Folkeskolens problemregning for 9. klasse, december 2015 | Oversigt

1. I praktik i en boghandel.

Mie er i praktik i en boghandel. Hun ekspederer kunder ved kassen. En kunde køber en bog til 132,50 kr. Kunden betaler med 200 kr.

  1. Hvor mange penge skal Mie give kunden tilbage?

  2. En anden kunde køber bøger for 725,50 kr. Kunden vil betale med sit dankort og vil hæve 500 kr. ud over det beløb, som han skal betale for bøgerne. Mie skal taste det samlede beløb ind på dankortterminalen.

  3. Hvor stor er det samlede beløb, som Mie skal taste ind på terminalen?

  4. Boghandlen giver 20 % i rabat på ungdomsbøger i den uge, hvor Mie er i praktik. En kunde køber en ungdomsbog, der normalt koster 189,95 kr.

  5. Hvor mange penge skal kunden betale for ungdomsbogen, når boghandlen giver 20 % i rabat?

  6. Mie overvejer, hvordan hun generelt kan beregne, hvor mange penge kunderne skal betale, hvis de får 20 % i rabat på en vare. Herunder er fire forskellige regneudtryk, som Mie overvejer at bruge. I regneudtrykkene står p for varens pris.

    1.  p·0,80

    2.  p - p·(20/100)

    3.  p - (p·100/20)

    4.  (p·80 - 20)/100

    Kun to af regnestykkerne kan bruges til at beregne, hvor mange penge kunderne skal betale, hvis de får 20 % i rabat på en vare.

  7. Hvilke af de to regneudtryk kan bruges? Du skal begrunde dit svar.

Svar på opgave 1: I praktik i en boghandel.

  1. Mie skal give 200,00 kr. - 132,50 kr. = 67,50 kr. tilbage

  2. Mie skal taste 725,50 kr. + 500,00 kr. = 1.225,50 kr. ind på dankortterminalen.

  3. Kunden skal betale: 189,95 kr. · 0,80 = 151,96 kr. for ungdomsbogen.

  4. Det rigtige udtryk er p·0,8.

    a) er lig med dette udtryk og b) kan omskrives til det: p - p·(20/100) = p·(1 - 0,20) = p·0,8. De andre kan ikke omskrives til p·0,8. Dermed er a) og b) de rigtige svar.

    (Facitlisten indsætter tallene fra delopgave 1.3 for at se om man får det rigtige facit, nemlig 151,96 kr. Dette kræver selvfølgelig, at man fandt det rigtige facit i 1.3)

2. I praktik som murer.

Kaj er i praktik som murer. Han skal være med til at bygge en mur af mursten og mørtelblanding. Muren er vist på skitsen nedenunder.

Murens sideflader har form som rektangler.

  1. Du skal vise ved beregning, at arealet af murens ene sideflade er 9,80 m2

  2. Kaj skal beregne, hvor mange mursten, der skal bruges til muren. Muren har to sideflader, der hver har arealet 9,80 m2. Der skal bruges ca. 66 mursten pr. kvadratmeter.

  3. Hvor mange musten skal der ca. bruges til at bygge muren?

  4. Kaj skal fremstille en mørtelblanding, som han skal bruge til at bygge muren. Mørtelblandingen fremstiller han ved at blande cement og kalkmørtel. Vægtforholdet mellem cement og kalkmørtel skal være 1:8.

  5. Hvor mange kilogram kalkmørtel skal Kaj bruge til en sæk med 25 kg cement?

  6. På sækkene med kalkmørtel står der kun, at hver sæk rummer 15 L. Murermesteren fortæller, at 1 kg cement fylder ca. 0,9 L, og at rumfangsforholdet mellem cement og kalkmørtel skal være 1:6.

  7. Hvor mange kilogram cement skal Kaj bruge til en sæk, der rummer 15 L kalkmørtel?

Svar på opgave 2: I praktik som murer.

  1. Arealet af endefladen er 7,00 m · 1,4 m = 9,80 m2

  2. Der skal bruges (ca. 66 mursten/m2) · 2 · 9,80 m2 = ca. 1.294 mursten

  3. Der skal bruges: 25 kg · 8 = 200 kg kalkmørtel

  4. Rumfangsforholdet mellem cement og kalkmørtel er 1:6, dvs. der skal bruges (15 : 6) L cement = 2,5 L cement. 1 kg cement fylder 0,9 L, dvs. at 1 L cement vejer: (1/0,9) kg = 1,11 kg. Vægten af 2,5 L cement bliver: (1,11 kg/L) · 2,5 L cement = 2,78 kg cement

3. I praktik som journalist.

Linda og Marianne er i praktik på en avis. De skal skrive en artikel om, hvor mange personer der er indvandret til og udvandret fra Danmark. De har fundet oplysningerne i tabellen herunder hos Danmarks Statistik. Tabellen findes også på filen JOURNALIST_DEC_2015.

  1. Hvilket år var forskellen størst mellem folk, der indvandrede og antallet af personer, der udvandrede.

  2. Linda og Marianne vil gerne bruge et diagram til at vise udviklingen i antallet af personer, der indvandrede. De har ud fra tallene i tabellen øverst fremstillet hvert deres diagram. De to diagrammer er herunder.

  3. Forklar hvorfor diagrammerne ser forskellige ud selvom de viser det samme.

  4. Linda og Marianne overvejer om der også skal være et diagram, der viser antallet af personer, der udvandrede.

  5. Fremstil et diagram, der viser antallet af personer, der udvandrede fra Danmark hvert år fra 2005 til 2014.

  6. Beskriv i en kort tekst udviklingen i antallet af personer, der indvandrede til og udvandrede fra Danmark fra 2004 til 2014. I din tekst skal du bl.a. gruge ordene stigning, flad og procent.

Svar på opgave 3: I praktik som journalist.

  1. Den største forskel er i 2014. Den er på: 86.683 - 49.218 = 37.465 personer

  2. Værdiakserne er ikke ens. Den ene starter ved 0 og den anden ved 50.000.


  3. Der er en stigning i antallet af indvandrere fra 2005 til 2008. Der sker et fald i peroden 2008 til 2009, derefter sker igen en stigning. I alt der der 65% flere indvandrere i 2014 end i 2005.

    Antallet af udvandrere steg fra 2005 til 2006, men faldt igen 2006 til 2007. Herefter steg antallet fra 2007 til 2014. I alt var der 7 % flere udvandrere i 2014 end i 2005.

4. I praktik som arkitekt.

Kim er i praktik som arkitekt. Han har fået til opgave at tegne en port, der har form som skitsen herunder.

Kim har fået at vide, at trekant ABC er ligesidet, og at den røde kurve fra A til B og den røde kurve fra B til C er cirkelbuer, hvor AC er radius.

  1. Fremstil en præcist tegning for den port, der er vist på skitsen.
  2. Trekant ABC på skitsen er delt i to kongruente retvinklede trekanter dens højde h. Trekantens højde, h, svarer til portens højde og afstanden fra A til C svarer til portens bredde.

  3. Hvor stor er portens højde, hvis portens bredde er 3 m?
  4. Kim får at vide, at porten skal have en højde på 4 m.

  5. Hvor stor skal portens bredde være, for at porten får højden 4 m?

Svar på opgave 4: I praktik som arkitekt.


  1. På en ret linje vælges punkterne A og C. To cirkler tegnes med A henholdsvis C som centrum og radius |AC|. De to cirkler skærer hinanden i punktet B. Linjestykket AC og cirkelbuerne AB og BC fremhæves.


  2. Der gælder, at |AC| = 3 m. Desuden ses af tegningen, at |AH| = 0,5·|AC| = 1,5 m. Ved hjælp af Pythagoras læresætning får man:

    h2 + |AH|2 = |AC|2 ⇒ h2 + (0,5·|AC|)2 = |AC|2 ⇒ h2 + 1,52 = 32 ⇒ h2 = 9 - 2,25 ⇒ h = √(6,75) = 2,60. Dvs. portens højde er 2,60 m

  3. Som ovenfor gælder: h2 + (0,5·|AC|)2 = |AC|2. Man får

    h2 + (0,5·|AC|)2 = |AC|2 ⇒ 42 = (1·|AC|)2 - (0,5·|AC|)2 ⇒ 16 = (1 - 0,52)·|AC|2 ⇒ 16 = (1 - 0,25)·|AC|2 ⇒ 16 = 0,75·|AC|2 ⇒ |AC| = √(16/0,75) = 4,62. Dvs. portens bredde er 4,62 m

5. Sekskanter.

Figur nr. 1, 2, 3 og 4 er de fire første sekskanter i en figurfølge. Sekskanterne i figurfølgen fortsætter med at blive større og større på den måde, som figur nr. 1, 2, 3 og 4 viser.

Omkredsen af figur nr. 4 er 24.

  1. Hvor stor er omkredsen af figur nr. 5?

  2. Hvor stor er omkredsen af figur nr. n?

  3. Figur nr. 1 indeholder 6 enhedstrekanter.

    Tn = 6·n2

    n er figurnummeret

    Tn er antallet af enhedstrekanter i figur nr. n.

  4. Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem antalllet af enhedstrekanter i sekskanten og sekskantens figurnummer.

  5. Hvor mange enhedstrekanter indeholder figur nr. 9?

  6. Hvilke figurnumre har de sekskanter, der indeholder mere end 1000 enhedstrekanter?

Svar på opgave 5: Figurfølge af sekskanter.

  1. Omkredsen af figur nr. 6 er 6·5 = 30

  2. Omkredsen af figur nr. n er 6·n


  3. Figur nummer 9 indeholder 6·9 = 6·81 = 486 enhedstrekanter

  4. Man skal finde den værdi af det reelle x, der gør at 6·x2 = 1000 og finde det mindste hele tal n, der gør, at 6·n2 > 1000. Man får:

    6·x2 = 1000 ⇒ x = √(1000/6) = 12,9. Dvs. n skal være større end 12

    (Facitlisten siger "større end 13", men det må være en fejl. Svaret er enten "større end eller lig med 13" eller "større end 12").

6. Retvinklede og ligesidede trekanter.

Skitse 1 viser en retvinklet trekant, ABC. Siden a har længden 4, og siden b har længden 3.

  1. Du skal vise med regning eller beregning, at siden c har længden 5

  2. På skitse 2 er der tilføjet ligesidede trekanter på hver af trekant ABC's sider.

  3. Fremstil en præcis tegning af trekant ABC med de tilføjede ligesidede trekanter. Brug evt. et digitalt værktøj.

  4. Du kan beregne arealet af en ligesidet trekant med formlen i den gule boks.

    A = ½ · s2 · sin(60°)

    A er arealet af en ligesidet trekant

    s er sidelængden i en ligesidet trekant.

  5. Du skal vise, at arealet af de to mindste ligesidede trekanter på skitse 2 tilsammen er lige så stor som arealet af den største ligesidede trekant på skitse 2. Vis dit svar med beregning eller et digitalt værktøj.

  6. Kaj har opdaget, at hvis han tilføjer ligesidede trekanter på siderne af en trekant, vil det i nogle tilfælde gælde, at arealet af de to mindste ligesidede trekanter tilsammen er lige så stort som arealet af det største.

  7. Undersøg med beregning eller med et digitalt værktøj, om Kajs opdagelser gælder for enhver trekant.

  8. Du skal bevise, at Kajs opdagelse gælder for enhver retvinklet trekant. Brug evt. skitse 4 og formlen i den gule boks i dit bevis.

Svar på opgave 6: Retvinklede og ligesidede trekanter.

  1. Det følger af Pythagoras læresætning: c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = 42 + 32 ⇒ c = √(16 + 9) = 5


  2. Aa er arealet af den ligesidede trekant med siden a, Ab er arealet af den ligesidede trekant med siden b og Ac er arealet af den ligesidede trekant med siden c.

    Aa = ½ · a2 · sin(60°) = a2 · √(3)/4 = (16/4) · √(3)

    Ab = ½ · b2 · sin(60°) = b2 · √(3)/4 = (9/4) · √(3)

    Ac = ½ · c2 · sin(60°) = c2 · √(3)/4 = (25/4) · √(3)

    Summen af de små arealer er: Aa + Ab = (16/4) · √(3) + (9/4) · √(3) = (25/4) · √(3) = arealet af den store ligesidede trekant. Dermed er summen af de små ligesidede trekanter lig med arealet af den store.

  3. Den gælder ikke for enhver trekant. F.eks. gælder den ikke for følgende trekant:

    Her er summen af arealerne af de små trekanter = 4,7 + 6,93 = 11,63, der er forskellig fra 15,59, som er arealet af den store ligesidede trekant.

  4. Fra svaret på opgave 3 har man, at summen af de to små trekanter er: a2 · √(3)/4 + b2 · √(3)/4 = (a2 + b2) · √(3)/4. Arealet af den store trekant er c2 · √(3)/4.

    Da trekant ABC i skitse 4 er retvinklet gælder at a2 + b2 = c2. Det giver at summen af de små ligesidede trekanter er (a2 + b2) · √(3)/4 = c · √(3)/4. Dermed er summen af arealerne af de små ligesidede trekanter lig med arealet af den store ligesidede trekant, når trekanten, som de sidder på er retvinklet.