Folkeskolens problemregning for 9. klasse, maj 2013 | Oversigt

1. På indkøb

Mikael køber ind i et supermarked. Han ser de priser, der er vist herunder.

Kakaomælk, 1 liter: 11,50 kr.

Yoghurt, 1 liter: 16,95 kr. Tilbud: 2 liter for 25 kr.

Top smør, 250 g.: 13,95 kr. (Pris pr. kg: 55,80 kr.)

Smør let, 200 g.: 11,50 kr. (Pris pr. kg: 57,50 kr.)

Æg, 10 stk.: NU 19,95 kr. (Spar 40 %)

Mikael vil gerne købe tre liter kakaomælk.

  1. Hvor meget koster tre liter kakaomælk i alt?

  2. Mikael vil også købe yoghurt. Prisen for en liter yoghurt er 16,95 kr. Han kan se på prisskiltet, at han kan få 2 liter for 25 kr.

  3. Hvor mange penge kan Mikael spare pr. liter yoghurt, hvis han køber to liter for 25 kr.?

  4. En pakke Top Smør er dyrere end en pakke Smør Let. Mikael undrer sig derfor over, at prisen pr. kilogram Top Smør er mindre end prisen pr. kilogram Smør Let.

  5. Beregn, om de priser pr. kilogram Top Smør og pr. kilogram Smør Let, der står på prisskiltet er rigtige.

  6. Mikael ser på et skilt, at han kan spare 40 % af normalprisen ved at købe 10 æg til 19,95 kr.

  7. Hvad er normalprisen for 10 æg?

Svar på opgave 1: På indkøb

  1. Tre liter kakaomælk koster 3·11,50 kr. = 34,50 kr.

  2. Literpris med tilbud er 25 kr./2 L = 12,50 kr./L

    Literpris uden tilbud er 16,95 kr./2 L = 16,95 kr./L

    Han sparer: 16,95 kr. - 12,50 kr. = 4,45 kr.

  3. Kilopris for Top Smør: 13,95 kr./0,250 kg = 55,80 kr./kg

    Kilopris for Smør Let: 11,50 kr./0,200 kg = 57,50 kr./kg

    Det viser, at kilopriserne er rigtige

  4. Tilbudspris = førpris·(100 % - rabat i %) ⇒

    Førpris = tilbudspris / (100 % - rabat i %) = 19,95 kr./(1 - 0,40) = 19,95 kr./0,60 = 33,25 kr.

2. En redekasse

Mikael vil bygge en redekasse til slørugler. Tegningen herunder viser, hvordan redekassen skal se ud før hullerne i den er lavet. Den er dels set fra den ene ende, og dels set skråt fra siden. Stykket i midten er mage til endestykkerne.

(Der er også nogle huller, men de er udeladt på tegningen, da de ikke har indflydelse på svaret).

Han vil bygge redekassen af spånplader, som han vil save ud i mindre dele til vægge, gulv og loft.

  1. Hvor mange dele skal Mikael bruge i alt til vægge, gulv og loft?

  2. Mikael har købt to spånplader til at bygge redekassen. Spånpladerne er rektangulære. De har en tykkelse på 1,0 cm, en længde på 125 cm og en bredde på 83 cm.

  3. Undersøg om Mikael har købt spånplader nok til at bygge redekassen. Du skal begrunde dit svar med en skitse med mål.

  4. Sløruglers under bor i redekassen til de er voksne. En voksen slørugle har brug for ca. 400 cm2 gulvareal.

  5. Hvor mange voksne slørugler er der plads til i den redekasse, som Mikael vil bygge?

Svar på opgave 2: En redekasse

  1. 7 stykker: topstykke, bundstykke, forside, bagside, 2 endeplader og midterpladen.

  2. Tegning af udskæringer:

    De to plader er som det ses nok til at bygge redekassen, da udskæringerne kan være inden for de to plader.

  3. Bundpladen er 80 cm i længden. Herfra skal trækkes tykkelsen af de to endestykker og midterpladen på hver 1 cm. I alt skal der trækkes 3 cm fra 80 cm for at få den indvendige længde.

    Bredden af bundpladen er 40 cm. Herfra skal trækkes tykkelsen af de to sideplader. I alt skal der trækkes 2 cm fra, så man får 38 cm i bredden indvendig i redekassen. Dette er vist nedenunder.

    Gulvarealet af redekassen (det indvendige areal af dens bund) er i alt: (80 - 3)·(40 - 2) cm2 = 77·38 cm2 = 2.926 cm2.

    Dermed er der plads til : 2.926 cm2/(400 cm2/ugle) = 7,3 ugler. Dette skal rundes ned til nærmeste antal hele, hvilket giver: 7 ugler

    (I facitlisten står "7,3" slørugler, så et decimaltal godtages også.)

3. Mikaels løbeture

Mikael løber ture flere gange om ugen. På løbeturene medbringer han en mobiltelefon med et program, der kan måle, hvor lang tid han løber, og hvor langt han løber. Efter hver løbetur kan Mikael få vist målingerne som en kurve.

Kurven herunder viser mobiltelefonens målinger efter en af Mikaels løbeture.

  1. Aflæs på kurven, hvor lang tid Mikael løb, og hvor langt han løb.

  2. Hvad var Mikaels gennemsnitsfart (km/t) på den første kilometer af løbeturen.

  3. Du kan bruge et IT-værktøj til opgave 3.3 til 3.5.

    En anden dag løb Mikael 5 km på 25 minutter. Undervejs på denne løbetur måtte han stoppe to gange for rødt lys. Han løb hurtigst på den sidste kilometer af løbeturen.

  4. Tegn en kurve, der viser hvordan mobiltelefonens målinger vil se ud efter denne løbetur.

  5. Mikael vil gerne kunne løbe 5 km med en konstant fart på 15 km/t.

  6. Tegn en kurve, der viser, hvordan mobiltelefonens målinger vil se ud, hvis Mikael har løbet 5 km med en konstant fart på 15 km/t.

  7. Hvis Mikael løber med en konstant fart på 15 km/t, er der en lineær sammenhæng mellem tiden i minutter og længden i kilometer.

  8. Du skal finde frem til en forskrift for en funktion, som beskriver denne lineære sammenhæng.

Svar på opgave 3: Mikaels løbeture

  1. Han løb i 24 minutter og han løb 5 kilometer

  2. Han løb den første kilometer på 5 minutter. Hans gennemsnitshastighed er: 1 km / 5 min. = 1 km / 5·(1/60 time) = 1 km·60 / 5 time = 12 km/t

  3. Kurven kan se ud som vist nedenunder.

  4. Kurven kommer til at se ud som vist nedenunder.

  5. Den lineære sammenhæng kan skrives y = a·x + b, y er længden i kilometer og x er tiden i minutter. Konstanten a er hastigheden i kilomter pr. minut og b er startstedet, som vælges til 0. Man finder a ved formlen: a = gennemsnitshastighed = 5 km /20 minutter = 0,25 km/min.

    Det giver den lineære sammenhæng: y = 0,25·x

4. Brug af Facebook

På Mikaels skole har eleverne i 9. A undersøgt, hvor mange timer de hver cirka bruger om dagen på internetsiden Facebook. De har samlet deres observationer i hyppighedstabellen herunder.

Antal timerAntal elever
0,05
0,54
1,01
1,52
2,02
2,51
3,01
3,52
4,04
  1. Hvor mange elever i 9. A bruger ifølge hyppighedstabellen mindre end 1 time om dagen på Facebook?

  2. Hvor stor en brøkdel af 9. A's elever bruger 2 timer eller mere på Facebook om dagen?

  3. I Mikaels klasse, 9. B, har eleverne også undersøgt, hvor mange timer de hver cirka bruger om dagen på Facebook. Du kan se 9. B's observationssæt i tabellen herunder.

    1,52,50,51,04,02,01,52,50,5
    2,01,01,53,50,02,01,53,01,0
  4. Sammenlign mindsteværdien, størsteværdien og variationsbredde i 9. A's og 9. B's observationssæt.

  5. Hyppighedstabellen fra 9. A og tabellen fra 9. B findes også på filen FACEBOOK_MAJ_2013. Du kan bruge denne fil til opaverne 4.4 og 4.5.

    Mikael påstår, at 9. A's og 9. B's observationssæt har samme middeltal og samme median.

  6. Har Mikael ret? Du skal begrunde dit svar.

  7. Fremstil ét eller to diagrammer, der viser fordelingen af observationerne i 9. A og 9. B, og beskriv forskellen mellem de to fordelinger.

Svar på opgave 4: Brug af Facebook

  1. Antallet af elever der bruger mindre end en time om dagen på Facebook er: 5 + 4 = 9

  2. Der er i alt 22 elever i 9. A. Antallet af elever der er på Facebook mere end 2 timer om dagen er 2 + 1 + 1 + 2 + 4 = 10.

    Brøkdelen af klassen, som er på Facebook mere end 2 timer om dagen er 10/22 = 5/11

  3. For begge klasser får man: Mindsteværdien er 0, størsteværdien er 4 og variationsbredden er 4

  4. Mikael har ret i begge påstande. Man sætter de to klassers resultater ind i ét skema.

    De to røde tal viser, hvordan medianen beregnes: man tager halvdelen af antallet af elever i hver klasse og tæller nedad fra toppen, indtil man når det felt, hvor man har været gennem halvdelen af eleverne.

    For 9 A får man, at halvdelen af eleverne er 22/2 = 11. Tæller man fra toppen, dvs. starter man med gruppen med det laveste antal timer og går frem efter får man:

    0,0 til 0,5 timer: 5 elever

    0,5 til 1,0 timer: 4 elever, i alt 9 elever

    1,0 til 1,5 timer: 1 elever, i alt 10 elever

    1,5 til 2,0 timer: 2 elever, i alt 12 elever.

    Dvs. medianen ligger på grænsen mellem 1,0 til 1,5 timer og 1,5 til 2,0 timer, hvilket giver 1,5 timer.

    I begge tilfælde ender man ud for timetallet 1,5, som derfor er medianen for begge klasser.

    Middelværdien for 9. A er : (1/22)·(0,0·5 + 0,5·4 + 1,0·1 + 1,5·2 + 2,0·2 + 2,5·1 + 3,0·1 + 3,5·2 + 4,0·4) = 1,75

    Middelværdien for 9. B er : (1/18)·(0,0·1 + 0,5·2 + 1,0·3 + 1,5·4 + 2,0·3 + 2,5·2 + 3,0·1 + 3,5·1 + 4,0·1) = 1,75

  5. Man får følgende diagram.

    Det ses at 9. A ligger samlet om mindste og størsteværdierne, mens 9. B er samlet omkring middelværdien.

5. En femkantblomst

En regulær femkant er en figur med fem lige lange sider og fem lige store vinker. Vinkelsummen i en regulær femkant er 540°

  1. Hvorfor er hver vinkel i en regulær femkant 108°?

  2. Tegn en regulær femkant med sidelængden 5 cm. Hvis du bruger et it-værktøj, behøver enheden ikke være cm.

  3. Seks regulære femkanter kan sættes sammen til en femkantsblomst, som du kan se herunder.

    Mellem femkantblomstens "blade" er der fem kongruente, ligebenede trekanter.

  4. Forklar hvorfor to af vinklerne i hver trekant er 72°, og hvorfor den sidste vinkel i hver trekant er 36°.

  5. Omridset af femkantblomsten er farvet blåt på tegningen herover.

  6. hvordan kan du uden at måle vide, at omridset af femkantblomsten er en regulær femkant?

  7. Mikael påstår, at hvis sidelængden i femkantsblomstens regulære femkanter er 5 cm, så vil femkantblomstens sidelængde (kanten af det blå omrids) blive 12 cm.

  8. Undersøg om Mikael har ret. Du skal begrunde dit svar med beregninger eller en tegning.

Svar på opgave 5: En femkantblomst

  1. Alle vinkler er lige store og deres sum er 540°, derfor er den enkelte vinkel 540°/5 = 108°

  2. Tegning af femkant i Geogebra.

  3. Den ligebenede trekants grundvinkel, v, er supplementvinkel til femkantens hjørnevinkel, dvs v = 180° - 108° = 72°

    Den sidste vinkel er den ligebenede trekants topvinkel, som er lig med 180° - 2·grundvinklen = 180° - 2·72° = 36°

  4. Man ved at omridset er en regulær femkant, fordi alle dens sider er lige lange. De består nemlig af to sider fra den grønne femkant og en grundlinje fra en af de ligebenede trekanter.

  5. Siden i blomsten er 2·5 + grundlinjen i den ligebenede trekant. Grundlinjen er lig med 2·5·sin(36°/2) = 2·5·sin(18°) = 2·1,55 = 3,1.

    Dette giver tilsammen sidelængden: 10 + 3,1 = 13,1, dvs. Mikael har ikke ret

6. Sumtrekanter

Figuren herunder viser en udfyldt sumtrekant. I en sumtrekant skal tallene i hver cirkel være lig med summen af tallene i de nærmeste firkanter.

Mikael vil udfylde sumtrekanten nedenunder. Han skal bruge hele positive tal.

  1. Forklar hvorfor der ikke skal stå 2 i den gule firkant.

  2. Udfyld sumtrekanten.

  3. Mikael ser på sumtrekanten øverst og opdager, at summen af tallene i de tre cirkler er dobbelt så stor som summen af tallen i de tre firkanter.

  4. Skriv en beregning, der viser at Mikael har ret i sin opdagelse.

  5. Mikael tror, at summen af tallene i en sumtrekants tre cirkler er dobbelt så stor som summen i sumtrekantens tre firkanter. For at blive helt sikker udfylder han en sumtrekant med de variable a, b og c.

  6. Brug de variable til at bevise, at Mikael har ret.

Svar på opgave 6: Sumtrekanter

  1. Det bevises ved indsættelse eller prøve. Hvis man indsætter 2 i det gule felt, skal der stå 3 i det røde og 9 i det grønne for at summerne i de to øverste cirkler skal stemme.

    Dermed stemmer summen i den nederste cirkel ikke med tallene i den røde og grønne firkant, og derfor kan der ikke stå 2 i den gule firkant

  2. Opgaven kan løses ved at bruge tre ligninger med tre ubekendte, men man kan også prøve sig frem, da man ved, at der kun er tre muligheder for det gule felt.

    Det ses af, at summen af det gule og det røde felt skal give 5. Når man kun må bruge hele positive tal kan tallet i det gule felt kun være 1, 2, 3 eller 4 og 2 er udelukket efter den forrige delopgave.

    Prøver man sig frem får man, at det gule felt = 3, det røde felt = 2 og det grønne felt = 8

  3. Summen af tallene i cirklerne giver: 8 + 12 + 16 = 36

    Summen af de firkantede felter giver: 2 + 6 + 10 = 18

    Da den første sum er dobbelt så stor som den sidste, stemmer Mikaels antagelse

  4. Summen af tallene i cirklerne giver: (a + b) + (a + c) + (b + c) = a + b + a + c + b + c = a + b + c + a + b + c = 2·(a + b + c)

    Summen af de firkantede felter giver: a + b + c

    Da den første sum er dobbelt så stor som den sidste, stemmer Mikaels antagelse