Folkeskolens problemregning for 9. klasse, maj 2014 | Oversigt

1. 9. A sælger kaffe

Elever fra 9. A sælger kaffe ved en skolefest. De sælger et lille bæger kaffe for 6 kr. og et stort bæger kaffe for 10 kr.

Idas far køber tre små bægre kaffe og to store bægre kaffe. Han betaler med 100 kr.

  1. Hvor mange penge skal eleverne give Idas far tilbage?

  2. Idas far overvejer, om prisen pr. liter kaffe er den samme for et lille bæger kaffe og et stort bæger kaffe. I de små bægre er der 1,5 dL og i de store bægre er der 2,5 dL kaffe.

  3. Undersøg med beregning, om prisen pr. liter kaffe er den samme for et lille og et stort bæger kaffe.

  4. Eleverne overvejer, om de har købt kaffebønner nok. De ved, at der bliver ca. 80 små bægre kaffe af 500 g kaffebønner.

  5. Hvor mange store bægre kaffe kan der cirka blive af 500 g kaffebønner.

  6. Hvis eleverne sælger kaffe for 4400 kr. til skolefesten, får 9. A råd til en hyttetur. Eleverne forventer at sælge dobbelt så mange små bægre kaffe som store bægre kaffe.

  7. Hvor mange små bægre kaffe og hvor mange store bægre kaffe skal 9. A sælge for at få råd til hytteturen, hvis de sælger dobbelt så mange små bægre som store bægre kaffe?

Svar på opgave 1: 9. A sælger kaffe

  1. Eleverne skal betale Idas far: 100 kr. - 3·6 kr. - 2·10 kr. = 100 kr. - 38 kr. = 62 kr.

  2. Literprisen for kaffe i små bægre er 6 kr./1,5 dL = 6 kr./[1,5·(1/10) L] = (6/1,5)·10 kr./L = 40 kr./L.

    Literprisen for et stort bæger kaffe er 10 kr./2,5 dL = (10/2,5)·10 kr./L = 40 kr./L.

    Dermed er literprisen den samme for de to størrelser af bægre.

  3. Antallet af store bægre kaldes x. Rumfanget af kaffe i store bægre er x·2,5 dL.

    Rumfanget af kaffe i små bægre er 80·1,5 dL = 120 dL

    Rumfanget af kaffe i små bægre skal være lig med rumfanget af kaffe i store bægre. Dette giver følgende ligning for x:

    x·2,5 dL = 120 dL ⇒ x = 120/2,5 = 48

  4. Antallet af store bægre kaldes x, hvilket giver at antallet af små bægre er 2·x.

    Den samlede indtjening er: 2·x·6 kr. + x·10 kr. = x·12 kr. + x·10 kr. = x·22 kr.

    Dette skal give 4400 kr., og man får derfor følgende ligning for x:

    x·22 kr. = 4400 kr. ⇒ x = 4400/22 = 200. Dette giver resultatet:

    Antal små bægre = 2·200 = 400 og antal store bægre = 200

2. 9. A bygger en skaterrampe

Eleverne fra 9. A vil bygge en skaterrampe. Skitserne herunder viser målene på fire dele af skaterrampen.

Eleverne taler om, hvilken form de forskellige dele af skaterampen har.

  1. Hvilke slags firkanter viser skitserne?

  2. Eleverne vil save de fire dele ud af to rektangulære træplader med sidelængderne 122 cm og 244 cm.

  3. Tegn skitser af de to træplader. Skitserne skal vise, hvor eleverne kan save for at få de fire dele til skaterrampen. Der skal være mål på dine skitser.

  4. Skitsen herunder viser, hvordan skaterrampen skal se ud set fra siden, når den er færdig.

    Eleverne må stille skaterrampen i skolegården, hvis dens længde bliver mindre end 175 cm.

  5. Hvor stor bliver skaterrampens længde?

  6. Eleverne prøver at finde ud af, hvor stejl skaterrampen bliver. Konrad påstår, at skaterrampens hældning bliver mere end 20°, men Ali påstår, at skaterrampens hældning bliver mindre end 20°.

  7. Undersøg ved tegning eller beregning, om Konrad eller Ali har ret?

Svar på opgave 2: 9. A bygger en skaterrampe

  1. Sidestykkerne er trapezer. Ende- og topstykket er rektangler.

  2. Tegning af udskæringer:

  3. Rampens længde er katete i en retvinklet trekant, hvor den anden katete er 56 cm og hypotenusen er 180 cm. Skaterrampens længde kaldes x og beregnes ved hjælp af Pythagoras læresætning. Man får:

    562 + x2 = 1802 ⇒ x2 = 1802 - 562 ⇒ x = √[1802 - 562] ⇒ x = 171,1

    Dvs. rampens længde er 171 cm

    Man kan også bruge forholdstalsregning med ensvinklede trekanter.

    På ovenstånde tegning er trekant ABC ensvinklet med trekant BDE. Skaterrampens længde, |BC|, er 159 cm + x. Desuden er |BD| = x, |AC| = 56 cm og |DE| = 4. Der gælder følgende forhold (enheder er udeladt):

    |BC|/|AC| = |BD|/|DE| ⇒

    (159 + x)/56 = x/4 ⇒

    4·(159 + x)/56 = 4·x/4 ⇒

    (159 + x)/14 = x ⇒

    159 + x = 14x ⇒

    159 = 13·x ⇒

    x = 159/13 = 12,23

    Dvs skaterrampens længde er 159 cm + 12,23 cm = 171,2 cm

    Pythagoras beregningen ses at være nemmere, da man kun behøver at se på en trekant.

  4. Man laver nedenstående tegning i Geogebra og måler vinklen:

    Dvs. Ali har ret, vinklen er 18° og dermed mindre end 20°

3. 9. A planlægger en turnering

9. A planlægger en turnering, hvor skolens 7., 8. og 9. klasser skal spille basketball. Der er i alt 8 klasser, der skal deltage i turneringen. De otte klasser er:

7. A, 7. B, 7. C, 

8. A, 8. B, 8. C, 

9. A, 9. B 

Frederikke foreslår, at de organiserer turneringen i tre runder:

  • I 1. runde er der fire kampe. Hver klasse skal spille mod en af de andre klasser.

  • I 2. runde spiller vinderne fra første runde mod hinanden.

  • I 3. runde spiller vinderne fra 2. runde mod hinanden.

Vinderen af 3. runde er turneringens vinder.

  1. Hvor mange kampe bliver der i alt i turneringen med Frederikkes forslag?

  2. Naja foreslår, at de organiserer turneringen på en anden måde, så alle otte klasser skal spille en kamp mod hver af de syv andre klasser.

  3. Hvor mange kampe bliver der i alt i turneringen med Najas forslag? Du skal begrunde dit svar.

  4. 9. A bliver enige om at følge Frederikkes forslag. Frederikke trækker lod om, hvilke klasser der skal spille mod hinanden i 1. runde. Hun skriver hver klasses navn på en seddel og lægger de otte sedler i en pose. Hun udtrækker først 9. A. Nu vil hun udtrække den klasse, som 9. A skal spille mod.

    9. A vil helst spille mod en af de tre 7. klasser.

  5. Hvor stor er chancen for, at Frederikke udtrækker en af de tre 7. klasser?

Svar på opgave 3: 9. A planlægger en turnering

  1. Der bliver 7 kampe: 4 i første runde + 2 i anden runde + 1 i tredje runde.

  2. Der bliver 28 kampe.

    Forklaring: Hold ét skal møde 7 andre hold og er derefter færdige. Hold to har mødt hold ét (den kamp er talt) og mangler 6 kampe. Tilsvarende mangler hold tre 5 kampe, hold fire 4 kampe,...og hold syv 1 kamp. I alt: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.

    Et turneringsskeam, som det nedenstående, vil også blive godkendt i følge facitliste.

  3. Der er 7 hold tilbage i posen, hvoraf 3 er syvende-klasser.

    Dette giver sandsynligheden : 3/7 = 0,43 for at trække en syvende-klasse.

4. 9. A sælger kalendere

9. A vil tjene flere penge til en hyttetur ved at sælge kalendere for et firma.

Klassen kan vælge mellem to muligheder:

Mulighed 1:
9. A skal sælge hver kalender for 40 kr. De beholder 15 kr. for hver kalender, de sælger, og skal give 25 kr. til firmaet.
9. A skal levere de kalendere, de ikke sælger tilbage til firmaet.

Mulighed 2:
9. A skal sælge hver kalender for 40 kr. De beholder 20 kr. for hver kalender, de sælger, og skal give 20 kr. til firmaet.
9. A skal også give 20 kr. til firmaet for hver kalendere, de ikke sælger.

9. A overvejer at bestille 600 kalendere hos firmaet. De vil finde ud af om det bedst kan betale sig for dem at vælge mulighed 1 eller 2.

  1. Hvor stort er 9. A's overskud, hvis de vælger mulighed 1 og sælger alle 600 kalendere?

  2. Hvor stort er 9. A's overskud, hvis de vælger mulighed 2 og sælger 375 af de 600 kalendere?

  3. 9. A fremstiller en tabel, der viser hvor stort deres overskud bliver med mulighed 1 og 2, hvis de ikke sælger alle 600 kalendere. Tabellen er også på filen KALENDER_MAJ_2014.

    Antal solgte kalendereOverskud med mulighed 1 (kr.)Overskud med mulighed 2 (kr.)
    50750-10000
    1001500-8000
    1502250-6000
    2003000-4000
    2503750-2000
    30045000
    35052502000
    40060004000
    45067506000
    50075008000
    550825010000
  4. Du skal finde frem til en funktionsforskrift, der viser, hvor stort 9. A's overskud er, hvis de vælger mulighed 2 og sælger x af de 600 kalendere.

  5. Undersøg hvor mange af de 600 kalendere, som 9. A skal sælge for at mulighed nummer 2 giver større overskud end mulighed nummer 1.

  6. 9. A beslutter at vælge mulighed nummer 2, De overvejer om de skal bestille et andet antal end 600 kalendere. Clara påstår at de altid vil få overskud, hvis de sælger mere end halvdelen af de kalendere, de har bestilt.

  7. Har Clara ret i sin påstand? Du skal begrunde dit svar.

Svar på opgave 4: 9. A sælger kalendere

  1. Overskud: 600·15 kr. = 9.000 kr.

  2. Overskud: 375·20 kr. + (600 - 375)·20 kr. = 3.000 kr.

  3. Antal kalendere kaldes x. Af tabellen ses, at hver gang man sælger yderligere 50 kalendere stiger indtjeningen med 2.000kr. dvs. med 40 kr. pr. ekstra solgte kalender.

    Sammenhængen er derfor y = 40·x + b, hvor b er indtjeningen for ingen solgte kalendere. Den findes ved at trække 2.000 fra indtjeningen ved 50 solgte kalendere, som er -10.000 kr. Dette giver b = -12.000 kr. Dermed er formlen:

    y = 40·x - 12.000 kr.

  4. For mulighed 1 er indtjeningen y = x·25 kr., hvor x er antallet af solgte kalendere. Man skal finde det x, hvor de to indtjeninger er ens. Dette gøre ved at sætte de to indtjeningsformler lig med hinanden :

    40·x - 12.000 kr. = x·25 kr. ⇒ 40·x - x·25 kr. = 12.000 kr. ⇒ x·15 kr. = 12.000 kr. ⇒ x = 12.000/15 ⇒ x = 480.

    De skal dermed sælge mere end 480 kalendere for at mulighed 2 skal give større fortjeneste end mulighed 1.

    Dette kan også løses grafisk som vist i Geogebra. De to kurver for indtjeningen ved de to muligheder skærer hinanden for x = 480 (stiplet linje).

  5. De køber x kalendere og sælger y kalendere. Deres indtjening er:

    20·y - (x - y)·20 kr. = y·40 kr. - x·20 kr. Denne indtjening skal være større end nul, dvs.:

    y·40 kr. - x·20 kr. > 0 ⇒ y > 0,5·x

    Dvs. der er overskud, hvis de sælger mere end halvdelen af dem, de køber, og Clara har derfor ret.

5. Regneopskrifter

En regneopskrift består af nogle linjer med en ordre på hver linje. Det tal, du får, når du følger en ordre i en linje, skal du regne videre med i den næste linje. herunder er en regneopskrift.

1. Vælg et tal
2. Læg 10 til
3. Gang med 3
4. Træk det tal, du valgte i linje 1, fra
5. Divider med 2
6. træk 15 fra

Hvis du vælger tallet 3 i linje 1, får du 13 i linje 2 og 39 i linje 3.

  1. Hvilket tal ender du med i linje 6, hvis du vælger tallet 3 i linje 1.

  2. Du kan også vælge andre tal end 3 i linje 1.

  3. Undersøg hvilken sammenhæng der er mellem det tal du vælger i regneopskriftens linje 1 og det tal som du ender med i linje 6.

  4. Fire elever fra 9. A bruger bogstavet n til at skrive hvert sit regneudtryk, der skal vise beregningerne i regneopskriften øverst.

    Anton:

    Miriam:

    Haider: (n + 10)·3 - n:2 - 15

    Rune: [(n + 10)·3 - n]:2 - 15

    To ad elevernes regneudtryk passer ikke med regneopskriften.

  5. Hvilke to elevers regneudtryk passer ikke med regneopskriften? Du skal begrunde dit svar.

  6. Eleverne vil lave en regneopskrift, der altid ender med et tal, der altid er 10 større end det tal, de vælger i linje 1. De begynder med at skrive et regneudtryk, der skal vise beregningerne i regneopskriften.

    Regneudtrykket er:

  7. Du skal vise ved at omskrive, at regneudtrykket er 10 større end m.

  8. Skriv en regneopskrift, der passer til regneudtrykket.

Svar på opgave 5: Regneopskrifter

  1. Man ender med: ((((3 + 10)·3) - 3)/2) - 15 = (((13·3) - 3)/2) - 15 = (36/2) - 15 = 18 - 15 = 3

  2. Tallet man vælger kaldes x. Forskriften er ((((x + 10)·3) - x)/2) - 15 = ((3·x + 30 - x)/2) - 15 = ((2·x + 30)/2) - 15 = (x + 15) - 15 = x.

    Dvs. sammenhængen er, at det er det samme tal, man får ud som det, man vælger.

  3. Miriam og Haiders er forkerte, der mangler en parentes i hver.

  4. Regnestykkes omskrives til: (m·6)/3 - m + 10 = m·2 - m + 10 = m + 10. Dette viser at tal, som man ender med er 10 større end m.

  5. Opskrift:

    1. Vælg et tal
    2. Gang med 6
    3. Divider med 3
    4. Træk det tal, du valgte i linje 1, fra
    5. Læg 10 til

6. Romber

En rombe er en firkant med fire lige lange sider.

Arealet af en rombe

A = 0,5·d1·d2

A er arealet af romben

d1 og d2 er længden af hver diagonal i romben.

  1. Hvor stor en omkreds har en rombe, der har sidelængden 5.

  2. Tegn en rombe med sidelængden 5 cm. Hvis du bruger et it-værktøj behøver enheden ikke at være cm.

  3. Undersøg hvor stort arealet af en rombe højst kan blive, hvis den har sidelængden 5.

  4.  
    En rombe med en diagonal

    En diagonal inddeler en hver rombe i to trekanter.

  5. Forklar hvorfor de to trekanter er ligebenede, og hvorfor de to trekanter er kongruente.

  6.  

    På skitsen herunder er der tegnet to diagonaler i en rombe, og i den blå boks er der tre påstande om diagonaler i romber. En af påstandene er forkert.

    Påstand 1: I enhver rombe står diagonalerne vinkelret på hinanden
    Påstand 2: I enhver rombe er diagonalerne lige lange
    Påstand 3: I enhver rombe skærer diagonalerne hinanden på midten
  7. Undersøg hvilken påstand, der er forkert, og bevis at den er forkert.

Svar på opgave 6: Romber

  1. Omkredsen er 4·5 = 20

  2. Tegnet i Geogebra:

  3. Det største areal er 25. Dette optræder, når romben er et kvadrat med siden 5. Se Geogebra

  4. De er ligebenede fordi de begge har to sider, der er lige lange og de er kongruente fordi siderne i den ene trekant er lige så lange, som siderne i den anden.

  5. Den anden påstand er forkert og modbevises ved et eksempel: