Folkeskolens problemregning for 9. klasse, december 2016 | Oversigt

Svar på opgave 1: Astrid og Victor i svømmehallen

  1. Astrid skal have følgende beløb tilbage: 200 kr. - 2·(46 kr.) = (200 - 92) kr. = 108 kr.

  2. Antallet af gange, som Victor går i svømmehallen, kaldes x. Den årlige pris for x ture i svømmehallen er x·(46 kr.). Dette beløb må ikke være større end 900 kr.

    Det x, som gør de to beløb lige store, findes af følgende ligning: 900 kr. = x·(46 kr.) ⇔ (900 kr.)/(46 kr.) = x ⇔ x = 900/46 gange ⇔ x = 19,6 gange.

    Man undersøger om dette skal rundes op eller ned: 19 gange i svømmehallen koster 19·(46 kr.) = 874 kr. 20 gange i svømmehallen koster: 20·(46 kr.) = 920 kr.

    Dvs., hvis han går 20 gange i svømmehallen eller mere, kan det bedst betale sig for ham at købe et årskort.

  3. Den procentvise besparelse ved at bruge et ti-turskort frem for ti enkeltbiletter er:

    (100 %)·(pris for ti enkeltbiletter - pris for et ti-turskort)/(pris for ti enkeltbiletter) =

    (100 %)·[(10·46 kr.) - (375 kr.)]/(10·46 kr.) =

    (100 %)·(460 kr. - 375 kr.)/(460 kr.) =

    (100 %)·(85 kr.)/(460 kr.) =

    (100 %)·(85/460) =

    (100 %)·0,18478 = 18,48 % ≈ 18 %

    Dvs. oplysningen er rigtig, når man runder af til nærmeste hele antal procent.

  4. Man finder først antallet af ti-turskort, der skal til, før prisen på ti-turskort overstiger prisen på et årskort. Dette antal kaldes x.

    x ti-turskort koster x·375 kr. Dette sættes lig med prisen på et årskort, som er 900 kr., for at finde det x, som giver samme pris.

    x·375 kr. = 900 kr ⇔ x = 900/375 ti-turskort ⇔ x = 2,4 ti-turskort.

    Man undersøger om der skal rundes op eller ned:

    To ti-turskort koster 2·375 kr. = 750 kr. Tre ti-turskort koster 3·375 kr. = 1125 kr.

    Dvs. to ti-turskort er billigere end et årskort, mens tre ti-turskort er dyrere. Tre ti-turskort svarer til mellem 21 og 30 besøg i svømmehallen.

    De skal derfor gå mindst 21 gange i svømmehallen før et årskort er billigere end at bruge ti-turskort.

Svar på opgave 2: Regnvandstank

  1. Areal = 2·(10,1 m)·(5,9 m) ≈ 119 m2

  2. Nedenfor er venstre halvdel af taget tegnet i Geogebra. Ved hjælp af vinkel værktøjet er v målt til 40°

    Man kan også benytte, at tangens til v er lig med (3,8m)/(4,5m) = 0,844444, hvilket giver, at

    v = tan-1(0,8444) = 40°.

  3. I følge modellen får man vandforbruget:

    O = 119·(40/360 + 0,6)·900 L = 78.540 L

  4. Tanken er cylinderformet. Denne cylinder har rumfanget: højde gange radius i anden gange pi. Man får:

    Rumfang: (1,8m)·(1,6m/2)2·π =

    (1,8 m)·(0,8 m)2·π =

    (1,8·0,64·π) m3 =

    3,61911 m3 =

    3,61911·(10 dm)3 =

    (3,61911·103) dm3 =

    3.619,11 dm3 =

    3.619 L

    Da tanken ikke er helt cylinderformet, men snævrer ind foroven, passer det, at tanken kan have rumfanget 3500 L, der er lidt mindre end det fundne.

  5. Rumfanget af hullet er i følge formlen: (1/3)·π·(1,8 m)·((4,3/2)2+(1,6/2)2+(4,3/2)·(1,6/2)) = 13,2 m3

Svar på opgave 3: Vandforbrug i brusebad

  1. Vandforbruget er (14 L/min.)·(8,5 min.) = 119 L

  2. Prisen for et fem minutters brusebad er (5 min.)·(14 L/min.)·(0,10 kr./L) = 7,0 kr.

  3. Formlen er (7,0·n) kr.

  4. Man kalder tiden, som hun tager bad, for x (med enheden minutter). Prisen for et bad er x·(8 L/min.)·(0,10 kr./L) = x·0,8 kr. Dette skal koste 7,0 kr, dvs. man får ligningen: x·0,8 = 7,0 ⇒ x = 7,0/0,8 = 8,75.

    Dvs. hun kan tage bad i 8,75 minutter = 8 min. 45 sek. for 7,0 kr. med den nye bruser.

  5. Et bad på 5 minutter koster 7,0 kr. med den gamle bruser. Med den nye bruser koster et bad på 5 minutter: (5 min.)·(8 L/min.)·(0,10 kr./L) = 4,0 kr.

    Besparelsen pr. 5 minutters bad er (7,0 - 4,0) kr. = 3,0 kr. Den nye bruser koster 995 kr. Man finde det antal bade, der gør at besparelsen i udgift til vand er lig med 995 kr.

    Hvis antallet af bade kaldes x, så er besparelsen i alt x·3,0 kr. Man får derfor ligningen: x·3,0 = 995 ⇒ x = 995/3,0 = 331,7.

    Dvs. der skal 332 bade til før den nye bruser er tjent hjem.

Svar på opgave 4: Vandforbrug i boligforening

  1. Forbrug af vand på Nyvej 3: (82 + 51 + 144 + 84 + 120 + 148 + 148 + 108 + 160 + 86) m3 = 1131 m3

    Forbrug af vand på Nyvej 5: (144 + 153 + 93 + 130 + 150 + 108 + 54 + 150 + 145 +57) m3 = 1184 m3

    Dvs. der bliver brugt mest vand på Nyvej 5

  2. En kubikmeter er lig med 1000 L. Viktors familie bruger i gennemsnit: (144 m3/365 dage) = 144.000/365 L/dag = 395 L/dag

  3. Man opstiller forbruget for lejlighederne i nummerorden:

    Nyvej 3: 32,36,36,37,37,40,41,42,43,51

    Nyvej 5: 25,26,29,30,31,36,51,54,54,57

    Der er ti tal for hver ejendom. Tallene på pladserne 5 og 6 står i midten. De er markeret med rødt. Deres gennemsnit er medianen.

    For Nyvej 3 får man medianen: (37+40)/2 = 77/2 = 38,5

    For Nyvej 5 får man medianen: (31+36)/2 = 67/2 = 33,5

    Medianen er det vandforbrug som halvdelen af lejlighederne i den enkelte ejendom ligger under. Dvs. halvdelen af lejlighederne i ejendommen med adressen Nyvej 3 har et vandforbrug pr. person på under 38,5 m3, mens halvdelen af lejlighederne på Nyvej 5 har et vandforbrug pr. person på under 33,5 m3.

    Variationsberedden er forskellen på største og mindste værdi for hver ejendom. Man får

    Nyvej 3: mindste værdi: 32, største værdi: 51. Variationsbredde: 51 - 32 = 19

    Nyvej 5: mindste værdi: 25, største værdi: 57. Variationsbredde: 57 - 25 = 32

    Middeltaller er gennensnittet for forbruget for hver ejendom. Man får

    Nyvej 3: middeltal: (32+36+36+37+37+40+41+42+43+51)/10 = 39,5

    Nyvej 5: middeltal: (25+26+29+30+31+36+51+54+54+57)/10 = 39,3

    Konklusion: Medianen for Nyvej 3 er 38,5 m3 og dermed større end medianen for Nyvej 5, som er på 33,5 m3. Middeltallene er derimod næsten ens for de to ejendomme (39,5 m3 for Nyvej 3 henholdsvis 39,3 m3 for Nyvej 5), hvilket kan forklares ved at nogle få lejligheder på Nyvej 5 har et meget stort forbrug.

    Det sidste passer også med, at Variationsbredden er større for Nyvej 5 i forhold til for Nyvej 3. For Nyvej 3 er variationsbredden 19 m3, mens den for Nyvej 5 er 32 m3.

  4. Man kan regne ud hvor mange personer, der er i hver lejlighed, ved at dividere det gennemsnitlige forbrug pr. person op i det samlede vandforbrug for lejligheden.

    Dernæst skal man gruppere lejlighederne med samme antal personer og opstille grupperne i nummerorden efter antallet af personer. Dette er vist nedenunder:

    For hver gruppe regner man det gennemsnitlige vandforbrug pr. person ud:

    Gennemsnitligt forbrug for lejligheder med ...

    Een person: (51 + 54 + 57)/3 m3 = 54 m3

    To personer: (41 + 42 + 43 + 54)/4 m3 = 45 m3

    Tre personer: (40 + 36 + 51 + 31)/4 m3 = 39,5 m3

    Fire personer: (36 + 37 + 37 + 36)/4 m3 = 36,5 m3

    Fem personer: (32 + 26 + 30 + 29)/4 m3 = 29,25 m3

    Seks personer: 25 m3

    Disse tal kan samles i nedenstående tabel:

    Ud fra tabellen kan man lave følgende kurve i Geogebra:

    Kurven viser at jo flere, der bor i en lejlighed, jo mindre vand bruger den enkelte.

Svar på opgave 5: Firkanter i trekanter

  1. Nedenfor er tegnet en trekant med en firkant i Geogebra.

  2. Vinklen v indgår i en retvinklet trekant, som er vist med blå farve på nedenstående tegning.

    Da den røde firkant er et kvadrat er alle dens sider lige lange. Da den ene side i firkanten deler den nederste side i trekanten i tre lige store stykker er den blå trekant ligebenet, hvor v er en grundvinkel.

    Da de to grundvinkler i en ligebenet trekant er lige store og da summen af vinklerne i en trekant er 180°, ses det, at v = (180° - 90°)/2 = 45°

    32

  3. Man kan vise, at de to vinkler forneden i den store trekant er 45° på grund af symmetri omkring en linje midt gennem kvadratet.

    Dermed er den øverste vinkel lig med 90° i følge reglen om, at vinkelsummen i en trekant er 180°: w = 180° - 45° - 45° = 90°

  4. I følge facitlisten kan man nøjes med at lave forskellige tegninger af trekanten med en rombe indtegnet og vise, at de alle giver 90° som den øverste vinkel i trekanten.

    Man kan også lave et formelt bevis, der bygger på vinkler. På nedenstående tegning er vinkler med samme farve lige store.

    Man har, at ∠C = ∠A + ∠E. Man skal vise, at vinkel A og vinkel E til sammen er 90°. Hertil benyttes, at trekanterne ABG og DEF begge er ligebenede. Det giver:

    ∠A = 90° - (1/2)·∠AGB og ∠E = 90° - (1/2)·∠DFE

    Det fremgår desuden, at ∠AGB + ∠DFE = 180°. Dette giver tilsammen:

    ∠A + ∠E = (1/2)·[(180° - ∠AGB) + 180° - ∠DFE] ⇔

    ∠A + ∠E = (1/2)·[360° - (∠AGB + ∠DFE)] ⇔

    ∠A + ∠E = (1/2)·[360° - 180°] ⇔

    ∠A + ∠E = (1/2)·180° ⇔

    ∠A + ∠E = 90°

    Dermed er vinkel C = 180° - (∠A + ∠E) = 180° - 90° = 90°, hvilket skulle bevises.

Svar på opgave 6 (Sumfigurer):

  1. Sumfiguren er vist nedenunder:

  2. De lige tal kan stå der. Hvis der står et ulige tal, vil der komme til at stå et lige og et ulige tal i to af de hvide felter, mens der står to lige i de to andre. Dette kan ikke give samme sum, og er derfor udelukket.

  3. Der gælder ligningerne: 2n + 1 + 5n + 8 = 10n - 3 + n + 4 ⇔

    2n + 5n + 1 + 8 = 10n + n - 3 + 4 ⇔

    7n + 9 = 11n + 1 ⇔

    7n - 11n = -9 + 1 ⇔

    -4n = -8 ⇔

    n = -8/(-4) ⇔

    n = 2

  4. Man har ligningerne: Lodret: 2n + m + 5 = 15, vandret: 5 + 3m + n = 15 det giver:

    2n + m + 5 = 15 ∧ 5 + 3m + n = 15

    m = 10 - 2n ∧ 5 + 3·(10 - 2n) + n = 15

    m = 10 - 2n ∧ 5 + 30 - 6n + n = 15

    m = 10 - 2n ∧ -6n + n = 15 - 35

    m = 10 - 2n ∧ -5n = -20

    m = 10 - 2·4 ∧ n = 4

    m = 2 ∧ n = 4

  5. Man får den største sum, hvis n + 4 står i det grønne felt. Dette er vist med eksempler nedenunder:

    Mere formelt kan man vise det på følgende måde:

    Summen af alle felter er n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10. Tallet i det grønne felt kaldes x.

    Dette giver: Summen vandret = x + (5n + 10 - x)/2 = (1/2)·x + (5/2)·n + 5. Dette viser, at jo større tallet i det grønne felt er, jo større er den vandrette og dermed også den lodrette sum.