Folkeskolens problemregning for 10. klasse, maj 2015 | Oversigt

1. Kan Charlotte få råd til at bo i lejlighed?

    Charlotte vil uddanne sig til sygeplejerske. Hun overvejer, om hun har råd til at bo alene i en lejlighed, mens hun uddanner sig til sygeplejerske. Hun kan leje en lille lejlighed, der hver måned koster 1939 kr. i husleje og 265 kr. i varme.

  1. Hvor mange penge skal Charlotte i alt betale hver måned for husleje og varme?

  2. Den blå boks herunder viser nogle af de andre udgifter, Charlotte forventer at få, uddanner sig og bor i lejlighed.

    El: 400 kr. pr. måned
    Telefon og internet: 198 kr. pr. måned
    Licens: 1218 kr. pr. halvår
    Bøger: 4000 kr. pr. år
    Forsikringer: 1800 kr. pr. år
  3. Hvor mange penge skal Charlotte bruge i gennemsnit pr. måned til de udgifter, der er vist i den blå boks?

  4. Mens Charlotte uddanner sig til sygeplejerske, vil hun hver måned få 5839 kr. i uddannelsesstøtte fra staten. Uddannelsesstøtten kaldes også for SU. Charlotte får ikke udbetalt hele beløbet, da hun skal betale 37% i skat af den del af SU'en, som overstiger 3816 kr.

  5. Hvor mange penge får Charlotte udbetalt om måneden efter at hun har betalt skat?

  6. Charlotte har mulighed for at tjene penge, mens hun uddanner sig ved at arbejde på et plejehjem. Hun skal betale 8% i arbejdsmarkedsbidrag af de penge, hun tjener. Desuden skal hun betale 37% i skat af det beløb, der er tilbage, når hun har betalt arbejdsmarkedsbidrag. Resten af pengene får hun udbetalt.

  7. Hvor mange penge får Charlotte udbetalt, hvis hun tjener 3000 kr.?

  8. Charlotte har regnet ud, at hun skal have udbetalt ca. 1500 kr. hver måned fra sit arbejde på plejehjemmet for at få råd til at bo i lejligheden.

  9. Hvor mange penge skal Charlotte tjene hver måned for at få udbetalt ca. 1500 kr.?

Svar på opgave 1: Kan Charlotte få råd til at bo i lejlighed?

  1. Hun skal betale: 1939 kr. + 265 kr. = 2204 kr.

  2. Hun skal i gennemsnit betale: 400 kr. + 198 kr. + (1218/6) kr. + (4000/12) kr. + (1800/12) kr. = 1284,33 kr.

  3. Hun får udbetalt: 3816 kr. + (5839 - 3816)·(100% - 37%) kr. = 3816 kr. + 1274.49 kr. = 5090,49 kr.

  4. Hun får udbetalt: 3000·(100% - 8%)·(100% - 37%) kr. = 3000·0,92·0,63 kr. = 1738,80 kr.

    Forklaring: Hun har 3000 kr. og betaler 8% af dette beløb i arbejdsmarkedsbidrag. Tilbage er 3000·(100% - 8%) = 3000·0,92 = 2760 kr.

    Af de 2760 kr. betaler hun 37% i skat. Tilbage er 2760 kr.·(100% - 37%) = 1738,80 kr. De to beregninger kan samles til én som vist.

  5. Det beløb, som hun skal tjene kaldes x. Man bruger formlen fra opgave 4 og får at:

    x·0,92·0,63 = 1500 kr. ⇒ x = 1500/(0,92·0,37) kr. = 2588 kr. Dvs. hun skal tjene ca. 2588 kr.

2. Patienter med forbrændinger

    Mens Charlotte uddanner sig til sygeplejerske, modtager hun en patient, der er forbrændt. Patienten skal derfor have tilført væske gennem et drop. Charlotte bruger Parklands formel i den gule boks til at beregne det antal milliliter væske, patienten skal have tilført gennem drop i løbet af de første 24 timer efter forbrændingen.

    Patienten vejer 63 kg., og 25% af kroppens overfladeareal er forbrændt.

  1. Du skal vise med beregning, at patienten skal have tilført 6300 mL væske i løbet af de første 24 timer.

  2. Charlotte skal indstille patientens drop, så patienten får 3150 mL væske i løbet af de første 8 timer efter forbrændingen.

    Parklands formel
    V = 4·m·A·100
    V: antal mL væske
    m: antal kg., som patienten vejer
    A: den procentdel af kroppens overfladeareal, der er forbrændt
  3. Hvor mange mange milliliter væske skal patienten have pr. minut i løbet af de første 8 timer?

  4. Charlotte modtager en anden patient, som vejer 85 kg. Patienten skal have 10 L væske i løbet af de første 24 timer efter forbrændingen.

  5. Hvor stor en procentdel af kroppens overfladeareal er forbrændt på denne patient?

  6. En tredje patient får 8 mL væske pr. minut gennem drop.

  7. Hvor mange milliliter væske får den tredje patient gennem drop pr. time?

  8. Hvor mange timer og minutter vil der gå, før den tredje patient har fået 1000 mL væske gennem drop?

  9. Du skal finde frem til en funktionsforskrift, der beskriver sammenhængen mellem tiden i minutter og det antal milliliter væske, den tredje patient har fået gennem drop.

Svar på opgave 2: Patienter med forbrændinger

  1. Man skal finde V i Parklands formel. V = 4·m·A·100 mL = 4·63·0,25·100 mL = 6300 mL

  2. Patienten får: 3150 mL/(8 timer) = 3150 mL/(8·60 min.) = 3150/480 mL/minut = 6,56 mL/min.

  3. Man skal fidne A i Parklands formel. 10 L = 10.000 mL. Formlen siger: 10.000 = 4·85·A·100 ⇒ A = 10.000/(4·85·100) = 29,4 %

  4. Væske pr. tidsenhed: 8 mL/min. = 8 mL/(1/60 time) = 8·60 mL/time = 480 mL/time

  5. Tiden kaldes x. Man får: x·480 mL/time = 1.000 mL ⇒ x = 1.000 mL/(480 mL/time) ⇒ x = 1000/480 timer ⇒ x = 2 1/12 time = 2 timer og 5 min.

  6. y = antal mL væske. x = antal minutter som væsken er blevet tilført i. Da den tredje patient får 8 mL væke i minuttet, giver det forskriften: y = 8·x

3. Antal personer indlagt på hospitaler i Danmark

    Charlotte læser om, hvor mange personer der bliver indlagt på danske hospitaler. Tabellen herunder viser, hvor mange patienter, der var indlagt i 2013. Antallet af personer er fordelt efter køn og på aldersgrupper. Tabellen er også på regnearksfilen HOSPITAL_MAJ_2015.

    AldersgrupperAntal drenge og mændAntal piger og kvinder
    [0;1[28 10626 771
    [1;10[27 51321 155
    [10;20[17 31619 192
    [20;30[18 66345 334
    [30;40[19 07256 915
    [40;50[29 08036 921
    [50;60[37 91937 525
    [60;70[52 55147 316
    [70;80[47 28646 509
    [80;110[33 44849 680

  1. Hvor mange piger og kvinder var i alt indlagt i 2013?

  2. Du skal tegne et diagram, der viser hvor mange piger og kvinder i de forskellige aldersgrupper, der var indlagt i 2013.

  3. I Danmark var der i 2013 i alt 86 570 mænd og 147 749 kvinder i adersgruppen 80 til 110 år. Charlotte påstår, at det i 2013 var mere sandsynligt, at en tilfældig mand i aldergruppen 80 til 110 år blev indlagt end en tilfældig kvinde i samme aldersgruppe.

  4. Har Charlotte ret i sin påstand? Du skal begrunde dit svar.

  5. De røde søjler i diagrammet herunder viser, hvor mange personer, der var indlagt på danske hospitaler i hvert af årene fra 2006 til 2013. De blå søjler viser det samlede antal sengedage i årene 2006 til 2013.

    Sengedage er er antallet af af døgn en person har været indlagt i løbet af et år. Det samlede antal sengedage er antallet af sengedage for alle personer, der har være indlagt i løbet af et år.
  6. Du skal vise med en beregning, at hver person der var indlagt i 2013 i gennemsnit var indlagt i ca. 6 dage.

  7. Du skal beskrive, hvordan det gennemsnitlige antal sengedage pr. person der var indlagt har udviklet sig i perioden 2006 til 2013. Der skal indgå beregninger i din beskrivelse.

Svar på opgave 3: Antal personer indlagt på hospitaler i Danmark

  1. Summen er 26.771 + 21.155 + 19.192 + 45.334 + 56.915 + 36.921 + 37.525 + 47.316 + 46.509 + 49.680 = 387.3186

  2. Søjlediagram i Excel.

  3. Sandsynligheden er antal indlagte divideret med antal personer for aldersgruppen. For mænd mellem 80 og 110 bliver det: 33448/86570 = 0,386 og for kvinder i samme aldersgruppe: 49680/147749 = 0,336. Dette viser at Charlotte har ret.

  4. Antallet der er indlagt i gennemsnit er den røde søljes højde divideret med den bål søjles høje for hvert år. Man får for 2013 i mio.: 4,3/0,7 = 6,1

  5. Det gennemsnitlige antal sengedage er faldet fra ca. 5/0,7 = 7 i 2006 til ca. 6 i 2013.

4. Figurfølger

    Figur nr. 1, 2 og 3 herunder er de første tre figurer i en figurfølge.

    Antallet af sorte, hvide og skraverede felter i hver figur fortsætter i hele figurfølgen med at vokse på den måde som figur 1, 2 og 3 viser.

  1. Du skal tegne figur nr. 4 i følgen.

  2. Tabellen herunder viser, hvor mange sorte, hvide og skraverede felter, der skal være i de forskellige figurer i figurfølgen.

    Figur nr.12345n
    Antal sorte felter222222
    Antal hvide felter46810122·(n+1)
    Antal skraverede felter38152435n·(n+2)
    Antal felter i alt9162536
  3. hvor mange felter er der i alt i figur nr. 5?

  4. Hvor mange skraverede felter er der i figur nr. 100?

  5. Du skal beregne det samlede antal felter i figur nr. n ved hjælp af formlen i den gule boks herunder.
    Antal felter i alt = 2 + 2·(n + 1) + n·(n + 2)
  6. Du skal vise at formlen i den gule boks kan omskrives til: Antal fekter i alt = n2 + 4n + 4

  7. Charlotte påstår, at det samlede antal felter i figur nr. n også kan beregnes med formlen i den røde boks herunder.
    Antal felter i alt = (n + 1)2
  8. Har Charlotte ret i sin påstand? Du skal begrunde dit svar.

Svar på opgave 4: Figurfølger

  1. Tegning af figur 4.

  2. I figur nr. 5 er der 49 felter, da nederste række består af kvadrattal og 49 er det næste.

  3. Man sætter n = 10 i formeln for skraverede felter og får: 100·(100 + 2) = 100·102 = 10.200

  4. Man reducerer udtrykket ved at samele led med n2, led med n og led med tal alene. Man får: 2 + 2·(n + 1) + n·(n + 2) = 2 + 2n + 2 2 + 2n = n2 + 4n + 4

  5. Hun har ret idet: (n + 2)2 = (n + 2)·(n + 2) = n2 + 4n + 4

5. Diofantiske trekanter

    En diofantisk trekant er en trekant, hvis sidelængder kan skrives med hele tal.

    Figur 1. Eksempel på en diofantisk trekant.

    Herunder er der skitser af tre diofantiske trekanter, der alle har omkredsen 12.

  1. Forklar hvordan du kan vide at netop en af de diofantiske trekanter er retvinklet?

  2. Hvilken af de diofantiske trekanter har størst areal? Du skal begrunde dit svar.

  3. hvor lang kan den længste side i en diofantisk trekant med omkredsen 15 cm højst være? Du skal begrunde dit svar.

  4. Du skal undersøge, hvor mange diofantiske trekanter der er med omkredsen 15 cm, der findes, og skrive sidelængderne for hver af de forskellige diofantiskle trekanter emd omkredsen 15 cm.

  5. Charlotte påstår, at længden af den længste side i en diofantisk trekant højst kan være (p - 1)/2, hvor p er trekantens omkreds.

  6. Har Charlotte ret i sin påstand? Du skal begrunde dit svar.

Svar på opgave 5: Diofantiske trekanter

  1. Trekant med siderne 8 cm, 6 cm og 5 cm

  2. Trekant 2 er retvinklet fordi sidelængderne er en Pythagoræisk triplet. Det gælder ikke for de andre.

  3. Den ligesidede trekant har de største areal, fordi alle har samme omkreds og en ligesidet trekant er den trekant, som har det største areal i forhold til sin omkreds.

  4. Den kan højst være 7 cm, da summen af længderne af de mindste sider skal være større end længden af den største. Summen af de mindste skal mindst være 8 da alle længder er hele tal og den længste side kan da højst være 7 cm.

  5. Der er 7 muligheder. Stillet op med længste side først og aftagende størrelser derefter:

    7 - 7 - 1

    7 - 6 - 2

    7 - 5 - 3

    7 - 4 - 4

    6 - 6 - 3

    6 - 5 - 4

    5 - 5 - 4

  6. Kald den længste side i trekanten a og de to andre b og c. Det er givet at: a + b + c = p.

    Man skal vise at: a ≤ (p - 1)/2 (den længste side er højst lig med halvdelen af, det som man får, når man trækker 1 fra omkredsen).

    Der gælder for alle trekanter, at a < b + c, når a er den længste side

    Man går ud fra dette, lægger a til på begge sider af ulighedstegnet og får:

    a + a < a + b + c

    2a < p

    ...da 2a er et helt tal, må det være mindst 1 mindre end p...

    2a ≤ p - 1

    a ≤ (p - 1)/2

    Dette viser, at Charlotte har ret

    (Facitlisten siger at Charlotte tager fejl. Den prøver at finde et modeksempel: "hvis p er lige bliver (p - 1)/2 ikke et helt tal" Det er rigtigt, men er kun et modeksempel, hvis påstanden var, at den længste side = (p - 1)/2.)