Folkeskolens problemregning for 9. klasse, december 2017 · Se opgavesæt | Gå til oversigt

Svar på opgave 1: Julekort

  1. Der går 27,50 kr. til nødhjælp pr. pakke. For 500 pakker bliver det til: 500·27,50 kr. = 13.750 kr.

  2. De 27,50 kr. ud af 40,00 kr. går til nødhjælp. Dette giver i procent: (27,50/40,00)·100 % = 68,75 %

  3. Grafen er lavet i Excel og vist nedenunder. Antal pakker vises ud af x-aksen, mens beløbet i kr., der går til nødhjælp vises ud af y-aksen.

    Excel-fil

  4. De får et tilskud på 15 % af hele beløbet og ikke kun den del, der går til nødhjælp. De 750 pakker indbringer et beløb på: 750·40,00 kr. = 30.000 kr. Dvs. virksomhedens bidrag er: (30.000 kr.)·15 % = 4500 kr.

  5. Funktionsforskriften for virksomhedens bidrag er: f(x) = x·40·15% eller f(x) = x·6, hvor

    x = antal solgte julekort-pakker og f(x) er virksomhedens bidrag i kr.

Svar på opgave 2: Risengrød

  1. Der skal bruges (360 g)/6 = 60 g risengrød pr. person. Dvs. til 4 personer skal der bruges 4·60 g risengrød = 240 g

  2. Rumfanget af grødris er vægt af grødris divideret med massefylde af grødris. Vægten af grødris er 240 g. Massefylden er lig med (90 g)/(1 dL).

    Dvs. rumfanget er (240 g)/((90 g)/(1 dL)) = (240/90) dL = 2,67 dl

  3. Til 1 teskefulde kanel går der: 10/6 = 5/3 = 1,67 spiseskefulde sukker. Dvs. at der går 4,5·1,67 = 7,5 spiseskefulde sukker til 4 1/2 teskefulde kanel.

  4. Rumfanget af mælk, der skal bruges til 4 personer, er: (2,5 L)·4/6 = 1,6667 L. Vægten af mælk er rumfang gange massefylde: (1,6667 L)·(100 g/0,97 dL) = (1,6667 L)·(100 g/0,097 L) = 1718,25 g mælk.

    Der er 3,5 g fedt pr. 100 g sødmælk. Dvs. at antal gram fedt i sødmælk til risengrød for 4 personer er: (1718,25 g sødmælk)·((3,5 g fedt)/(100 g sødmælk)) = 60,14 g fedt.

    Der er 1,5 g fedt pr. 100 g letmælk. Dvs. at antal gram fedt i letmælk til risengrød for 4 personer er: (1718,25 g letmælk)·((1,5 g fedt)/(100 g letmælk)) = 25,77 g fedt.

    Besparelsen i fedt, når man laver risengrød til 4 personer med letmælk i stedet for sødmælk, er derfor: (60,14 - 25,77) g fedt = 34,4 g fedt

    Bemærkning: 1 dL = 0,1 L. Dvs. 0,97 dL = 0,97·(0,1 L) = 0,097 L.

Svar på opgave 3: Gaveindpakning

  1. Sofies gavepapir er (30 cm)·(35 cm) = 1050 cm2

  2. Midten af æsken ligger oven på midten af papiret, der kaldes A. Det ene hjørne af papiret, der kaldes B, er bukket rund om æsken. Tegningen viser papiret før og efter bukningen.

    For at gavepapiret skal kunne nå rundt om pakken, skal papiret fra A til B foldes som vist. Dvs. den halve diagonal skal være lig med: 5 cm + 3 cm + 5 cm = 13 cm. Hele diagonalen er derfor: 2·13 cm = 26 cm

  3. Som nævnt i spørgsmål 2, så skal halvdelen af diagonalen af papiret være lig med æskens bredde plus æskens højde.

    Man kalder papirets diagonal for d, æskens side for s og æskens højde for h. Dette giver følgende formel for diagonalen:

    ½·d = s + h ⇒ d = 2·(s + h)

  4. Man skal finde arealet af en kvadrat med diagonalen 26 cm. Et kvadrats areal er s2, hvor s er siden af kvadratet.

    For at finde siden deler man kvadratet op i to ens ligebenede retvinklede trekanter ved hjælp af diagonalen. Hypotenusen i en af disse trekanter er diagonalen i kvadratet og kateterne er kvadratets sider. Siderne henholdsvis kateterne kaldes s og diagonalen kaldes d. Dette er vist nedenunder:

    Der gælder i følge Pythagoras læresætning for retvinklede trekanter, at 2·s2 = d2.

    Da s2 er lig med arealet af papiret får man følgende formel for arealet, a:

    2·a = d2.

    Man indsætter d = 26 cm og får:

    2·a = (26 cm)2

    2·a = 676 cm2

    a = 676/2 cm2 = 338 cm2

    Dvs. gavepapirets areal er 338 cm2

Svar på opgave 4: Pakkeleg

  1. Sofies onkel har ikke ret. For en ærlig terning er sandsynligheden ens for alle antal øjne.

  2. Nedenfor er vist resultatet af en simuleringen i Excel af 100 spil med en terning, hvor hvert spil betår i at kaste terningen 10 gange og notere hvor mange seksere man får. Den røde linje adskiller spil, der gav mindre end 5 seksere, fra de der gav 5 eller mere. Højden af de blå søjler giver tilsammen 100, som er antallet af spil.

    Grafens røde tal viser, at 1 spil ud af 100 gav 5 seksere eller mere.

    Dvs. procentdelen af simuleringer, der gav mindst 5 seksere, er 1/100 = 1 %

    Excel-fil

  3. Sandsynligheden for ikke at få en sekser i et kast er 1 - 1/6 = 5/6. Sandsynligheden for at få 0 seksere i 10 kast er denne sandsynlighed ganget med sig selv 10 gange.

    Dvs. sandsynligheden for at få 0 seksere i 10 kast er (5/6)10 = 0,1615 = 16 %. Dermed har Sofie ikke ret.

Svar på opgave 5: Dragefirkanter

  1. Nedenfor er tegnet en dragefirkant i Geogebra med vinkler forskellge fra 90°.

  2. Man indsætter v = 45°, a = 5 og b = 12 i formlen for at se, om man får det samme (eller næsten) på begge sider:

    tan(45°/2) = tan(22,5°) = √2-1 = 0,414

    a/b = 5/12 = 0,417

    Man får det samme med under 1 % forskel, dvs. v er tilnærmelsesvis lig med 45°.

  3. Vinkelsummen i en firkant er 360°. Da v = 45° og to af de andre vinkler er 90° får man, at den sidste vinkel er:

    360° - 45° - 2·90° = 135°

  4. En dragefirkants areal er halvdelen af produktet af længderne af dens diagonaler. Dette er kun lig med produktet af den korte og den lange side, når der er tale om en dragefirkant med retvinklede hjørner.

    Nedenunder er diagonalerne vist med rød og blå. Kort side er a og lang side b. Når man deler en dragefirkant med retvinklede hjørner ved hjælp af den langsgående (blå) diagonal og vender den ene derved fremkomne retvinklede trekant om, så får man et rektangel. Pilen peger på den trekant, som vendes.

    (Hvis hjørnevinklen kaldes v, så får man følgende formel for arealet: a·b·sin(v). Dette er kun lig med a·b for v = 90°).

Svar på opgave 6: Taltrylleri

  1. Lasse får: (idet a = 10 og b = 9):

    2) 102 - 92 = 19

    3) 10 + 9 = 19

  2. Man har følgende to ligninger for a og b: a = b - 1 og a + b = -11. Det giver:

    a = b - 1 og b - 1 + b = -11 ⇔

    a = b - 1 og 2b = -10 ⇔

    a = -5 - 1 og b = -5 ⇔

    a = -6 og b = -5

    Dvs. Lasse har valgt a som -6

  3. Fordi man har valgt, at a skal være 1 større end b.

  4. Når b = a - 1 gælder, at

    2) a2 - b2 = a2 - (a-1)2 = a2 - (a2 - 2a + 1) = 2a - 1

    3) a + b = a + (a - 1) = 2a - 1

    Dvs. man får det samme i begge tilfælde.