Folkeskolens problemregning for 9. klasse, maj 2016 · Se opgavesæt | Gå til oversigt

Svar på opgave 1: Ferielejlighed i Italien

  1. Forskellen på udlejningsprisen for 7 og 14 dage er (10.617 - 7.566) kr. = 3.051 kr.

  2. Familien består af fire personer. Den samlede regning er derfor: 10.617 kr. + 4·130 kr. + 625 kr. = 11.762 kr.

  3. Den samlede pris med rabat er: 11.762 kr. - (11.762 kr.)·(12 %) = (11.762 - 1.411,44) kr. = 10.351 kr.

  4. Prisen bliver den samme uanset den rækkefølge, som man tager rabatten i.

    Prisen for først 12 % rabat og dernæst 3 % er:

    11.762 kr. - (11.762 kr.)·(12 %) = 10.351 kr.

    10.351 kr. - (10.351 kr.)·(3 %) = 10.040 kr.

    Prisen for først 3 % rabat og dernæst 12 % er:

    11.762 kr. - (11.762 kr.)·(3 %) = 11.409,1 kr.

    11.409,1 kr. - (11.409,1 kr.)·(12 %) = 10.040 kr.

Svar på opgave 2: Danskernes feriemål

  1. På figuren nedenunder ses, at 15 % de ferierejsende danskere tager til Spanien og 10 % tager til Italien.

    Dette giver tilsammen, at 25 % af de danske ferierejsende tager til enten Spanien eller Italien.

  2. Man skal vise, at forskellen af antal rejsende til Spanien og Italien divideret med antal rejsende til Italien er lig med 50 %.

    Man ved, at antal rejsende til Spanien divideret med alle rejsende er 15 % og, at antal rejsende til Italien divideret med alle rejsende er 10 %.

    Man kender ikke det samlede antal rejsende, men kan kalde det for x. Man får:

    Antal rejsende til Spanien = x·15 % og antal rejsende til Italien = x·10 %, som giver:

    (x·15 % - x·10 %)/(x·10 %) = (15 - 10)/10 = 0,5 = 0,5·100 % = 50 %

    (Man behøver ikke at bruge x, det er bare en hjælp til den, som foretrækker at regne med antal i stedet for procenter alene. Uden x får man: (15 % - 10 %)/(10 %) = (15 - 10)/10 = 0,5 = 0,5·100 % = 50 %).

  3. Det mindste procentdel af de rejsende, der tog til Spanien, er (15 % - 2 %) = 13 %. Derfor er det mindste antal rejsende (4,8 mio.)·13 % = 624.000

  4. Man kan ikke være sikker på, at Italien er det næst mest besøgt feriemål, fordi den procentdel, der rejser til Italien kan være (10 % - 2 %) = 8 %. Samtidig kan Tysklands andel af turistrejser være (8 % + 2 %) = 10 %. Dermed kan Tyskland godt være mere besøgt end Italien.

Svar på opgave 3: Peterspladsen, ellipse

  1. Nedenunder er ovalen tegnet i Geogebra.

  2. Nedenunder er vist figur 2. Radius kaldes r.

    Det ses, at radius er halvdelen af en af de røde linjer dvs. radius = 30/2 = 15 m

  3. Nedenfor er vist en blå trekant, der forbinder de to centre med hinanden og hvert center med det skæringspunkt, der er toppunkt for vinklen u.

    Alle sider i denne trekant har en længde, der er lig med radius og dermed er trekanten ligesidet. Heraf følger, at u er 60°. På samme måde kan vises, at v også er 60°.

  4. Nedenfor er vist, at den røde cirkelbue har radius 30. Desuden spænder buen over vinklen u, som er 60°.

    En cirkelbue på 60° er en sjettedel af en hel cirkels omkreds, idet 60°/360° = 1/6.

    Hele cirklens omkreds er 2·π·r = 2·π·30.

    Den røde bues længde er dermed: (1/6)·2·π·30 = 10·π, hvilket skulle vises.

  5. En oval består af to cirkelbuer, der hver har en radius på 30 og en vinkel på 60° samt to cirkelbuer, der hver har en radius på 15 og en vinkel på 120°.

    En af de førstnævnte cirkelbuer er vist nedenunder med rødt og en af de andre med blåt.

    Den blå bues længde er (120°/360°)·2·π·15 = 10·π. Dette er samme formel som for den rødes, da halv så stor radius sammen med dobbelt så stor vinkel giver samme buelængde.

    Dermed er ovalens omkreds 4·(10 π) = 40 π

Svar på opgave 4: Leje af cykler

  1. Leje af en cykel i 7 dage koster:

    7·12 € + 5 € + 7 € =

    96 €

  2. Udtrykket for prisen i € af leje af cykel med udstyr i n dage er:

    n·12 + 5 + 7 =

    n·12 + 12 =

    12·(n + 1)

  3. Prisen i € for 2 personer i n dage er 2·12·(n + 1) = 24·(n + 1).

    Antallet af €, som de har, er: (1500 kr.)/(7,50 kr.) = 200.

       Man skal finde n i ligningen:

       24·(n + 1) = 200 ⇔

       n + 1 = 200/24 ⇔

       n = 200/24 - 1 ⇔

       n = 7,33

    Dvs. de har råd til 7 dage

    (Prøve: De har ikke råd til 8 dage, da det koster: 2·12·(8 + 1) € = 216 €)

  4. Nedenunder er vist en tabel lavet i Excel over priser for leje af cykel for en person i de to udlejnings­firmaer.

    De røde tal viser, hvornår TopBici er billigst. Det ses at gælde for de første 5 dage. Svaret er derfor, at TopBici er billigst, hvis man højst lejer en cykel i 5 dage

    I tabellen er brugt formlen =12*A3+12 til at beregne tallene for CICLI DEGANI og formlen =13*A3+6 til at beregne tallene for TopBici. Formlene er indsat i øverste række (A2) for hvert firma og formel-kopieret hele vejen nedad.

    En tabel er den sikreste måde, at regne svaret ud på, når man søger noget som skal være et helt tal. Hvis man bruger beregning eller graf, kan man blive i tvivl om, man skal runde op eller ned. I så fald skal man prøve at indsætte det tal, som man får både ved at runde op og ned og sammenligne resulatet, der komme af at indsætte disse tal i hver sin formel.

Svar på opgave 5: Femkantede fliser

  1. Nedenunder ses en tegning af femkanten på kvadratnettet.

  2. Arealet af den gule femkant kan findes som arealet af den sorte rektangel minus arealet af de fire ens røde retvinklede trekanter. Dette er vist på billedet nedenunder.

    Rektanglets areal er som vist 8·6 = 48. En rød retvinklet trekants areal er 0,5·4·2 = 4. Tilsammen er deres areal: 4·4 = 16.

    Dvs. arealet af den gule femkant er 48 - 16 = 32

  3. Femkantens har fire kanter (vist med blåt), som er hypotenuser i hver sin retvinklede trekant og en kant (vist med grønt), som har længden 8 - (2 + 2) = 4. De fire hypotenusers længde findes ved hjælp af Pythagoras læresætning til kvadratroden af 20. Dette er vist nedenunder:

    Kvadratroden af 20 er 4,472. Dvs. omkredsen af den gule femkant er 4 + 4·4,472 = 21,9

  4. Femkanten er omgivet af fire ens retvinklede trekaner inden for det sorte rektangel. Dvs. at alle trekanter består af de samme vinkler. Man ved at den ene vinkel i hver trekant er 90°, da denne vinkel er hjørne i rektanglet. Desuden kender man vinklen 63,4°. Denne vinkel kaldes α. Den sidste vinkel i hver trekant kaldes β. Dens størrelse findes ved hjælp af reglen om, at summen af vinklerne i entrekant er 180°. Dvs. β = 180° - 90° - 63,4° = 26,6°. Dette er vist på tegningen nedenfor, hvor nogle af vinklerne er taget med:

    Det ses øverst på tegningen, at β + u + β = 180° ⇒ u = 180° - 2·β ⇒ u = 180° - 2·26,6° ⇒ u = 126,3°

    Det ses tilsvarende, at v = w og at v + α = 180° ⇒ v = 180° - 63,4° ⇒ v = 116,6°.

    Dvs. v = 116,6° og w = 116,6°

  5. Der findes femkanter, som ikke kan bruges til at dække en hvilken som helst flade. Dette gælder f.eks. den regulære femkant som vist på tegningen nedenunder (et bevis ved hjælp af modeksempel):

    I en regulær femkant er alle sider ens og alle vinkler ens. Som det ses dannes der figurer, som er forskellig fra den regulære femkant i mellemrummene.

Svar på opgave 6: Tal-ligevægt

  1. Tallene i de grå cirkler giver tilsammen 5 + 9 = 14. Da summen af de gule og de orange er ens, skal de begge give det halve af 14, som er lig med 7. Dvs. det tomme gule felt skal være 5 for, at summen af de gule skal blive 7, og det tomme orange felt skal tilsvarende være 4 for at summen af de orange felter ligeledes skal blive 7. Dette er vist nedenunder:

    Opgaven kan også løses ved at kalde tallet i det tomme gule felt for x og tallet i det tomme orange felt for y. Det giver følgende to ligninger med to ubekendte:

    x + 2 = 3 + y og x + 2 + 3 + y = 9 + 5 ⇔

    x = 1 + y og x + y = 9 ⇔

    x = 1 + y og (1 + y) + y = 9 ⇔

    x = 1 + y og 2y = 8 ⇔

    x = 5 og y = 4

  2. Tal-ligevægt 2 er vist nedenunder:

    Som i opgave 1 har man at summen af de gule felter er lig med summen af de orange, og at disse summer hver er halvdelen af summen af de grå felter. Tallet m kan beregnes enten ud fra de gule eller de orange felter. De gule felter giver ligningen: 7 + m = (12 + 8)/2 ⇔ m = 10 - 7 = 3.

    Dvs. m = 3

  3. Tal-ligevægt 3 er vist nedenunder:

    Det er usikkert, hvad der menes med opgaven. Eftersom der er balance mellem gule og orange felter, så skal summen af de gule felter være 2p + 1. Dette gør, at summen af gule + orange tilsammen giver 4p + 2. Dette skal være lig med summen af tallene i de grå felter, som er 3p + 7. Dette er kun opfyldt for p = 5. Måske var tanken: Find det p, der opfylder ligevægten!?

    Facitlisten giver to svar:

    a) Gule: p og 6. Orange: 2p og 1 (Balancerer med grå felter, men ikke med hinanden medmindre p er 5)

    b) Gule: 5 og 6. Orange: 10 og 1 (Et eksempel hvor p = 5)

  4. Tal-ligevægt 4 er vist nedenunder:

    Man skal løse følgende to ligninger med to ubekendte:

    2a + 12 = 4 + b og 2a + 12 + 4 + b = b + 18 ⇔

    2a + 8 = b og 2a = 2 ⇔

    2 + 8 = b og a = 1 ⇔

    10 = b og a = 1

    Dvs. a = 1 og b = 10