Folkeskolens problemregning for 10. klasse, maj 2014 | Oversigt

Svar på opgave 1: På rejse til VM i fodbold

  1. De skal vente fra 15:30 til 18:40, det er 3 timer og 10 minutter

  2. Der er afgang fra København den 24. juni klokken 14:35 dansk tid og ankomst i Sao Paulo den 25. juni klokken 07:25 brasiliensk tid. Det hele omregnes til dansk tid og man får at ankomsten er den 25. juni klokken 12:25 dansk tid, idet man lægger 5 timer til 7:25.

    Forskellen beregnes som følger: fra klokken 14:35 den 24. juni til klokken 11:35 den 25. juni er der (24 - 3) timer = 21 timer. Fra 11:35 til 12:25 er der 50 minutter. I alt er tidsforskellen: 21 timer og 50 minutter

  3. Biletterne koster: (2·495 + 2·175) USD = (990 + 350) USD = 1340 USD

  4. Man skal bruge 1340 USD, som koster 7377,91 kr. Det vil sige, at 1 USD koster (7377,91/1340) kr. = 0,5506 kr. Kursen på USD (i danske kr.) er prisen for 100 USD i kr. Det vil sige, at kursen er 100·0,55006 kr. = 550,06 kr.

  5. Nedenfor er løsningen vist i Excel. Man kan få Excel til at udføre beregningen, men her er løsningen fundet ved at prøve sig frem med at ændre antal dage indtil, man når et totalbeløb, der er større end 50,000 kr. Her får man, at 12 dage giver et beløb mindre end 50.000 kr., mens 13 dage giver et beløb, der er større end 50.000 kr.

    Løsningen er dermed 12 dage

Svar på opgave 2: VM-fodbolden brazuca

  1. Bolden er en kugle. Formlen for sammenhængen mellem kuglens diameter og omkreds er den samme som for en cirkel. For en cirkel gælder følgende sammenhæng mellem diameter og omkreds: diameter·π = omkreds. Det vil sige, at

    diameter = omkreds/π = (69,5 cm)/π = 22 cm

  2. Rumfanget af en kugle er (4/3)·π·r3, hvor r er kuglens radius. Boldens radius er halvdelen af dens diameter, det vil sige, at radius = (22 cm)/2 = 11 cm.

    Boldens rumfang er derfor: (4/3)·π·(11 cm)3 = 5.573,3 cm3. Dette omregnes til liter. Da 1 L = 1 dm3 og 1 cm = 0,1 dm, får man følgende omregning af rumfang til L:

    5.573,3 cm3 = 5.573,3 (0,1 dm)3 = 5.573,3·(0,1)3 dm3 = 5,5733 dm3 = 5,6 L

    (I følge facitlisten viser dette, at Ane har ret i sin påstand, selvom rumfanget ikke er præcis 5 L.)

Svar på opgave 3: Brasilien og Danmark

  1. Man skal finde forholdet mellem Brasiliens og Danmarks befolkning, som er lig med (201 mio mennesker)/(5,5 mio. mennesker) = 36,5 gange.

    Det vil sige Brasiliens befolkning er 36,5 gange større end Danmarks

  2. Befolkningstætheden i Brasilien er antal mennesker i Brasilien divideret med Brasiliens areal. Enheden er antal mennesker pr km2.

    Man får, at befolkningstætheden i Brasilien = (201 mio. mennesker)/(8,516 mio. km2) = 23,6 mennesker pr. km2

  3. Man skal finde forholdet mellem Københavns befolkningstal og Danmarks befolkningstal og gange med 100 %. Dette er: [(0,57 mio. mennesker)/(5,5 mio. mennesker)]·100 % = 10,4 %

  4. Man skal finde 43 % af Brasiliens befolkning på 201 mio. mennesker. Dette antal er (201 mio. mennesker)·43 % = 86,4 mio. mennesker.

  5. Nedenfor er opgaven løst i Excel. Man markerer hele tabellens indhold med overskrifter og vælger indsæt graf med grupperede liggende søjler.

    Ved at sammenligne alderfordelingen i de to lande ser man, at der er omtrent lige mange mennesker i hver aldersgruppe i Danmark (alle røde streger er ca. lige lange), mens der er flere unge mennesker i Brasilien end, der er ældre mennesker (de blå streger, der er forneden er længere end de blå streger, der er foroven).

  6. Medianen for aldersfordelingen i Brasilien er den alder som 50 % af befolningen har eller ligger under. For at finde medianen summerer man tallene i tabellen indtil, man når op på 50 % eller over. Hvis man ikke kan summere op til 50 % præcist, må man tage den sammenlagte procentdel, der ligger nærmest og nøjes med et omtrentligt tal for medianen.

    Man får følgende sammenlagte procenttal for aldersfordelingen i Brasilien:

    Heraf ses at 51 % af Brasiliens er 30 år eller under 30 år. Da dette er det tættetste man kan komme på 50 % i tabellen er medianen for den Brasilianske befolknings alder ca. 30 år

  7. Man skal ud fra grafen finde det år, hvor Brasiliens befolkningstal var 2·75 mio. = 150 mio. mennesker. Dette årstal aflæses til 1990 som vist nedenunder.

  8. Man skal vise, at væksten i Brasiliens befolkning fra 1961 til 2010 svarer til, at Brasiliens befolkning hvert år er vokset med den sammen procentdel, og at denne procentdel er ca. 2%.

    Man skal bruge formlen for kapitaltilvækst med renters rente, det vil sige K = K0·(1+r)n.

    Her skal Brasiliens befolkningstal i 1961 (75 mio.) indsættes i stedet for startkapitalen og r sættes lig med 2%. Antallet af år fra 1961 til 2010 er lig med 49. Dette sættes ind på pladsen for antallet af terminer eller antallet af rentetilskrivninger i kapitaltilvækstformlen.

    Man får derved: Brasiliens befolkning i 2010 bliver med 2 %'s årlig vækst fra 1961 til 2010 lig med:

    (75 mio.)·(1 + 2 %)49 = (75 mio.)·(1,02)49 = 197,5 mio.

    Dette skal sammenlignes med Brasiliens befolkningstal i 2010, som aflæses af grafen til 195 mio. mennesker. Da de to tal ses at være tæt på hinanden, har man vist det ønskede.

  9. Danmarks befolkningstal var 4,5 mio. i 1961. Man skal regne ud, hvor mange år der går før, at det når op på 9 mio. og lægge dette antal år til 1961.

    Man forudsætter igen (det er det, som facitlisten foreslår), at væksten følger formlen for kapitaltilvækst. Man skal før man kan finde antal år kende den årlige vækstrate der svarer til r i formlen. Man får følgende ligning for r udregnet efter befolkningstallene for 1961 og 2010:

    (5,5 mio.) = (4,5 mio.)·(1+r)49 ⇒ (1+r) = 49√(5,5/4,5) ⇒ 1 + r = 49√(5,5/4,5) ⇒ 1 + r = 1,004104 ⇒ r = 1,004104 - 1 ⇒ r = 0,004104

    Man indsætter det i en ny ligning, hvor man skal finde antal år kaldet n:

    (9,0 mio.) = (4,5 mio.)·(1+0,004104)n ⇒ 2 = (1,004104)n

    Dette kan evt. løses med hensyn til n i Ti-Nspire med kommandoen solve(2=(1.004104)^n,n)

    Man får: n = 169,2. Ved at lægge 169 til 1961 får man året 2030, som er det år Danmarks befolkningstal når 9 mio. i følge beregningsmodellen.

Svar på opgave 4: Kampplan

  1. Antal lande i hver gruppe er 32/8 = 4

  2. Antal kampe i een gruppe kan beregnes på følgende måde:

    Først spiller hold 1 mod de 3 andre hold. Det er i alt 3 kampe. Hold 1 er derefter færdig med at spille gruppekampe.

    Dernæst spiller hold 2 mod de 2 andre hold, der er tilbage. Det er i alt 2 kampe, og hold 2 er færdig.

    Endelig spiller hold 3 mod hold 4. Det er 1 kamp. Både hold 3 og hold 4 er færdige.

    I alt spilles 1 + 2 + 3 = 6 kampe i een gruppe. Der er 8 grupper, hvilket giver i alt 8·6 = 48 kampe i gruppespillet.

  3. Bjarnes gevinst bliver (300 kr.)·4,33 = 1299 kr.

  4. P(A) er sandsynligheden for at Brasilien vinder VM. Formlen for odds giver: 4,33 = 0,85/[P(A)] ⇒ P(A) = 0,85/4,33 ⇒ P(A) = 0,196

  5. Bjarne har ikke ret fordi, at de satser 300 kr. og deres eneste chance for at få en netto gevinst er ved resultatet uafgjort.

Svar på opgave 5: Korde i en cirkel

  1. Nedenstående tegning er lavet i Geogebra. Centervinklen er målt til 97,2°

  2. Kordens længde bliver i følge formlen i den gule boks:

    k = 2·(4 cm)·sin(0,5·80°) = (8 cm)·sin(40°) = (8 cm)·0,6428 = 5,14 cm

  3. Når centervinklen er 180° skal korden være lig med en diameter. Det vil sige, at korden i følge formlen skal være 8 cm.

    Man får: k = 2·(4 cm)·sin(0,5·180°) = (8 cm)·sin(90°) = (8 cm)·1 = 8 cm,

    hvilket viser, at formlen også passer for en centervinkel på 180°

  4. Trekanten består af to sider, hvis længde er lig med radius og en side hvis længde er lig med korden. Hvis korden er lig med radius, har man en trekant med tre ens sider, det vil sige en ligesidet trekant.

    I denne trekant er alle vinkler lig med 60° og dermed er centervinklen også lig med 60°

  5. Ane har ret i sin påstand fordi centervinklen er topvinkel i en ligebenet trekant og i denne gælder at vinkelhalveringslinjen til topvinklen samtidig er median til grundlinjen, som her er lig med korden.

    Dermed halverer vinkelhalveringslinjen til centervinklen korden.

  6. Tegningen nedenfor viser at trekanten kan deles op i to ens retvinklede trekanter, der hver har de mål, som er vist.

    Der gælder følgende grundlæggende formlen for en spids vinkel, x, i en retvinklet trekant: sin(x) = (modstående katete)/(hypotenuse). Her er x = (1/2)·v, hypotenusen = r og den modstående katete = (1/2)·k. Dette giver indsat i den grundlæggende formel:

    sin(x) = (modstående katete)/(hypotenuse) ⇒ sin([1/2]·v) = [(1/2)·k]/r, dette viser at Anes formel er rigtig.

  7. Man kan omskrive Anes formel til udtrykket i den gule boks på følgende måde:

    (Ane:) sin([1/2]·v) = [(1/2)·k]/r ⇒

    [(1/2)·k]/r = sin([1/2]·v) ⇒

    (1/2)·k = r·sin([1/2]·v) ⇒

    (Gul boks:) k = 2·r·sin([1/2]·v)