Løsningsforslag til folkeskolens problemregning for 9. klasse, maj 2019 | Oversigt

Svar på opgave 1: Camping

  1. Pris pr. nat på Sollyst: (58 kr.) + 2·(82 kr.) + 2·(43 kr.) = 308 kr.
  2. Pris for 12 nætter på Sollyst: (12 nætter)·(308 kr/nat) = 3.696 kr.
  3. Pris for n nætter på Sollyst: (308 kr./nat)·n
  4. De sparer følgende beløb ved at overnatte en gang på Sollyst i forhold til Havblik: (86 kr./person)·(4 personer) - (308 kr.) = 36 kr.
  5. Formlen for at overnatte n nætter på Havblik er: [100 + 325·n·(1 - n/100)] kr.
    Man sætter de to udtryk for n overnatninger lig med hinanden og får en andengradsligning med hensyn til n, som løses:
    308·n = 100 + 325·n·(1 - n/100) ⇒
    0 = 100 + 325·n - 308·n - 3,25·n2
    0 = 100 + 17·n - 3,25·n2
    n = −3,517 eller n = 8,748
    Det eneste gyldige svar er 8,7, som rundes op til 9.
    Dvs. familien skal overnatte 9 nætter før Havblik er billigere end Sollyst.
    Prøve:
    8 dage: Sollyst: 8·308 kr. = 2464 kr.
                 Havblik: (100 + 325·8 - 325·8·0,08) kr. = 2492 kr. (Havblik dyrest)
    9 dage: Sollyst: 9·308 kr. = 2772 kr.
                 Havblik: (100 + 325·9 - 325·9·0,09) kr. = 2761,75 kr. (Havblik billigst ✔)

Svar på opgave 2: Cykeltur

  1. Man trækker 3 timer og 50 min fra 13 timer og 0 min.:
    13:00 - 3:50 =
    13:00 - 3:00 - 0:50 =
    10:00 - 0:50 =
    10:00 - 0:50 + (-1:00 + 0:60) = ..."læg nul til"
    (10:00 - 1:00) + (0:60 - 0:50) =
    9:00 + 0:10 = 9:10
    Dvs. de skal cykle hjemmefra kl. 9:10
  2. Man skal omregne 3 timer og 50 min. til kommatal:
    3 timer + 50 min. =
    3 timer + (50 min.)·(1 time)/(60 min.) = ..."gang med 1"
    3 timer + (1 time)·50/60 =
    3 timer + 0,833 timer = 3,83 timer
    Dette divideres op i strækningen, og man får gennemsnitsfarten:
    (82,8 km)/(3,83 timer) = 21,6 km/t
  3. Turen tager i alt 3 timer og 28 min.
    Hver gang den blå kurve kommer ned på nul holder de pause (farten er nul). Deres pauser er korte (ca. 2 minutter hver).
    Der hvor farten er 60 km/t, kører de sikkert nedad bakke i medvind.
  4. Forældrene cykler med en gennemsnitsfart på 20 km/t, dvs. pauser tæller ikke med i gennemsnitsfarten.
    Det tager følgende tidsrum at cykle 82,8 km med en gennemsnitsfart af 20 km/t:
    (82,8 km)/(20 km/t) = 4,14 timer = 4 timer + 0,14 timer = 4 timer + 0,14·60 min. = 4:08
    Forældrene må have holdt to pauser på sammenlagt 5:20 - 4:08 = 1:12, dvs. hver pause er på 36 min.
    Man kan lave følgende forslag til en kurve for deres fart i løbet af turen:

Svar på opgave 3: Bakker

  1. Starten af kurven er ca 11 m på anden-aksen og slutningen er ca 45 m. Differencen er 34 m. (Bemærk at anden-aksen starter ved 10 m).
  2. I en retvinklet trekant gælder, at: sin(v) = (modstående katete)/(hypotenuse) = højde/strækning = (34 m)/(1000 m) = 0,034.
    Dette giver: v = sin-1(0,034) = 1,9°
  3. Man skal finde, det der svarer til, a på Annas skitse og bruger Pythagoras' læresætning for den retvinklede trekant:
    a2 + (34 m)2 = (1000 m)2
    a2 = (1000 m)2 - (34 m)2
    a2 = 998.844 m2
    a = √(998.844 m2) = 999,42 m.
    Dvs. hældningen er 34/999,42 = 0,03402 = 3,4 %
  4. Nedenfor er tegnet tværsnittet af en bakke med en længde på 1002 m og en hældning på 6 %.

Svar på opgave 4: Sommerdage

  1. Nedenfor er summen af sommerdage i hver række i tabellen regnet ud ved hjælp af =SUM() kommandoen. Dernæst er hele tabellen sorteret i aftagende orden efter summerne. Rækken hvor største sum indgår er markeret med gult og fed skrift. (Se Excel-fil).

    Dette viser, at 2006 havde flest sommerdage for hele juli.
  2. Nedenfor er gennemsnittet for første uge i juli beregnet ved hjælp af =MIDDEL() kommandoen anvendt på første kolonne efter årstallene (markeret med gult og fed skrift).

    Dette viser, at der i gennemsnit har være 2,3 sommerdage i første uge af juli i perioden 1997-2018.
  3. Nedenfor er vist et søjlediagram for antal sommerdage i første uge af juli i perioden 1997-2018.
  4. Nedenfor er samme diagram som før med en rød linje, der viser 2 sommerdage. Alle søjler, der rører linjen, svarer til et år, hvor der var 2 sommerdage eller mere i første uge af juli.

    Man ser, at der er 11 søjler, der har kontrakt med stregen, og at der er 22 år i alt.
    Dvs. sandsynligheden for, at der er 2 eller flere sommerdage i første uge af juli, er 11/22 = 0,5 = 50 %
  5. Nedenfor er tegnet en kurve for sommerdage i juli fra 1997 til 2018.

    Til kurven er tegnet en rød lineær tendenskurve, der viser en svag hældning. Dvs. ejeren har ret.
    Det skal dog siges, at der er store udsving fra år til år og dermed også stor usikkerhed.

Svar på opgave 5: Figurfølge

  1. Den 6. figur er et rektangel med 6 små kvadrater som vist.
  2. Nedenfor er de mulige rektangler vist med rødt. Der er 10 i alt.
  3. Antallet af rektangler i figur nr. 7 er: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
  4. Det næste nummer i rækken er n + 1.
    Hun lægger derfor n + 1 til antallet af rektangler i den foregående figur.

Svar på opgave 6: Ligebenede trekanter

  1. Der er 11 forskellige ligebenede trekanter, der opfylder betingelserne. Nedenfor er de tegnet med rødt.

    Alle andre ligebenede trekanter vil være kongruent med en af disse. Bemærk at fem af trekanterne har en topvinkel på 90° (en i hver ramme). Disse er ligedannede, men ikke kongruente.

    Systemet er, at man går ud fra grundlinjen og ser, hvor mange trekanter, der kan tegnes med den.
    I første ramme er grundlinjen to sider af trådnettets tern.
    I den anden er grundlinjen diagonalen i en rektangel, der består af tre tern.
    I den tredje er grundlinjen en diagonal af én tern.
    I den fjerde er grundlinjen to diagonaler af én tern.
    I den femte er grundlinjen tre diagonaler af én tern.