Albert skal bygge, så den opfylder kravene til en god trappe. Skitsen skal indeholde mål på hvert trappetrins grund

Svar på opgave 3: Oliver og Albert bygger trapper

  1. Trappens samlede højde er 900 mm og der er 5 trin. Hver trin har højden: 900 mm/5 = 180 mm = 18 cm

  2. Tegningen er lavet i Geogebra (facítlisten har også en retvinklet trekant tegnet i Geogebra). Vinklen ses at være 34,19°, hvilket opfylder kravet.

  3. Man har at S = 17 cm og 2·S + G = 61 cm. Man finder G ved at sige: 2·17 cm + G = 61 cm ⇒ G = 61 cm - 34 cm = 27 cm

  4. Trappens højde er 136 cm og den har 8 trin, derfor er S = 136 cm/8 = 17 cm. I følge formel 3 fra den gule boks skal der gælde, at 2·17 cm + G ligger mellem 61 cm og 63 cm. Her vælges 61 cm (som i facitlisten) og man får: 2·17 cm + G = 61 cm ⇒ G = 27 cm. Trappenslængde er derfor: 8·27 cm = 216 cm. Vinklen på trappen bliver 32,14° som vist på tegningen.

4. Oliver bygger en terrasse.

Oliver skal bygge et terrassegulv, der er vist på skitsen nedenunder (set ovenfra uden gulvbrædder).

Terrassegulvet skal have form som et rektangel og være 7,1 m bredt og 4,2 m langt.

  1. Hvor stort bliver arealet af terrassegulvet?
  2. Før Oliver lægger terrassegulvet skal han lægge tværbjælker fra en husmur til ydersiden på terrassen som vist på skitsen ovenfor. Tværbjælkerne har en tykkelse på 5 cm. Afstanden mellem tværbjælkerne skal være mellem 40 cm og 60 cm, og afstanden skal være den samme mellem alle tværbjælker.

  3. Undersøg med tegning eller beregning, hvor mange tværbjælker Oliver skal bruge.
  4. Terrassen skal bygges vinkelret på en husmur. Derfor bygger Oliver en trekant med sidelængderne 1,5 m, 2,0 m og 2,5 m, som han bruger til at måle, om vinklen ved terrassens ene hjørne er ret.

  5. Vis med beregning eller tegning i et geometriprogram, at trekanten med sidelængderne 1,5 m, 2,0 m og 2,5 m er retvinklet.
  6. For at kontrollere om terrassegulvet er et rektangel, måler Oliver, om terassegulvet har sidelængderne 7,1 m og 4,2 m, og om de to diagonaler har samme længde.

  7. Forklar hvordan Oliver kan være sikker på, at terrassegulvet har form som en rektangel, når diagonalerne er lige lange, de to længste modstående sider begge er 7,1 m, og de korteste modstående sider begge er 4,2 m.

Svar på opgave 4: Oliver bygger en terrasse

  1. Arealet af terrassegulvet er 4,2 m · 7,1 m = 29,82 m2

  2. Da afstanden mellem tværbjælkerne kan variere, er der flere muligheder. Her vælges afstand = 50 cm. Antallet af tværbjælker sættes til x. Der gælder, at den samlede bredde af tværbjælker er x·5 cm. Det samlede mellemrum mellem tværbjælkerne er (x - 1)·afstanden. Dette skyldes, at der er et mellemrum mindre end, der er tværbjælker, når man gør som på tegningen.

    Man får ligningen: 7,1 m = x·5 cm + (x - 1)·50 cm ⇒ 710 cm = x·5 cm + x·50 cm - 50 cm ⇒ 710 cm + 50 cm = x·55 cm ⇒ x = 760 cm/55 cm = 13,8 stk. = 14 tværbjælker

    (Facitlisten: Et hvilket som helst af tallene 12, 13, 14, 15 og 16 accepteres som rigtigt svar.)

  3. Det kan eftervises ved hjælp af Pythagoras' læresætning: For kateterne får man: 1,52 + 2,02 = 2,25 + 4,0 = 6,25. For hypotenusen får man: 2,52 = 6,25. Man får at Pythagoras' læresætning er opfyldt og dermed er trekanten retvinklet.

    Løsning i Geogebra:

  4. Et rektangel er en firkant, hvor modstående sider er lige lange og hvor alle vinkler er 90°. Man ved at, de modstående sider og diagonalerne er lige lange og skal vise, at alle vinkler i firkanten er 90°. Det vises ud fra tegningen:

    Trekanterne ABC, BCD, CDA og DAC har alle ens sider og er dermed kongruente (ens). Dermed er firkantens hjørnevinkler også ens, og da de tilsammen skal give 360°, må de hver især være 90°. Hvilket beviser, at firkanten er et rektangel.

    Et mere simpelt svar: Et rektangel er en firkant, hvor modstående sider er lige lange, og hvor diagonalerne også er lige lange. Da dette er opfyldt for denne firkant, er den et rektangel.

    (Facitlisten: "Når diagonalerne er lige lange, vil der opstå to retvinklede trekanter, som har vinkler på 90°. Siderne er to og to lige lange, derfor må terrassen være et rektangel.")

5. Talkryds

På figur 1. er et 5-talskryds. Et 5-talskryds opfylder følgende krav:

  1. Det ligner et kryds og har 5 felter, der er udfyldt med de første 5 naturlige tal.
  2. Summen af tallene i den lodrette række er lig med summen af tallene i den vandrette række.
Tallet i det gule felt kaldes midtertallet.
  1. Tegn og udfyld et 5-talskryds med midtertallet 3, der opfylder ovenstående krav.

  2. Udersøg, hvilke midtertal et 5-talskryds kan have.

  3. På figur 2 er vist begyndelsen på et 9-talskryds med midtertallet 5.

  4. Forklar, hvorfor summen af tallene i den lodrette række og summen af tallene i den vandrette række altid bliver 25, når man udfylder et 9-talskryds med midtertallet 5.

  5. I det følgende skal du arbejde med et n-talskryds med midtertallet m som vist på figur 3.

  6. Skriv et regneudtryk med n, som du kan bruge til at beregne, hvor mange tal der er i den vandrette række i et n-talskryds.

  7. Summen af tallene i den vandrette række i et n-talskryds med midtertallet m, kan beregne med formlen i den gule boks herunder.

  8. Beregn summen af tallene i den vandrette række i et 97-talskryds, når midtertallet er 45.

Svar på opgave 5: Talkryds

  1. Eksempel på løsning:

  2. Midtertallet kan være 1, 3 eller 5. De lige tal 2 eller 4 kan ikke lade sig gøre.

    Lad f.eks. 2 være midtertallet og anbring 4 i den vandrette række. Da vil summen af den lodrette række være lige (ulige + 2 + ulige), mens summen af den vandrette række vil være ulige (4 + 2 + ulige). De to rækker har derfor ikke samme sum.

  3. Man ved at summen i den vandrette række er halvdelen af summen af alle tallene plus midtertallet, der tælles dobbelt. Lægger man tallene fra 1 til 9 sammen og dertil 5 får man 50. Summen af tallene i den vandrette række er derfor 50:2 = 25

  4. Antal tal i den vandrette række er (n + 1)/2.

    Der er n tal og midtertallet tælles både med vandret og lodret. Dette giver n + 1 tal, når man lægger antal vandrette og antal lodrette tal sammen. Antallet i en række er halvdelen af dette.

  5. Summen er [97·(97 + 1) + 2·45]/4 = 2.399