Folkeskolens problemregning for 10. klasse, december 2014 | Oversigt

Svar på opgave 1: Huspriser

  1. Af kurven aflæses, at den højeste pris var i 2008. Aflæsningen er markeret med rød streg nedenunder.

  2. Gennemsnitsprisen pr. kvadratmeter for et hus den 1. januar 2014 var 12.500 kr. Dette er aflæset på figuren nedenunder.

    Dette giver, at den samlede pris for hus på 150 m2 er: (150 m2)·(12.500 kr./m2) = 1.875.000 kr.

  3. Man skal beregne prisen pr. kvadratmeter for et hus, der er på 150 m2 og koster 2.000.000 kr. Denne er

    (2.000.000 kr.)/(150 m2) = (2.000.000/150) kr./m2 = 13.333 kr./m2

  4. Kvadratmeterprisen toppede ved 14.500 kr./m2 i 2008 (facitlisten har 14.000 kr./m2). Det procentvise fald fra 2008 til 2014 er (2008-prisen skal i nævneren, fordi det er den, som man starter med):

    [(14.500 - 12.500)/14.500]·100 % = 13,8 % (11 % i følge facitlisten).

  5. Man aflæser kvadratmeterprisen for 2004 til 8.500 kr./m2. Kvadratmeterprisen for 2014 er stadig 12.500 kr./m2.

    Man antager, at der sker et årligt procentuelt stigning på 4 %. Man går ud fra en pris på 8.500 kr./m2. Der går 10 år fra 2004 til 2014. En stigning på 4 % om året svarer til en fremskrivnings­faktor på 1 + 4% = 1 + 0,04 = 1,04. (Dvs. man ganger sidste års tal med 1,04 for at få det nye års tal).

    Man skal nu bruge opsparings-formlen eller fremskrivnings-formlen og vise, at 8.500 på ti år vil stige til ca. 12.500:

    8.500·1,0410 = 12.582, hvilket passer med det som skulle vises.

Svar på opgave 2: Liggetider

  1. På tegningen nendenunder deler en rød stiplet linje de liggetider, der er under henholdsvis over 120 dage.

    Linjen viser, at 33,5 % + 22,8 % = 56,3 % af lejlighederne har en liggetid på 120 dage eller derunder.

  2. Helles påstand passer, idet mere end 50 % af liggetiderne i følge diagrammet har en liggetid på eller under 120 dage, og derfor må medianen, der svarer til de mindste 50 % af liggetiderne, også ligge på eller under 120 dage.

  3. Helles påstand passer ikke, idet den gennemsnitlige liggetid trækkes op af de lange liggetider i diagrammet.

    (Betragt evt. følgende tænkte diagrammer. I begge er fordelingen af liggetider den samme som før til og med 180 dage. Den røde stiplede linje skal her forestille medianen.

    I det første diagram har de sidste 28,7 % af lejlighederne en liggetid på mellem 180 og 240 dage. I det andet diagram har de sidte 28,7 % af ejerlejlighederne en liggetid på mellem 780 og 840 dage.

    Begge fordelinger har samme median, idet 50 % af liggetiderne er til venstre for den røde linje og 50 % er til højre. Gennemsnittet er derimod større i det andet diagram, da de 28,7 % længste liggetider er større her end i det første.)

Svar på opgave 3: Flyttepriser

  1. 10.000 kr. + 6·(1.249 kr.) = 17.494 kr.

  2. Forskriften er 1249·x + 10.000, hvor x er antal timer og resultatet er prisen i kr.

  3. Man skal finde det x i ovenstående forskrift, der givet et samlet beløb på 16.895 kr. Dette findes af ligningen:

    1.249·x + 10.000 = 16.895 ⇔

    1.249·x = 16.895 - 10.000 ⇔

    x = 6.895/1.249 ⇔

    x = 5,52042

    Dvs. det må højst tage 5 timer, hvis tilbud 1 skal være billigst

    (Kontrol af afrunding: 5 timer med tilbud 1 giver: 16.245 kr., mens 6 timer med tilbud 1 giver: 17.494 kr. Dvs. 5 timer giver at tilbud 1 billigst, mens 6 timer giver, at tilbud 2 er det.)

  4. Man opstiller skemaet i Excel. De formler, som er brugt, er vist med rødt:

    Man skal finde værdien af det tomme felt C3. Til dette formål kan man prøve sig frem eller bruge Målsøgning (der betyder, at Excel prøver sig frem).

    Målsøgning foretages på følgende måde:

    Den fremkomne dialogboks udfyldes ved at klikke på de viste celler:

    Man får resulatet 14,6, som er indrammet med rødt:

    Dvs. flytningen må højst tage 14,6 timer, hvis prisen skal være 16.000 kr. eller derunder. (Facitlisten kræver ikke et helt antal timer).

Svar på opgave 4: Højdemålinger i det gamle hus

  1. Fra 1.3 1998 til 1.1 1999 er der 10 måneder. Fra 1.1 1999 til 1.9 1999 er der 8 måneder. I alt: 18 måneder, der er lig med 1 år og 6 måneder

  2. Hun er vokset 170 cm - 85 cm = 85 cm på 2014 - 1999 = 15 år. I gennemsnit er hun vokset: (85 cm/15 år) = 5,7 cm/år

  3. Nedenfor er tregnet en graf i Excel for Helles højde som funktion af hendes alder.

  4. Mellem 1.1 2000 og 1.3 2001 vokser Helle 12 cm, det er 12 på 14 måneder. Dette er hendes hurtigste vækst og den er på (12 cm)/(14 mdr.) = 0,86 cm/mdr.

    (Facitlisten får tidsrummet til 15 måneder i stedet for 14.)

Svar på opgave 5: Helles nye værelse

  1. Arealet af gulvet er (5,5 m)·(4,3 m) = 5,5·4,3 m2 = 23,7 m2

  2. Højden måles til 3,9 cm på tegningen.

    Det svarer til, at værelset er 3,9 m højt.

  3. På tegningen kan man måle loftets bredde i 1,5 cm højde til 4,99 cm ≈ 5,0 cm.

    Denne bredde tegnes ind på tegningen over værelset set fra oven. Nedenunder er boligarealet vist med rødt.

    Dets størrelse er i virkeligheden (5,0 m)·(4,3 m) = 21,5 m2

  4. Da tegningen er en skitse, kan man ikke måle på den. I stedet for ser man, at der indgår en retvinklet trekant ABC, hvor vinklen A er 70° og dens modstående side er 2,0 m. Stigen er siden AB i trekanten, som er hypotenusen.

    Der gælder, at |AB|·sin(70°) = 2,0 m ⇔

    |AB| = (2,0 m)/sin(70°) ⇔

    |AB| = 2,0/0,9397 m ⇔

    |AB| = 2,128 m

    Dvs. stigens længde = |AB| = 2,13 m

Svar på opgave 6: En ligebenet trapez

  1. Nedenstående tegning er lavet i Geogebra.

  2. På ndenstående tegning er vinklerne i de to trekanter vist med rødt. Man ved at begge trekanter indeholder vinklen 63,6°. Dernsæt ved man, at de to vinkler kaldet v er ens, fordi de er topvinkler dvs. hinandens modstående vinkler i et kryds mellem to rette linjer. De sidste vinkler kalde u er ens på grund af reglen om, at summen af vinklerne i en trekant er lig med 180°. Dvs. u = 180° - 63,6° - v.

    Dermed er trekant ABE og trekant CDE ensvinklede.

  3. Man skal finde |DE| på nedenstående figur (en Geogebra-tegning, der er mere præcis end den i opgaven):

    Da ΔABE og ΔCDE er ensvinklede gælder, at ensliggende sider (sider omgivet af de samme to vinkler) i de to trekanter er proportionale (længden af to sider divideret med hinanden giver samme tal eller forhold for alle par af ensliggende sider).

    Da siderne AB og CD er ensliggende kan man bruge dem til at finde forholdet mellem ensliggende sider eller skaleringsfaktoren mellem de to trekanter. Man får, at skaleringsfaktoren er |AB|/|CD| = 12/4 = 3.

    Man ved, at |BD| = |DE| + |BE| = 18 ⇒ |DE| = 18 - |BE|. Desuden ved man, at |BE|/|DE| = 3 ⇒ |BE| = 3·|DE|. Man får:

    |DE| = 18 - |BE| ⇒

    |DE| = 18 - 3·|DE| ⇔

    |DE| + 3·|DE| = 18 ⇔

    4·|DE| = 18 ⇔

    |DE| = 18/4 = 4,5

  4. Formlen for arealet af en vilkårlig trapez er h·(a+b)/2, hvor a og b er de parallelle sider og h er højden. Det giver her:

    Areal af trapez = tan(v)·[(a - b)/2]·(a + b)/2 = tan(72°)·(25 - 18)·(25 + 18)/4 = tan(72°)·7·43/4 = 231,6

  5. En ligesidet trapez kan inddeles i et rektangel og to ens retvinklede trekanter. Dette er vist på nedenstående tegning, hvor vinklen v indgår i den ene retvinklet trekant.

    Den modstående side til vinklen v har længden h. Hvis længden af den hosliggende side kaldes x, får man: 2x + b = a ⇔ x = (a-b)/2. Dermed gælder, at tan(v) = h/[(a-b)/2] ⇔ h = tan(v)·(a-b)/2.

Svar på opgave 7: Kvadrater i en additionstabel

  1. Summen af tal i første kvadrat er 4 + 5 + 6 + 5 + 6 + 7 + 6 + 7 + 8 = 54. Denne sum er 9 gange større end det midterste tal, som er 6 (9·6 = 54).

    Summen af tal i andet kvadrat er 11 + 12 + 13 + 12 + 13 + 14 + 13 + 14 + 15 = 117. Denne sum er 9 gange større end det midterste tal, som er 13 (9·13 = 117).

  2. Når man går et felt mod venstre eller op i kvadratet bliver værdien af feltet een mindre, mens den bliver een større, når man går mod højre eller ned. Dette giver følgende værdier i kvadratet:

    Summen er: (n-2) + (n-1) + n + (n-1) + n + (n+1) + n + (n+1) + (n+2) = n + n + n + n + n + n + n + n + n - 2 - 1 - 1 + 1 + 1 + 2 = 9·n