Løsningsforslag til folkeskolens problemregning for 9. klasse, december 2019 Gå til opgavesæt | Gå til oversigt

Svar på opgave 1: Livas biografbilletter

  1. Hun har betalt: 4·89,50 kr = 358,00 kr for de fire billetter.
  2. Prisen før rabat er: 89,50 kr.
    Rabatten er: 0,35·89,50 kr = 31,33 kr.
    Pris efter rabat er: 89,50 kr - 31,33 kr = 58,18 kr
  3. Antallet af biografbesøg på et år kaldes x. Man skal finde det antal biografbesøg, der giver samme pris hvad enten man er medlem af klubben eller ej. Hvis man får et decimaltal, så skal man runde op, idet jo flere besøg, jo mere fordelagtig er klubben.
    Man skal løse følgende ligning med hensyn til x:
       x·58,18 kr + 199,00 kr = x·89,50 kr ⇒
       x·58,18 kr - x·89,50 kr = -199,00 kr ⇒
       (−31,32 kr)·x = -199,00 kr ⇒
       x = (-199,00 kr)/(−31,32 kr) ⇒
       x = 6,4 gange.
    Dvs. hun skal foretage (mindst) 7 biografbesøg om året før, at det kan betale sig at være medlem af klubben.

    Prøve på afrunding:
    6 biografbesøg om året: I filmklubben: 6·58,18 kr + 199,00 kr = 548,08 kr., som er dyrere end udenfor: 6·89,50 kr = 537,00 kr.
    7 biografbesøg om året: I filmklubben: 7·58,18 kr + 199,00 kr = 606,26 kr., som er billigere end udenfor: 7·89,50 kr = 626,50 kr.

  4. Man kalder rabat i procent for x. Man skal finde den rabat, der gør at fire biografbesøg koster det samme uanset om, man er med i klubben eller ej. Hvis man får et decimaltal, så skal man afrunde på normal vis.
    Man skal løse følgende ligning med hensyn til x:
       4·(89,50 - x·89,50) kr + 199,00 kr = 4·89,50 kr ⇔
       4·89,50 kr - 4·x·89,50 kr + 199,00 kr = 4·89,50 kr ⇔
       - 4·x·89,50 kr = 4·89,50 kr - 4·89,50 kr - 199,00 kr ⇔
       - x·358,00 kr = - 199,00 kr ⇔
       x = (-199,00 kr)/(-358,00 kr) ⇔
       x = 0,556
    Dvs. der skal være 56 % rabat før det kan betale sig for Liva at bruge filmklubben.

Svar på opgave 2: Karls korthuse

  1. Karl skal bruge 15 + 3 + 4·2 = 26 kort for at bygge et hus i fire etager.
  2. Det antal kort, som rører bordet i et korthus med n etager er: 2·n
  3. Man skal finde det antal etager, der giver 200 kort. Hvis man får at n giver et decimaltal, så skal man runde ned, fordi decimaldelen svarer til en rest af kort.
    Man skal løse følgende ligning: n·(3·n+1)/2 = 200 med hensyn til n. Dette viser sig at være en andengradsligning:
       n·(3·n+1)/2 = 200 ⇔
       n·(3·n+1) = 2·200 ⇔
       3·n2 + n = 400 ⇔
       3·n2 + n - 400 = 0
    Man har nu andengradsligningen på standardform (bare med n i stedet for x) og bruger løsningsformlen: a·x2 + b·x + c = 0 ⇔ x = -b/(2·a) ≈.(1/2·a)·√[b2-4·a·c]. Her er a = 3, b = 1 og c = -400. Kun den positive løsning er gyldig:
       3·n2 + n - 400 = 0 ⇒ n = -1/(2·3) + (1/(2·3))·√[4801] ≈ 11,4
    Dvs. der kan (højst) bygges et korthus med 11 etager ud af 200 kort.

    Man kan også prøve sig frem ved at indsætte n = 1, 2, 3... i formlen, og se hvor mange kort der kræves.
    Når man når til n = 11, så får man: antal kort = 187. Når man derefter indsætter n = 12, så får man: antal kort = 222. Da dette er større end 200, så kan man ikke lave et korthus med 12 etager, og derfor må 11 være svaret.

Svar på opgave 3: Livas juletræstæppe

  1. Nedenfor er vist et forslag til, hvordan firkanterne kan ligge (tegnet i Geogebra):

    Længden af stof er 96,6 cm.

Svar på opgave 4: Karls og Livas mobiltelefoner

  1. Man omregner 2 timer og 16 minutter hver dag i en uge om til minutter om ugen:
    ((2·60 + 16) min./dag)·(7 dage/uge) = 952 minutter om ugen.
    Dette divideres med 60 for at omregne til timer: (952/60) timer/uge = 15,87 timer/uge,
    dvs. 15 timer om ugen plus en rest.
    Man finder det antal minutter, som er til rest, ved at omregne 15 timer til min.: 15·60 min. = 900 min.
    Dette trækkes fra de 952 min., som man fandt i starten: (952 - 900) min. = 52 min.
    Dvs. Karl bruger mobiltelefonen i 15 timer og 52 min. om ugen
  2. Karl er vågen 7·(24 - 8) timer/uge = 7·16 timer/uge = 112 timer om ugen.
    Han bruger sin mobil: (15,9/112)·100 % = 14,2 % af tiden, hvor han er vågen.
  3. Antag at hun sover 8 timer om dagen. Hun bruger dermed mobiltelefonen: ((24 - 8) timer)·(5 %) = (16 timer)·0,05 = 0,8 timer. Dette omregnes til minutter: (0,8 timer)·(60 min./time) = 48 min.

Svar på opgave 5: Unges mobiltelefoner

  1. Der er 90 elever, da antal observationer og antal elever er det samme.
  2. Gennemsnittet for 9. klasserne på Karls skole er 180 min.: Dvs. de ligger over landsgennemsnittet.
  3. Medianen for 9. klasse er 165 min.
    Variationsbredden for 8. klasse-eleverne er (200 - 120) min. = 80 min. Variationsbredden for 9. klasse-eleverne er 270. Dette findes ved at trække den mindste observation fra det største.
    Dvs. samme median for de to årgange, men større variationsbredde for 9. klasse-eleverne.

Excel-kommandoer:
Gennemsnittet for eleverne i 9. klasse: "=MIDDEL(A1:I10)".
Medianen for eleverne i 9. klasse: "=MEDIAN(A1:I10)".
Den mindste observation for eleverne i 9. klasse: "=MINDSTE(A1:I10;1)".
Den største observation for eleverne i 9. klasse: "=STØRSTE(A1:I10;1)".
Se Excel-fil

Svar på opgave 6: Karls skrabekalender

  1. Sandsynligheden er 5/2520000 = 0,000002 eller 2 ud af 1 milion.
  2. Karl er kun sikker på gevinst, hvis han køber mere end to tredjedele af lodderne.
  3. Nej, fordi sandsynligheden for 5 seksere i træk er: (1/6)5 = 0,000129 eller 129 ud af 1 milion

Svar på opgave 7: En sekskant

  1. Omkredsen af sekskanten er 4·(4,5 + 3,5) cm = 32 cm
  2. På nedenstående tegning er arealet af det grå rektangel lig med 2·a·2·b. Herfra trækkes arealet af det lysgrå rektangel på a·b. Resultat: 2·a·2·b - a·b.

    Man kan også sige: 2·a·2·b - a·b = 4·a·b - a·b = 3·a·b, hvilket skulle bevises.
  3. Arealet af firkanter er størst for en given omkreds, når firkanterne er kvadrater, dvs. når: a = b = 5. Da sekskanten består af firkanter, så gælder det også for den.

Svar på opgave 8: Rektangler

  1. Der er 16 muligheder som vist nedenfor. Der er 8 rektangler med siderne 8:1 og 8 med siderne 4:2.