Folkeskolens problemregning for 9. klasse, maj 2017 | Oversigt

Svar på opgave 1: Lucas vil anlægge en terrasse

  1. Terassen er et rektangel. Arealet af et rektangel er længde gange bredde. Man får derfor følgende areal for terrassen: (6,30 m)·(4,20 m) = 6,30·4,20 m2 = 26,46 m226,5 m2

  2. Antallet af sække kaldes x. Der gælder, at x gange den enkelte sæks rumfang skal give rumfanget af grus til terrassen.

    Rumfanget af grus til terrassen er terrassens areal gange gruslagets tykkelse = (26,46 m2)·(0,15 m) = 3,969 m3.

    Man løser nu ligningen for antallet af sække: x·0,5 m3 = 3,97 m3 ⇔ x = 7,94.

    Dette tal skal rundes op til 8 sække som er det antal, der skal købes.

  3. Man starter med at regne ud hvor mange hele sten, der kan være på en række: (630 cm)/(21 cm) = 30 stk.

    Tilsvarende får man antallet af rækker af sten på terrassen til: (420 cm)/(14 cm) = 30 stk.

    Regnet fra oven skelner man mellem ulige rækker (1,3,5...) og lige rækker (2,4,6...). Da der er 30 rækker i alt, så er der 15 lige og 15 ulige rækker.

    De lige rækker består af 2 halve sten* og 29 hele, mens de ulige rækker består af 30 hele sten. Man får følgende for antallet af sten på terrassen:

    Antal hele sten = 15·30 + 15·29 = 885, antal halve sten: 15·2 = 30

    *) Begrundelse: Antag at en række består af én halv sten og ellers lutter hele. Dvs. at de hele sten skal fylde 630 cm - 10,5 cm = 629,5 cm. Det kan de ikke, da 21 ikke går op i 629,5. Derimod kan to halve og ellers hele sten lade sig gøre, da det svarer til lutter hele sten.

  4. Faldet er 2 cm for hver 100 cm. Dermed er det procentvise fald: (100 %)·(2 cm)/(100 cm) = 2 %

  5. Vinklen kan findes ved hjælp af en trigonometrisk formel for en retvinklet trekant. Hvis Lucas mor har ret, så skal der gælde, at 100·cos(88°) er 2.

    Der gælder imidlertid, at: 100·cos(88°) = 3,49 ≈ 3. Dvs. Lucas mor har ikke ret!

Svar på opgave 2: Merle vil sy en stjerne

  1. Antallet af romber gange 40° skal give 360° for stjernen. Antallet af romber kaldes x og man får følgende ligning for antallet af romber i stjernen

    x·40° = 360° ⇒ x = 360°/40° = 9 gange. Dvs. Merle skal bruge 9 romber til stjernen.

  2. Summen af vinklerne i en firkant er 360°. Da u og v er lige store, og da de to øvrige vinkler i romben er 40° hver, så gælder:

    2·v + 2·40° = 360° ⇒ v + 40° = 180° ⇒ v = 180° - 40° = 140°

  3. Nedenstående stjerne er tegnet i Geogebra. Den røde rombe er svaret på opgaven.

  4. Højden af stjernen er lig med to gange den længste diagonal i en af romberne. Halvdelen af den længste og den korteste diagonal i en rombe danner en retvinklet trekant, ABC, hvor hypotenusen, c, er side i romben. Den længste katete i den retvinklede trekant kaldes a. Dette er vist på nedenstående figur:

    Trekanten har, som man kan se, vinklerne: 30°, 60° og 90°. For denne type trekanter gælder, at c = 2·a/√3. Som det fremgår af tegningen nedenunder, så er a en fjerdedel af h.

    Man får, at c = 2·a/√3 = 2·(h/4)/√3 = 2·(40/4)/√3 = 20/√3.

    Dvs. rombens side er 20/√3 cm = 11,5 cm

Svar på opgave 3: Clara vil fremstille æblemost

  1. For at fremstille 96 kg æblemost skal Clara og hendes far købe 100 kg æbler. Af tabellen kan man udlede, at 20 kg æbler koster 75 kr. og dermed koster 100 kg æbler: (100 kg/20 kg)·75 kr. = 5·75 kr. = 375 kr.

    Dvs. Clara og hendes far skal betale 375 kr. for at lave æblemost af 96 kg æbler.

  2. Man skal beregne, hvor meget æblemost, der kan fremstilles af 1 kg æbler, og man får, at det er: (10 L)/(20 kg) = 0,5 L/kg.

    Dette skal ganges med 96 kg for at få det antal liter æblemost som kan fremstilles af 96 kg æbler. Man får: (96 kg)·(0,5 L/kg) = 48 L.

    Dvs. Clara og hendes far kan fremstille 48 L æblemost af 96 kg æbler.

  3. Man ved fra før, at x·(0,5 L/kg) = antal liter æblemost. Man kalder antal liter æblemost for y og får: x·(0,5 L/kg) = y ⇒ y = 2·x. Dvs formlen er :

    y = 2x, hvor y er mængden af æblemost i liter og x er vægten af æbler i kg.

  4. Nedenunder er opgaven løst grafisk i Geogebra. Den blå trappekurve viser, hvordan prisen (y) for at lave æblemost hos Æblelunden stiger, når man øger antallet af kg æbler (x). Den røde linje viser det samme for Saftpressen.

    Den kurve, som ligger øverst, er den dyreste. De to kurver skærer hinanden i tre punkter som vist. Disse punkter er for x = 40 kg, 45 kg og 60 kg.

    Facit: For x mindre end 40 kg, så er Saftpressen dyrest (rød er over blå).

    For x mellem 40 kg og 45 kg, så er Æblelunden dyrest.

    For x mellem 45 kg og 60 kg, så er Saftpressen dyrest.

    Endelige for x større end 60 kg, så er Æblelunden dyrest.

    Bemærkning: Detaljer for grafen kan ses på Geogebras hjemmeside.

Svar på opgave 4: Asbjørn vil så ærter

  1. Sandsynligheden for at ét ærtefrø vil spire er 70 %. Dvs. ud af 100 ærtefrø vil 70 spire. Heraf får man at ud af 12 frø vil 12·70/100 = 8,4 spire.

    Dette rundes af til 8 ærtefrø.

  2. Man laver en linje mellem 7 og 8 på x-aksen. Denne linje (vist med rødt) skiller antallet af simuleringer, der giver mindre end 8 spiringer, og dem der giver 8 eller flere.

    Det samlede antal simuleringer til venstre for den røde linje er 1 + 4 + 5 + 11 = 21. Dvs. 21 ud af 100 simuleringer giver, at mindre end 8 ærtefrø spirer af de 12.

    Dvs. sandsynligheden for at færre end 8 ærtefrø vil spire er (21/100)·100 % = 21 %

  3. Når flere ting skal ske samtidig, skal man gange deres sandsynligheder. Dvs. sandsynligheden for, at alle 12 ærter vil spire, er 0,712 = 0,014 = 1,4 %.

    Dette er mindre end 5 %.

    Se evt. også Excel-ark med 100 simuleringer. Røde tal i arket viser simuleringens nummer. Blå tal og bogstaver viser om en ært spirer eller ej. "S" = spirer tomt felt = spirer ikke. Grønne tal viser antal spiringer for hver simulering. Man kan få Excel-arket til at lave 100 nye simuleringer ved at stille markøren i et tomt felt og trykke Backspace eller baglæns sletning.

  4. Bemærkning: Opgaven bygger på binomialfordelingen, hvor sandsynligheden (p) for succes (dvs. spiring) er 0,7, og antallet forsøg (n) er 12. Forventningsværdien er p·n = 0,84 og sandsynligheden for lutter succeer er pn = 1,4 %.

    Alle sandsynligheder er beregnet i Excel og vist på grafen nedenunder, hvor x-aksen viser antal spiringer og y-aksen viser sandsynligheden:

Svar på opgave 5: Ligebenede trekanter

  1. Den nemmeste måde at lave en ligebenet trekant med omkredsen 18 er at vælge en ligesidet trekant med alle sider lig med 6. Denne er ligebenet og har omkredsen 3·6 = 18.

  2. Der gælder at omkredsen er lig med to gange s (side- eller benlængden) plus grundlinjen. Man kalder grundlinjen x og får ligningen:

    18 = 2·s + x, der løst med hensyn til x giver: x = 18 - 2·s.

    Dvs. formlen for grundlinjen er 18 - 2s

  3. Den ligebenede trekant består af to ens retvinklede trekanter. Den ene af de retvinklede trekanter kaldes ABC. Den har som vist nedenunder sidelængderne: h, 4 og 5:

    Af Pythagoras læresætning for en retvinklet trekant følger, at: h2 = 52 - 42 ⇒ h2 = 9 ⇒ h = 3.

    Dvs. højden i den ligebende trekant er 3

  4. Man kan godt lave en anden trekant med samme areal som den, der er vist i opgaven.

    Den nemmeste måde, at vise det på, er at dele den oprindelige ligebenede trekant op i to retvinklede trekanter og vende dem om som vist nedenunder:

    Den viste trekant til højre har grundlinjen 6 og siderne 5.

Svar på opgave 6: Trappefigurer

  1. Trappefiguren er vist nedenunder:

    Man tegner figuren ved at starte med række 4 og derefter bygge ovenpå indtil, at man når til række 1, der er den øverste.

  2. En trappefigur med 10 rækker (r=10) og eet kvadrat i række 1, vil i følge formlen have følgende antal kvadrater i alt:

    102 kvadrater = 100 kvadrater

  3. En trappefigur med 2 kvadrater i række 1 svarer til en trappefigur med 1 kvadrat i række 1, hvor man lægger et ekstra kvadrat til i hver række. Dette er vist nedenunder:

    Da antallet af kvadrater i en trappefigur med et kvadrat i række 1 har r2 kvadrater, så vil en trappefigur med to kvadrater i række 1 og r rækker ialt have r2 + r, da den har 1 ekstra kvadrat for hver række.

    Dette kan også skrives K2 = r2 + r

  4. Man skal finde Kn når n = 10 og r = 100. Dette antal er 100·(100 - 1 + 10) = 10900

  5. Kn = r·(r - 1 + n) =

    r2 - r·1 + r·n =

    r·n - r·1 + r2 =

    r·(n - 1) + r2