Folkeskolens problemregning for 9. klasse, maj 2015 | Oversigt

1. Køb af smartphone

Olivia vil købe en ny smartphone. Hun undersøger prisen på den smartphone, hun vil købe, i to forretninger. I den ene forretning, Telefonboden, koster den 3.995 kr., og i den anden forretning, Mobilbasaren, koster den 4.325 kr.

  1. Hvor mange penge sparer Olivia, hvis hun køber den nye smartphone i Telefonboden i stedet for i Mobilbasaren?

  2. Olivia ser i en reklame, at der snart er udsalg i Mobilbasaren, og at hun kan få 15 % i rabat på den nye smartphone.

  3. Du skal med en beregning vise, at prisen for den nye smartphone bliver 3.676,25 kr. på udsalg i Mobilbasaren.

  4. Olivia ved, at der også snart er udsalg i Telefonboden.

  5. Hvor mange procent skal Telefonboden give i rabat, hvis deres pris på den nye smartphone skal være 3.676,25 kr. som i Mobilbasaren.

  6. Olivia finder ud af, at Telefonboden kun vil give 5 % i rabat på den nye smartphone, der koster 3.995 kr., men at hun også kan få 200 kr. for sin gamle smartphone, hvis hun køber sin nye smartphone der.

  7. Er det billigst for Olivia at købe den nye smartphone i Mobilbasaren eller i Telefonboden, når der er udsalg begge steder, og når hun får 200 kr. for sin gamle smartphone i telefonboden? Du skal begrunde dit svar.

Svar på opgave 1: Køb af smartphone

  1. Hun sparer: 4.325 kr. - 3.995 kr. = 330 kr.

  2. Ny pris: 4.325 kr. - rabat = 4.325 kr. - (4.325 kr.)·0,15 = 3.676,25 kr.

  3. Procentsatsen for rabatten kaldes x. Der gælder, at: 3.995 kr. - (3.995 kr.)·x = 3.676,25 kr. ⇒ 3.995 kr.·(1 - x) = 3.676,25 kr. ⇒ 1 - x = 3.676,25/3.995 ⇒ x = 1 - 3.676,25/3.995 ⇒ x = 0,0798 = 8,0 %

  4. Samlet pris for Teleboden er : 3.995 kr. - (3.995 kr.)·0,05 - 200 kr. = 3.595,25 kr. Det betyder, at Teleboden er billigst.

2. Skærmstørrelsen på en smartphone

Olivia har læst at skærmstørrelsen på den nye smartphone, hun vil købe, er 4,0 tommer. Hun tænker på hvad de 4,0 tommer betyder for skærmens længde og bredde.

Olivia ved, at skærmen på en smartphone har form som et rektangel, og at skærmstørrelsen svarer til længden af diagonalen i rektanglet. Hun ved også, at en tomme svarer til 2,54 cm.

  1. Du skal vise med beregning, at diagonalen på den smartphone, Olivia vil købe, er ca. 10,2 cm.

  2. Olivia vil prøve at tegne, hvordan skærmen på den nye smartphone kan se ud.

  3. Tegn to rektangler, der begge har en diagonal på 10,2 cm. De to rektangler skal have forskellige størrelser. Brug evt. et digitalt værktøj. Hvis du bruger et digitalt værktøj, behøver enheden ikke at være centimeter.

  4. Olivia har også læst, at forholdet mellem skærmens længste og korteste side er 16,9. Hun gætter på, at den korteste side er ca. 5 cm.

  5. Undersøg med beregning og/eller tegning, om det er rigtigt, at den korteste side er ca. 5 cm, når skærmstørrelsen er 4,0 tommer, og når forholdet mellem skærmens længste og korteste side er 16:9.

Svar på opgave 2: Skærmstørrelsen på en smartphone

  1. Diagonalen er 4·2,54 cm = 10,2 cm

  2. To rektangler med diagonalen 10,2.

  3. Sæt korteste side = x og længste side i rektanglet = y. Når forholdet mellem længste og korteste side er 16:9 gælder, at y/x = 16/9 ⇒ y = x·16/9.

    Hvis x = 5 bliver den længste side y = 5·16/9 = 8.8889

    De to sider af rektanglet skal sammen med diagonalen opfylde Pythagoras læresætning, da de danner en retvinklet trekant. Man får :

    52 + 8.88892 = 104.01 ≈ kvadratet på diagonalen = 10,22 = 104,04

    Dette viser, at den korteste side er ca. 5.

3. Mobilabonnement

Olivia køber mobilabonnementet, der er beskrevet herunder.

4 TIMERS TALE, 2 GB, 79 -/MD, MIN. PRIS FOR 1. MD. : 128 KR.

Du får:
Abonnement til 79 kr. pr. måned
4 timers taletid pr måned
2 GB data
Fri sms og mms
Opkaldsafgift: 0 øre
Oprettelse: 49 kr.
Binding: 6 måneder
Når du har brugt 4 timer taletid, koster taletiden 35 øre pr. minut

Mobilabonnementet koster 79 kr. pr. måned, og desuden koster det 49 kr. at oprette abonnementet. Olivia skal betale for abonnementet i mindst 6 måneder.

  1. Hvor meget skal Olivia i alt betale for at oprette og have abonnementet i 6 måneder.

  2. Skriv et regneudtryk, som Olivia kan bruge til at beregne, hvor mange penge hun i alt skal betale for at oprette og have abonnementet i n måneder. (Det antages, at hun ikke taler mere end 4 timer om måneden).

  3. Olivias abonnement inkluderer 4 timers taletid pr. måned. Hun skal betale 35 øre pr. minut, hun taler ud over 4 timer. Da hun har haft mobiltelefon i nogle måneder, opdager hun, at hun bruger mere end 4 timers taletid om måneden.

  4. Hvor meget skal Olivia i alt betale en måned, hvor hun bruger 5 timer og 20 minutters taletid.

  5. Tegn i et koordinatsystem en graf, der viser sammenhængen mellem det antal minutter, Olivia bruger i taletid på en måned, og det beløb, hun skal betale i alt for abonnementet og taletiden denne måned.

Svar på opgave 3: Mobilabonnement

  1. Olivia skal betale 49 kr. + 6·79 kr = 523 kr.

  2. Regneudtrykket er 49 + n·79 kr (Facitlistens svar).

    Tager man hensyn til at minimumsprisen for første måned er 128 kr. bliver udtrykket 98 + n·79 kr

  3. Hun skal betale 79 kr. + (5 timer + 20 minutter - 4 timer)·0,35 kr. = 79 kr. + 80 min.·0,35 kr = 107 kr.

  4. Samlede udgifter for abonnement plus taletid tegnet i Excel.

    Diagrammet er baseret på disse tal, hvor kolonne A er x-værdierne og kolonne B er y-værdierne:

4. På Facebook

Olivia og hendes klassekammerater har undersøgt, hvor tit de bruger deres smartphones til at være på Facebook. Observationssættet herunder viser, hvor mange gange hver elev var på Facebook en bestemt dag.

35, 40, 25, 50, 18, 40, 30, 35, 40, 35, 20, 20, 40, 60, 50, 45, 50, 2, 40

  1. Beregn observationssættets variationsbredde

  2. Fremstil et diagram, der viser fordelingen af observationerne.

  3. Olivia har fundet ud af at observationssættets median er 40.

  4. Forklar hvad observationssættets median viser om, hvor tit eleverne bruger deres smartphones til at være på Facebook.

  5. Olivia og hendes klassekammerater undersøger samme dag, hvor mange gange resten af eleverne fra 6.-9. klasse på deres skole brugte smartphones til at være på Facebook. Diagrammet herunder viser resultatet af deres undersøgelse.

  6. Skriv en kort tekst, hvor du beskriver resultatet af undersøgelsen, der er vist i diagrammet herover. I din tekst skal du bl.a. bruge ordene procent, flest og færrest.

  7. Olivia sammenligner undersøgelsen i sin klasse med undersøgelsen for resten af eleverne i 6.-9. klasse. Hun påstår, at eleverne i hendes egen klasse oftere brugte smartphones til at være på Facebook end resten af eleverne fra 6.-9. klasse, den dag undersøgelsen blev gennemført.

  8. Har Olivia ret i sin påstand? Du skal begrunde dit svar.

Svar på opgave 4: På Facebook

  1. Variationsbredden er største tal minus mindste = 60 - 2 = 58

  2. Man inddeler antal besøg i grupper og finder antallet hver gruppe. Grupperne er 0-10, 11-20, 21-30,...og 51-60. Man får søjlediagrammet:

    Man må også gerne gøre det ugrupperet:

  3. Medianen viser, at halvdelen af eleverne foretager 40 besøg om dagen eller færre på Facebook.

  4. Ved den viste inddeling i grupper er gruppen, der besøger Facebook mere end 30 gange om dagen den største. Den udgør 40% af alle elever. Den mindste gruppe er den, der besøger Facebook 6-14 gange om dagen. Den udgør ca. 9 % af eleverne.

  5. Kan ikke besvares da man ikke kan regne gennemsnittet og heller ikke medianen ud for de andre elever. Facitlisten siger: Olivia har ret fordi hendes 69% af hendes klasse er på Facebook mere end 30 gange om dagen, men tallet kun er 40% for de andre klasser. Det er dog som at sammenligne æbler og pærer, da man ikke ved om "over 30 gange" betyder 31 eller 500! Havde Olivias påstand været "i min klasse er en større procentdel på Facebook mere end 30 gange om dagen", havde det været rigtigt.

5. En ydre og to indre cirkler

På hver tegning herover er der en blå ydre og to røde indre cirkler, som opfylder to krav:

  • De to indre cirkler har begge centrum på den ydre cirkels diameter
  • Summen af de to indre cirklers diametre er lig med den ydre cirkels diameter

I denne opgave skal du arbejde med ydre og indre cirkler, der opfylde de to krav.

  1. Tegn en ydre cirkel med to indre cirkler. Den ydre cirkel skal have diameteren 12. De indre skal begge have diameteren 6.

  2. Olivia påstår, at summen af de indre cirklers omkredse er lig med omkredsen af den ydre cirkel, når diametrene er 6 de indre cirkler og når diameteren er 12 i den ydre cirkel.

  3. Du skal vise med beregning eller ved hjælp af digitalt værktøj at Olivia har ret.

  4. Olivias sidekammerat, Søren, påstår, at summen af arealerne af de to indre cirkler er hlav så stor som arealet af den ydre cirkel, når diametrene er 6 i de to indre cirkler, og når diameteren er 12 i den ydre cirkel.

  5. Du skal vise med beregning eller ved hjælp af et digitalt værktøj, at Søren har ret.

  6. Undersøg med beregning eller ved hjælp af digitalt værktøj, om summen af de to indre cirkler altid er halvt så stor som arealet af den ydre cirkel.

  7. Hvis diameteren i en vilkårlig ydre cirkel har længden d, og diameteren i den ene indre cirkel har længden e , så har diameteren i den sidste indre cirkel længden d - e.

  8. Bevis at summen af de to indre cirklers omkredse er lig med omkredsen af den ydre cirkel.

Svar på opgave 5: En ydre og to indre cirkler

  1. Man får to ens indre cirkler.

  2. Olivia har ret fordi omkredsen af den ydre cirkel er 12·π. Hver af de indre cirkler har omkredsen 6·π, så summen af deres omkredse er derfor også 12·π

  3. Den store cirkel har arealet π.62 = 36·π. Hver af de små cirkler har arealet π·32 = 9·π. Tilsammen er deres areal 18·π hvlket netop er halvdelen af den store cirkels areal.

  4. Det gælder ikke altid. Man kan får de indre cirkler samlede areal til at være så tæt på den ydre cirkels areal ved at nærme den ene af de indre cirkler diameter så meget til ydre cirkels diameter som man har lyst. Dermed har de to indre cirkler ikke altid til sammen det halve areal af den ydre.

  5. Man får at omkredsen af den store cirkel er d·π. Omkredsen af de to små er til sanmen: π·e + π·(d - e) = π·d. Dermed gælder reglen om, at de to indre cirklers samlede omkreds altid er lig med den ydre cirkels omkreds.

6. Talfølger i en gangetabel

Herunder er en gangetabel.
Gangetabellen er også på svararket og på filen GANGETABEL_MAJ_2015.

Tallene i de røde felter udgør begyndelsen af en talfølge. Tal nummer 1 i talfølge er 1, nummer 2 er 4, og nummer 10 er 100. Forestil dig at talfølgen fortsætter.

  1. Hvilket tal er nummer 11 i talfølgen, der begynder med tallene i de røde felter?

  2. Forklar hvordan du kan beregne tal nummer 99 i talfølgen, der begynder med tallene i de røde felter.

  3. Du kan beregne tallene i en anden talfølge i gangetabellen men regneudtrykket n·(n + 3), hvor n er tallets nummer i talfølgen.

  4. Farv eller skraver denne talfølge i gangetabellen på svarark eller i filen.

  5. Tallene i de blå felter udgør begyndelsen af en tredje talfølge. Tal nummer 1 i talfølgen er 6, nummer 2 er 14 osv. Forestil dig at talfølgen fortsætter.

  6. Hvilket tal er nummer 9 i talfølgen der begynder med tallene i de blå felter.

  7. Skriv et regneudtryk, du kan bruge til at beregne tal nummer n i talfølgen, der begynder med tallene i de blå felter.

Svar på opgave 6: Talfølger i en gangetabel

  1. Det næste røde tal er 121 som er 11 gange 11

  2. Det kan beregnes som 992 = 9801

  3. Der er to muligheder, der begge er markeret med gult.

  4. Det er 9·(9 + 5) = 126 (Facitlisten siger 109, men det stemmer ikke med formlen i delopgave 5)

  5. Regneudtrykket er n·(n + 5).