Folkeskolens problemregning for 9. klasse, december 2013 | Oversigt

1. Gustavs svømmetræning

Gustav træner svømning kl. 19:00-20:30 hver mandag, tirsdag, onsdag og torsdag.

  1. Hvor mange timer træner han på en uge.

  2. Gustav træner i et bassin med baner, der er 25 m lange. Til opvarmning svømmer han 600 m.

  3. Hvor mange baner svømmer Gustav til opvarmning?

  4. Pulsen måles som antallet af pulsslag pr. minut.

    Når Gustav træner, vil han kende sin puls. For hurtigt at beregne sin puls, tæller han, hvor mange pulsslag, han har på 10 sekunder.

  5. Hvad er Gustavs puls, hvis han har 31 pulsslag på 10 sekunder?

  6. Under træning skal Gustav svømme så hurtigt, at han opnår 70-75 % af sin maksimale puls. Gustavs maksimale puls er 204.

  7. Hvor mange pulsslag har Gustav på 10 sekunder, hvis hans puls er 70-75 % af den maksimale.

  8. Gustav overvejer, om han kan svømme hurtigere, end han normalt går. Hans bedste tid i 100 m crawl er 57,6 sekunder, og han ved, at han normalt går 5 km/t.

  9. Er Gustavs gennemsnitsfart på de 100 m crawl større end 5 km/t?

Svar på opgave 1: Gustavs svømmetræning

  1. Han svømmer 1,5 timer 4 dage om ugen, dvs 1,5·4 timer = 6 timer i alt

  2. Han svømmer 600 m/(25 m/bassinlængde) = 24 bassinlængder

  3. Antal pulsslag pr. minut: 31 pulsslag/(10 sek) = 31 pulsslag/(10·[(1/60) minut]) = 31·6 pulsslag/min. = 186 pulsslag/min.

    Han puls er 186

  4. Hans maksimale puls skal ligge mellem 0,70·204 = 142.8 og 0,75·204 = 153. Omregnet til pulsslag på 10 sekunder er det: 142.8/6 = 23,8 og 153/6 = 25,5.

    Dvs. antallet af pulsslag skal ligge mellem: 23,8 og 25,5.

  5. Hans gennemsnitsfart er 100 m/(57,6 sek.) = (100·(1/1000) km)/[57,6 (1/3600) time] = (100/57,6)·3,6 km/t = 6,25 km/t

    Dvs. gennemsnitsfarten ved crawl er større end 5 km/t.

2. Gustavs klasselokale

I arbejdsmiljøloven står der, at rumfanget af et klasselokale skal være så stort, at der mindst er 6 m3 pr. elev og 12 m3 pr. voksen. I Gustavs klasse er der 22 elever og en lærer.

  1. Du skal vise med beregning, at rumfanget af Gustavs klasselokale skal være mindst 144 m3.

  2. Herunder er der to skitser af klasselokalet på Gustavs skole.

    Skitse 1 til venstre viser et vinkelret tværsnit af klasselokalet. Skitse 2 til højre viser klasselokalet fra en anden vinkel. Forholdene mellem længdemålene er ikke tegnet rigtigt på skitserne.

  3. Fremstil en tegning, der viser det samme som skitse 1, men hvor forholdende mellem længdemålene er tegnet rigtigt. Brug evt. et it-værktøj.

  4. I følge arbejdsmiljøloven skal rumfanget kun beregnes af den del af klasselokalet, der har en loftshøjde på mindst 2,50 m. På skitserne er x det antal meter af klasselokalet, hvor loftshøjden er mindre end 2,50 m.

  5. Du skal vise, at x er ca. 0,67 m

  6. Undersøg, om Gustavs klasse må være i klasselokalet, når arbejdsmiljølovens krav om et rumfang på mindst 144 m3 skal overholdes.

Svar på opgave 2: Gustavs klasselokale

  1. Arealet er 22·6 m3 + 12 m3 = 144 m3


  2. Af den blå retvinklede trekant på tegningen nedenunder fremgår det, at

    tan(50°) = 0,8 m/x ⇒ x = 0,8 m/tan(50°) = 0,8 m/1,1918 = 0,67

  3. Den del af rummet der har mere end 2,5 meters loftshøjde kan inddeles i tre stykker vist med blå, rød og grøn. Tykkelsen af det røde område er (6,00 m - 4,50 m) - 0,67 m = 0,83 m.

    Rumfanget af det blå område er 4,50 m · 3,50 m · 8,00 m = 126 m3. Rumganget af det røde område er 0,83 m · 2,50 m · 8,00 m = 16,6 m3. Rumfanget af det grønne område er 0,5 · 8,00 m · 0,83 m · 1,00 m = 3,32 m3

    Tilsammen giver det rumfanget: 126 m3 + 16,6 m3 + 3,32 m3 = 145.9 m3

    Dvs. der er plads til klassen i rummet

3. Gustavs højde

Gustav overvejer, hvor høj han bliver, når han er færdig med at vokse. Han finder oplysningerne herunder på internettet.

Man kan beregne et område for en drengs forventede sluthøjde i centimeter således: Forventet sluthøjde = ((fars højde + mors højde)/2 + 6,5) ± 8,5

Gustavs far er 189 cm og Gustavs mor er 167 cm høj.

  1. Du skal vise, at Gustav kan forvente en sluthøjde på mellem 176 cm og 193 cm.

  2. Kurverne nedenunder viser højdefordelingen for danske drenge i forskellige aldre. Da Gustav fyldte 15 var han 174 cm.

    Procenttallet til hver kurve angiver, hvor mange procent af danske drenge, der er lavere end den højde, som kurven viser.
  3. Hvor høj vil Gustav være, når han fylder 18 år, hvis hans højde følger den kurve, som den lå på, da han fyldte 15 år.

  4. Hvor stor en procentdel af danske drenge på Gustavs alder var større end Gustav, da han fyldte 15 år.

  5. Herunder er et observationssæt, der viser, hvor høje drengene i Gustavs klasse var da de hver fyldte 15. Højderne er angivet cm.

    172, 173, 184, 160, 183, 188, 176, 179, 176, 180, 184, 173, 182, 174, 177

  6. Du skal finde observationssættets median og forklare, hvad medianen viser om fordelingen af drengenes højde.

  7. Sammenlign højdefordelingen i Gustavs klasse og fordelingen for 15 årige danske drenge ved hjælp af kvartilsæt og boksplot. Forklar med dine egne ord, hvad sammenligningen viser.

Svar på opgave 3: Gustavs højde

  1. Man får i følge formlen at Gustavs sluthøjde er ((189 cm + 167 cm)/2 + 6,5 cm) ± 8,5 cm = 184.5 cm ± 8,5 cm. Dvs. Gustavs forventede sluthøjde er ellem 176 cm og 193 cm

  2. Han ligger på 75 %-kurven, hvilket kan ses af nedenstående figur

    Han kan derfor forvente at ende på en højde af 183 cm som 18-årig.

  3. Da han ligger på 75 %-kurven, hvilket betyder, at 75 % på hans alder er mindre end ham, og dermed er 25 % større end ham.

  4. Man sorterer observationssættet efter størrelse og får: 160, 172, 173, 173, 174, 176, 176, 177, 179, 180, 182, 183, 184, 184, 189 og markerer det midterste tal. Det ses at være 177 cm og medianen er dermed 177 cm. Medianen er den højde som halvdelen af drengene i klassen ligger under.

  5. Nedenstående figur viser hvordan man aflæser kvartilsættet for 15-årige drenge for hele landet. Man vælger 3 %- og 97 %-kurven som yderpunkter til boksplottet.

    De aflæste tal er vist (næstyderst til venstre) på nedenstående figur sammen med tallene for Gustavs klasse (yderst til venstre). Der er to boksplot på figuren, det øverste er for Gustavs klasse og den nederste er for hele landet.

    Figuren er lavet i Geogebra. Læg mærke til at boksplottenes størrelse ikke siger noget om, hvor mange tal der går til at lave dem.

    Gennemsnittet for Gustavs klasse ligger over landsgennemsnittet for 15-årige. (I følge facitlisten passer Gustavs klasse med gennemsnittet.)

4. Gustavs knallert

Gustav har en knallert. Han kører ca. 100 km om ugen på sin knallert. Knallerten kan i gennemsnit køre 25 km på en liter benzin.

  1. Hvor mange liter benzin bruger Gustavs knallert i gennemsnit om ugen?

  2. Gustav har købt sin knallert for 9.500 kr. Hans forældre betaler den lovpligtige ansvarsforsikring.

    Nedenstående tabel viser sammenhængen mellem det antal kilometer, som Gustav har kørt og hans samlede udgifter til knallert og benzin.

    Antal kmSamlede udgifter i kr.
    09500
    109505
    209510
    309515
    409520
    509525
    1009550
    5009750
    100010.000
    200010.500
    300011.000
    400011.500
    500012.000
    600012.500
    700013.000
    800013.500
    900014.000
    10.00014.500
    11.00015.000
    12.00015.500
    13.00016.000
    14.00016.500
    15.00017.000
    16.00017.500

    Nedenstående figur viser det samme som tabellen bare som graf.

    (Hvis du har opgavehæftet med denne opgave, kan du bruge filen KNALLERT.DEC.2013 eller svararket til opgave 4.3 og 4.5. Filen KNALLERT.DEC.2013 og grafen på svararket viser også sammenhængen mellem det antal kilometer, Gustav har kørt på sin knallert, og hans samlede udgifter.)

  3. Hvor mange penge havde Gustav i alt brugt til benzin, da han havde kørt 150 km?

  4. Hvad er grafens stigningstal, og hvad viser grafens stigningstal om Gustavs udgifter til sin knallert.

  5. Gustavs storebror Malte har også en knallert. Maltes knallert kan køre 37,5 km på en liter benzin. En liter benzin koster 12,50 kr., og Malte har købt sin knallert for 11.500 kr.

  6. Forklar hvorfor funktionsforskriften f(x) = (1/3)·x + 11.500 kr. beskriver sammenhængen mellem det antal km, som Malte har kørt og hans samlede udgifter til knallert og benzin.

  7. Tegn grafen for f(x) = (1/3)·x + 11.500 ved hjælp af svararket eller et it-værktøj. Brug evt. filen KNALLERT.DEC.2013.

  8. Malte brugte flere penge end Gustav på at købe knallert, men Malte påstår, at hans samlede udgifter vil være mindre end Gustavs efter 3 år. De kører hver ca. 5000 km om året.

  9. Undersøg om Malte har ret i sin påstand.

Svar på opgave 4: Gustavs knallert

  1. Han bruger 100 km /(25 km/liter) = 100/25 liter = 4 liter

  2. Man ser kun på udgiften til benzin. Af tabellen over de samlede udgifter ses, at Gustavs udgifter stiger med 5 kr. for hver 10 km han kører ekstra.

    5 kr. pr. 10 km svarer til 0,50 kr. pr. km. For 150 km svarer det til 150 km·0,50 kr./km =

    75 kr. (I følge facitlisten kan det aflæses.)

  3. Stigningstallet findes ved at tage to y-værdier på kurven og trække dem fra hinanden. Dette tal divideres med forskellen mellem de tilsvarende x-værdier. Man tager her startværdierne: x = 0; y = 9500 og slutværdierne: x = 16000; y = 17600.

    Stigningstallet bliver: [(17500 - 9500) kr.]/[(16000 - 0) km] = 0.50 kr./km

  4. Maltes samlede udgifter er udgifter til knallert + udgifter til benzin. Udgiften til knallerten er konstant 11.500 kr., den ændrer sig ikke med tiden eller med antal køret kilometer. For hver km Malte kører bruger han 1/37,5 liter benzin. Det koster (12,50 kr.)/(37,5 km) = 1/3 kr./km.

    Idet man sætter x = antal km, som Malte kører, finder man følgende sammenhæng mellem hans samlde udgifter og antal kørte km: x·1/3 kr./km. + 11.500 kr.

  5. Grafen viser Maltes samlede udgifter i samme graf som Gustavs.

  6. Det ses at graferne i besvarelsen af opgave 5 skærer hinanden for antal kørte kilometer lig med 12.000, og at Gustavs kurve ligger over Maltes derefter.

    Da begge brødre kører 5.000 km om året svarer det til, at Gustavs samlede udgifter overstiger Maltes efter 2,6 år og derfor også efter 3 år.

    Heraf ses, at Malte har ret.

5. En ligesidet trekant

  1. Hvor stor er omkredsen af en ligesidet trekant med sidelængden 6?

  2. Hvor stort er arealet af en ligesidet trekant med sidelængden 6?

  3. En median i en ligesidet trekant deler trekanten i to kongruente, retvinklede trekanter.

    I opgave 5.3 - 5.6 skal du undersøge en af de retvinklede trekanter.

  4. Hvor mange grader er hver vinkel i en af de retvinklede trekanter?

  5. Forklar hvorfor hypotenusen er dobbelt så stor som den korteste katete.

  6. Hvor stor er den længste katete, når hypotenusen er 6?

  7. Gustav påstår, at længden af den længste katete √3 gange længden af den korteste katete.

  8. Undersøg ved hjælp af beretning, om Gustav har ret i sin påstand.

Svar på opgave 5: En ligesidet trekant

  1. Omkredsen er 3·6 = 18

  2. Arealet af en ligesidet trekant er: siden i anden gange (√3)/4

    = 62·(√3)/4 = 9·√3 = 15,6

  3. Hver trekant er retvinklet og den ene vinkel er 60°, da den er den samme som i den ligesidede trekant. Den sidste vinkel er derfor 30° (= 180° - 90° - 60°).

    Vinklerne er derfor: 30°, 60° og 90°

  4. Hypotenusen er lig med siden i den ligesidede trekant og den korteste katete er halvdelen af siden i den ligesidde trekant.

    Derfor er den korteste katete halv så stor som hypotenusen i den retvinklede trekant.

  5. Den længste katete findes ved hjælp af Pythagoras læresætning. Den længste katetes længde kaldes x. Der gælder:

    x2 + (0,5·6)2 = 62 ⇒ x2 = 62 - (0,5·6)2

    x2 = 36 - 32 ⇒ x2 = 36 - 9 ⇒ x2 = 27 ⇒ x = 5,20

  6. Det udledes ved hjælp af Pythagoras læresætning. Hypotenusen kaldes c og den længste katete for b. Den korteste katete kaldes a. Man skal vise, at: b = a·√3.

    Der gælder at c = 2·a. Man får:

    a2 + b2 = c2 ⇒ a2 + b2 = (2·a)2

    a2 + b2 = 4·a2 ⇒ b2 = 4·a2 - a2

    b2 = 3·a2 ⇒ b = a·√3, hvilket man skulle bevise.