Folkeskolens problemregning for 9. klasse, maj 2018 | Oversigt

Svar på opgave 1: 9. A planlægger en tur.

  1. Det koster 24·(150 kr.) = 3600 kr.
  2. De skal hver betale: ((3600 - 2436) kr.)/24 = (1164 kr.)/24 = 48,50 kr.
  3. Prisen med moms = pris uden moms + 0,25·(pris uden moms) = (pris uden moms)·1,25.
    Man ved, at prisen med moms er 187,50 kr. og får derfor:
    (pris uden moms)·1,25 = 187,50 kr. ⇒
    pris uden moms = (187,50 kr.)/1,25 ⇒
    pris uden moms = 150 kr.
  4. Ved hjælp af det foregående spørgsmål udleder man, at pris uden moms = p/1,25 = 0,8·p.
    Man ser nu på hvilke af de fire muligheder, der er lig med eller kan omskrives til dette:
    a) p - p·0,25 = 0,75·p
    b) p - p·0,20 = 0,80·p ✔
    c) p/1,25 = 0,80·p ✔
    d) 0,75·p
    Dvs. de rigtige formler er b) og c)

Svar på opgave 2: Højder og længder.

  1. Summen af vinklerne i en trekant er 180°. Man kender vinklerne A og C, som er lig med 45° og 90°. Disse giver tilsammen 135°. Til rest er der B = 180° - 135° = 45°. Dvs. vinkel A = vinkel B = 45°
  2. ΔABC er en ligebenet trekant, da den har to ens vinkler A og B. Disse kaldes grundvinklerne. Den sidste vinkel, C, er topvinklen. De to sider, der ligger mellem en grundvikel og topvinklen, kaldes benene og de er lige lange. Dvs. AC = b og BC = a er lige lange.
  3. Højden måles til 26,5 m ud fra nedenstående tegning i Geogebra:

    Det samme kan findes ved hjælp af trigonometri: tan(54°) = d/(18 m) ⇒ d = (18 m)·tan(54°). Højde = 1,7 m + d = 1,7 m + (18 m)·tan(54°) = 1,7 m + (18 m)·1,376 = 26,5 m.
  4. For en retvinklet trekant gælder, at (hypotenuse)·cos(v) = (hosliggende side til v), hvor v er en af de spidse vinkler. Trekanten fra opgaven er vist nedenfor.

    For den gælder, at man kender en vinkel og dens hosliggende side. Derfor får man, at 18·cos(54°) = f ⇒ cos(54°) = f/18. Dvs. Anders har ret

Svar på opgave 3: Fravær i 9. A.

  1. Elev nummer 1 har 2 dages fravær i august og 1 dages fravær i marts, i alt 3 dages fravær
  2. Gennemsnittet er summen af elevernes fravær for hele året divideret med antallet af elever. Antallet af elever er 24. Deres samlede fravær er 0 + 1 + 0 + 6 + 1 + 0 + 0 + 2 + 1 + 2 + 0 + 3 + 0 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 3 + 2 + 2 + 0 + 2 + 1 = 32.
    Dvs gennemsnittet af elevernes fravær i skoleåret 2017-2018 er: 32/24 = 1,33 dage
  3. Der er tre forskelle:
    1) April 2018 er ikke med på lærernes graf. Dermed ser det ud som om fraværet kun går op.
    2) Lærernes y-akse starter ved 10 fraværsdage. Dette får det til at se ud som om, der sker en større procentvis stigning end på elevernes graf.
    3) Lærernes y-akse har længere mellem enhederne end elevernes. Dette får det til at se ud som om den faktiske stigning er større.
  4. Hvis man regner elevernes månedlige gennemsnit ud, så får man følgende antal fraværsdage:
    August: 0,54; september: 0,58; oktober: 0,83; november: 1,00; december: 1,13; januar: 1,17; februar: 1,29; marts: 1,38; april: 1,33. Lægger man disse tal sammen, så får man gennemsnittet fra august 2017 til april 2018. Dette giver: 9,46 dage.
    Forskellen på 11 og 9,46 dage er 1,54 dage. Dvs. klassen skal have 1,54 fraværsdage i gennemsnit i maj, hvis hele årets gennemsnit skal komme over 11 dage.
    Dette er ikke sandsynligt, da det højeste antal fraværsdage for en enkelt månet er 1,38 (for marts) og da udviklingen er på vej ned (april er kun 1,33).

Svar på opgave 4: 9. A spiller et terningspil.

  1. Følgende terningkast giver 7 point:
    Rød: 2, hvid: 5
    Rød: 3, hvid: 4
    Rød: 4, hvid: 3
    Rød: 5, hvid: 2
    (En 6'er og en 1'er giver 0 point)
  2. Man opstiller et skema for pointtal. Øverste række er øjnene på rød terning og venstre søjle er øjnene på hvid:
      1 2 3 4 5 6
    1 0 0 0 0 0 0
    2 0 4 5 6 7 8
    3 0 5 6 7 8 9
    4 0 6 7 8 9 10
    5 0 7 8 9 10 11
    6 0 8 9 10 11 12

    Det ses, at de mulige point er 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 og 12
  3. Der er 11 0'er i tabellen. De svarer hver til et kast, hvor mindst en terning viser en 1'er. Der er 36 kast i alt.
    Sandsynligheden for at få et kast med mindst en 1'er er derfor 11/36 = 0,31 = 31 %

Svar på opgave 5: Kvadrater og forhold.

  1. For et kvadrat er omkredsen lig med 4 gange sidelængden. Dvs.
    4·sidelængde = 15 cm ⇒
    sidelængde = 15/4 cm ⇒
    sidelængde = 3,75 cm
  2. For et kvadrat er arealet lig med sidelængden i anden. Dvs.
    (sidelængde)2 = 15 cm2
    sidelængde = √[15 cm2] ⇒
    sidelængde ≈ 3,9 cm
  3. Man får svarende til før:
    (sidelængde)2 = a ⇒
    sidelængde = √a
  4. Et kvadrat med siden 1 har arealet 12 = 1 og et kvadrat med siden 2 har arealet 22 = 4. Forholdet mellem deres arealer er arealet af den ene divideret med arealet af den anden, dvs: 4:1
  5. Generelt gælder, at et kvadrat med siden a har arealet a2. Et kvadrat med siden b har arealet b2.
    Forholdet mellem de to arealer er a2/b2 = (a/b)2, dvs. forholdet mellem arealerne er forholdet mellem siderne i anden potens. Her er forholdet mellem siderne 3, og dermed bliver forholdet mellem arealerne 32 = 9. Dette gælder for alle kvadrater, hvor forholdet mellem siderne er 3.

Svar på opgave 6: Punkter, grafer og funktioner.

  1. Førstekoordinaterne vokser med 2 for hver gang, mens andenkordinaterne vokser med 5. Der skal derfor stå førstekoordinat: 8 og andenkoordinat: 20
  2. Sammenhængen er, at forholdet mellem en førstekoordinat og den tilsvarende andenkoordinat er konstant. Forholdet er (andenkoordinat)/(førstekoordinat) = 2,5
  3. De kan ligge på en linje med forskriften y = 2,5·x, dvs. en ret linje gennem (0,0) med hældningen 2,5.
  4. Billedet nedenfor viser tre grafer, der går gennem (0,0)

    Graf a har forskriften y = -3·x, graf b har forskriften y = 2·x og graf c har forskriften y = 0,3·x
  5. Det kan være en person, der køber flasker med sodavand, der hver koster 5 kr. Antallet af sodavand kaldes x og den samlede udgift kaldes y.
    Dette giver sammenhængen y = (5 kr.)·x