Folkeskolens problemregning for 9. klasse, december 2014 | Oversigt

1. Esters fritidsjob

I sin fritid arbejder Ester i en grillbar. Hun tjener 68,96 kr. i timen. En mandag arbejdede Ester fra kl. 15:30 til 17:30.

  1. Hvor mange penge tjente Ester i alt denne mandag?

  2. Når Ester arbejder efter kl. 17:30, får hun et tillæg 12,38 kr. pr. time til sin timeløn på 68,96 kr. En torsdag arbejdede Ester fra kl. 16:30 til 20:30.

  3. Hvor mange penge tjente Ester i alt denne torsdag?

  4. Ester vil gerne tjene 2000 kr. om måneden.

  5. Undersøg med beregning, hvor mange timer Ester skal arbejde for at tjene 2000 kr., hvis ca. halvdelen af timerne er før kl. 17:30.

  6. Ester skal betale 8 % i arbejdsmarkedsbidrag af de penge, hun tjener. Resten af pengene får hun udbetalt.

  7. Hvor mange penge får Ester udbetalt, hvis hun tjener 2000 kr.?

  8. Hvor mange penge skal Ester tjene for at få udbetalt 2000 kr.?

Svar på opgave 1: Esters fritidsjob

  1. Hun tjente 2·68,96 kr. = 137,92 kr.

  2. Ester arbejde i 4 timer heraf 3 timer over. Det giver en løn på 4·68,96 kr. + 3·12,38 kr. = 312,98 kr.

  3. Antallet af timer, som Ester arbejder kaldes x. Antallet af timer, som hun arbejder over, er 0,5·x.

    Hun tjener: x·68,96 kr./time + 0,5·x·12,38 kr./time = x·75,15 kr./time.

    Dette skal være lig med 2000 kr. Man får følgende ligning i x:

    x·75,15 kr./time = 2.000 kr. ⇒ x = 2.000 kr./(75,15 kr./time) = 26,6 timer

  4. Hun får udbetalt: 2.000 kr. - 2.000 kr. · 0,08 = 1.840 kr.

  5. Beløbet, som hun skal tjene kaldes x. Der gælder følgende ligning for x:

    x - x·0,08 = 2.000 kr. ⇒ x·(1 - 0,08) = 2.000 kr. ⇒

    x·0,92 = 2.000 kr. ⇒ x = 2.000 kr./0,92 = 2.173.91 kr.

2. Katrine maler

Katrine maler i sin fritid. På et kursus har hun lært nogle metoder

En metode er at opdele lærredet i 9 lige store firkanter og lade linjer i billedet følge de linjer, der skaber firkanterne.

  1. Inddel lærredet til højre i 9 lige store firkanter.

  2. Katrine har også lært, at når hun skal male en solnedgang, får maleriet en god opbygning, hvis horisontlinjen inddeler lærredets ene side på den måde, der er vist på tegningen nedenunder. l er lærredets ene sidelængde.

  3. Undersøg ved beregning, om Katrine har placeret horisontlinjen på lærredet herunder på denne måde, når man runder af til nærmeste hele cm.

  4. Katrines far påstår, at hun lige så godt kan inddele lærredet, så en tredjedel af lærredet ligger over horisontlinjen og totredjedele under.

  5. Hvor mange centimeters forskel er der på de to placeringer af horisontlinjen, hvis l er 50 cm?

Svar på opgave 2: Katrine maler

  1. Lærredet, når det er inddelt i 9 lige store rektangler.

  2. På Katrines maleri er l = 60 cm. 60 cm/1,618 = 37,1 cm. Det passer med placeringen af horisontlinjen på hendes maleri.

  3. Når l = 50 cm er l/1,618 = 30,9 cm.

    Inddeler man l i to dele hvor den del, som er under horisontlinjen er 2/3 af 50 cm fås, at denne del er 2·50 cm/3 = 33,3 cm.

    Forskellen er 33,3 cm - 30,9 cm = 2,4 cm

3. Backgammon

Anna spiller backgammon i sin fritid. Backgammon er et brætspil, hvor to spillere på skift kaster to terninger. Terningkastene afgør, hvor mange felter spillerne må rykke deres brikker.

Hvis en spiller får et terningkast, hvor de to terninger viser samme øjental, må spilleren rykke dobbelt så mange felter, som øjentallene viser.

  1. Hvor stor er sandsynligheden for, at Anna får et terningkast, hvor de to terninger viser samme øjental?

  2. Anna overvejer, hvor mange forskellige terningkast hun kan få, når hun spiller backgammon. Et terningkast kan fx være 3 og 4. Det har ingen betydning, hvilken terning, der viser 3 og hvilken der viser 4.

  3. Undersøg, hvor mange forskellige terningkast Anna kan få i backgammon.

  4. Anna spiller tit backgammon med Jonathan. Han påstår, at det er mere sandsynligt at slå et terningkast, hvor forskellen mellem de to øjental er 2 end et terningkast, hvor forskellen mellem de to øjental er 3.

  5. Har Jonathan ret i sin påstand? Du skal begrunde dit svar.

  6. Anna mener, at hun og Jonathan er lige dygtige til backgammon, fordi de vinder ca. lige mange spil hver.

    Anna og Jonathan har aftalt at spille tre spil backgammon.

  7. Hvor stor er sandsynligheden for at Anna vinder alle tre spil?

Svar på opgave 3: Backgammon

  1. Sandsynligheden er 6/36 = 1/6.

    Der er 36 forskellige kast med terningerne (alle med samme sandsynlighed), og heraf er der 6 kast, hvor begge antal øjne er ens.

    Mulighederne er vist i tabellen. Antal øjne for den ene terning er vist i øverste vandrette række og antal øjne for den anden er vist i yderste venstre lodrette søjle.

    De 36 mulige kast er vist som tocifrede tal med lys baggrund. De kast, hvor antal øjne er ens er vist med røde tal.

     123456
    1111213141516
    2212223242526
    3313233343536
    4414243444546
    5515253545556
    6616263646566
  2. Der er 21 forskellige kombinationer.

    De er vist med røde tal i tabellen herunder. De kast, der står med sort, har hver især samme kombination af øjne som et af de kast, der står med rødt.

     123456
    1111213141516
    2212223242526
    3313233343536
    4414243444546
    5515253545556
    6616263646566
  3. Nedenstående tabel viser forskellen på antal øjne ved alle 36 mulige kast. De kombinationer, hvor forskellen er 2 er vist med rødt, og de hvor forskellen er 3 er vist med blåt.

     123456
    1012345
    2101234
    3210123
    4321012
    5432101
    6543210

    Det viser, at der er 8 kast, hvor forskellen mellem antallet af øjne er 2, og der er 6 kast, hvor forkellen på antallet af øjne er 3.

    Derfor er sandsynligheden for, at forskellen er 2 = 8/36 = 0,222, og sandsynligheden for at forskellen er 3 er 6/36 = 1/6 = 0,167.

    Jonathan har derfor ret i sin påstand

  4. Sandsynligheden for at Anna vinder ét spil er 0,5. Sandsynligheden for at hun vinder tre i træk er 0,5·0,5·0,5 = 0,125 = 12,5 %

4. Halvmaratonløb

Til denne opgave kan du bruge regnearksfilen HALVMARATON_DEC_2014 eller svararket.

I sin fritid har Markus løbet et halvmaratonløb. Længden af et halvmaratonløb er 21,1 km.

Kurven herunder viser målinger fra Markus' halvmaratonløb. Tabellen viser de tal, kurven er lavet ud fra.

  1. Aflæs på kurven, hvor lang tid Markus var om at løbe de første 5 km af halvmaratonløbet.

  2. Hvor lang tid var Markus i gennemsnit om at løbe hver kilometer af halvmaratonløbet?

  3. Var Markus længst tid om at løbe den første eller den sidste halvdel af halvmaratonløbet? Du skal begrunde dit svar.

  4. Ester var også med i halvmaratonløbet. Hun begyndte samtidig med Markus og løb hver kilometer på netop 5:00 minutter.

  5. Hvor lang tid var Ester om at gennemføre halvmaratonløbet?

  6. I Esters løb var der en lineær sammenhæng mellem tiden i minutter og længden i kilometer.

  7. Du skal finde frem til en forskrift for en funktion, der beskriver denne lineære sammenhæng.

  8. Undersøg, hvor langt Markus havde løbet, da Ester overhalede ham.

Svar på opgave 4: Halvmaratonløb

  1. Man kan aflæse, at han har løbet i 21 minutter

  2. Hans tid pr. km er i gennemsnit: 118 min./21.1 km = 5.59 min./km

  3. Halvdelen af 21,1 km er 10,55 km. Det ses af tabellen at han løber den første halvdel af løbet på ca. 50 minutter. Anden halvdel tager 118 min. - 50 min. = 68 min.

    Dermed tager anden halvdel længere tid end første.

  4. Ester gennemførte halvmaratonen på 21,1 km·5min./km = 105,5 min.

  5. y er tiden i minutter og x er den tilbagelagte distance i km. Med de valgte enheder ses det at tallet for y er en femtedel af tallet for x og dermed gælder forskriften:

    y = (1/5)·x

  6. Af kurven ses, at Markus har løbet 12,8 km, da Ester overhaler ham.

5. Babyloniernes formel for arealet af en firkant

Babyloniernes formel for arealet af en firkant

A er arealet af firkanten

a og c er længden af to modstående sider i firkanten.

b og d er længden af de to øvrige sider i firkanten.

For mange år siden brugte babylonierne formlen i boksen til højre til at beregne arealet af en firkant.

  1. Brug babyloniernes formel til at beregne arealet af rektanglet herunder.

  2. Du kan bruge babyloniernes formel til at beregne det korrekte areal af nogle firkanter, men ikke alle firkanter

  3. Hvor meget bliver resultatet for stort, hvis du bruger babyloniernes formel til at beregne arealet af trapezen på skitsen til herunder.

  4. Formel for arealet af et kvadrat

    A = s2

    A er arealet af kvadratet

    s er sidelængden af kvadratet.

  5. Undersøg med tegning og beregning, om babyloniernes formel kan bruges til at beregne arealet af alle parallelogrammer.

  6. Du kan beregne arealet af et kvadrat med formlen i boksen til højre.

  7. Du skal vise hvordan babyloniernes formel kan omskrives til formlen for et kvadrat.

Svar på opgave 5: Babyloniernes formel for arealet af en firkant

  1. Arealet i følge babyloniernes formel er (3,5 + 3,5)·(6,5 + 6,5)/4 = 7·13/4 = 22,75

  2. Det rigtige areal af trapezen er 4·(7 + 10)/2 = 34

    For at regne arealet ud ved hjælp af babyloniernes formel skal man kende den sidste side. Den findes ved hjælp af Pythagorans læresætning til 5, idet den er hypotenusen i en retvinklet 3 4 5-trekant som vist:

    Arealet bliver i følge formlen: (7 + 10)·(5 + 4)/4 = 17·9/4 = 38,25

    Forskellen er 38,25 - 34 = 4,25

  3. Det gælder ikke for alle parallelogrammer, fordi et parallelograms areal bliver mindre, når den mindste vinkel i parallelogrammet gøres mindre, selvom sidernes længde holdes uændrede.

  4. For kvadratet gælder at a = b = c = d = s. Det giver følgende form for babyloniernes formel:

    (s + s)(s + s)/4 = (2s)·(2s)/4 = 4s2/4 = s2

6. Sumpyramider

Figuren til højre viser en udfyldt sumpyramide. I en sumpyramide skal tallet i hvert felt svare til summen af tallene i de to felter under tallet.

 

I sumpyramide nr. 1 er kun de tre nederste felter udfyldt med tal.

  1. Udfyld resten af sumpyramide nr. 1 til højre.

  2.  

    I sumpyramide nr. 2 er kun det øverste felt udfyldt med tallet 8.

  3. Udfyld resten af sumpyramide nr. 2 med naturlige tal der er forskellige.

  4.  

    I sumpyramide nr. 3 er nogle af felterne udfyldt med tal og den variable n.

  5. Udfyld resten af sumpyramide nr. 3.

  6.  

    I sumpyramide nr. 4 er de nederste og det øverste felt udfyldt med tal og den variable p.

  7. Du skal vise, at du kan finde værdien af p i sumpyramide nr. 4 ved at opstille og løse en ligning.

Svar på opgave 6: Sumpyramider

  1. Sumpyramide 1 bliver:

  2. Sumpyramide 2 bliver:

  3. Sumpyramide 3 bliver:

  4. Ligningen bliver: 7 + p + p + 4 = 29 ⇒ 2p + 11 = 29 ⇒ 2p = 29 - 11 ⇒ p = 18/2 ⇒ p = 9