Folkeskolens problemregning for 9. klasse, december 2012 | Oversigt

1. Rejsekort til Emil

Emil tager toget, når han besøger Clara.

Når Emil rejser med toget til Clara, køber han en billet, og når han rejser hjem igen, køber han en billet. En billet koster 54,50 kr.

I november besøgte han Clara fire gange.

  1. Hvor meget betalte Emil i alt for togrejserne i november.

  2. Emil finder ud af, at han kan få togrejserne billigere, hvis han køber et rejsekort. Med et rejsekort koster en rejse ikke 54,50 kr., men 30,00 kr.

  3. Hvor mange kr. sparer Emil på en rejse til Clara, hvis han har et rejsekort?

  4. Et rejsekort koster 50,00 kr.

  5. Hvor mange rejser skal Emil foretage, før det kan betale sig for ham at købe et rejsekort?

  6. Emil læser på internettet, at han sparer omkring 40 % på en rejse, når han har et rejsekort.

  7. Er oplysningen på internettet rigtig? Du skal begrunde dit svar.

  8. Emil får et rejsekort af sine forældre. Med rejsekortet bliver prisen pr. rejse mindre, hvis han rejser flere end fem gange. I tabellen herunder kan du se, hvad han nu skal betale pr. rejse. Rejse nummer 4 koster for eksempel 300,00 kr. og rejse nummer 12 koster 26,50 kr.

    Rejse nr.1-56-1011-1516-2021-2526 og derover
    Pris pr. rejse i kr.30,0028,5026,5024,0021,0017,50
  9. Hvor meget skal Emil i alt betale for de første seks rejser med sit rejsekort?

  10. Emil får også 500 kr. til togrejser af sine forældre.

  11. Hvor mange gange kan Emil besøge Clara for 500 kr.?

  12. Graferne l, m og n herunder viser mulige sammenhænge mellem antal rejser og den samlede pris.

  13. Hvilken af graferne viser sammenhængen mellem antal rejser og den samlede pris, når man køber et rejsekort? Du skal begrunde dit svar.

Svar på opgave 1: Rejsekort til Emil

  1. Emil køber to billetter for hvert besøg. Han besøger Clara 4 gange. Biletter i alt: 2·4 = 8.

    Pris for 8 billetter: 8·54,50 kr. = 436 kr.

  2. Han sparer 54,50 kr. - 30,00 kr. = 24,50 kr. pr. rejse

  3. Rejsekortets pris på 50 kr. skal lægges oven i prisen på 30 kr. pr. rejse. Man sætter antal rejser = x og får ligningen :

    50,00 kr. + (30,00 kr.)·x = x·54,50 kr. ⇒

    50,00 kr. = x·54,50 kr. - x·30,00 kr ⇒

    50,00 kr. = x·24,50 kr. ⇒

    x = 50,00 kr./24,50 kr. ⇒

    x = 2,04

    Dvs. antallet skal være større end 2,04 og dermed bliver det mindste antal rejser, som Emil skal foretage, før det kan betale sig at bruge resekortet, lig med 3

  4. Ser man bort fra den faste omkostning på 50,00 kr. bliver den procentvise besparelse i forhold til normal pris på 54,50 kr.: 100 %·(54,50 kr. - 30,00 kr.)/54,50 kr. = 45 %. Det viser at annoncen har ret.

  5. Han skal betale 5·30,00 kr. + 28,50 kr. = 178,50 kr. for de seks første rejser.

  6. Ved at prøve sig frem finder man, at 15 rejser koster 425 kr. og 20 rejser koster 545 kr. Antallet af rejser ligger derfor mellem 15 og 20.

    Man finder det præcise antal med findes med ligningen 425 kr. + x·26,50 kr. = 500 kr., hvor x er antallet af rejser over 15. Man får at:

    425 kr. + x·26,50 kr. = 500 kr. ⇒

    x·26,50 kr. = 500 kr. - 425 kr. ⇒

    x·26,50 kr. = 75 kr. ⇒

    x = 75 kr./26,50 kr. ⇒

    x = 2,8

    Dette skal rundes ned til 2 for at man skal holde sig under 500 kr. og antallet af rejser, der kan foretages for 500 kr. bliver derfor 15 + 2 = 17

  7. Grafen n er den rigtige.

    Den viser et forløb, hvor prisen stiger for hver rejse, men hvor stigningen i pris bliver mindre for hver femte rejse.

    Grafen m viser det man får hvis man lægger priserne i nederste række af tabellen sammen for fem rejser ad gangen. Grafen l viser en faldende kurve, der ikke passer med noget, men kunne passe med faldet i prisen pr. rejse, hvis den var en trappeformet kurve som m.

2. Claras bueskydning

I bueskydning kan man score point fra 1 til 10.

Den yderste ring giver 1 point, og den inderste ring giver 10 point.

I en serie med 36 pile scorede Clara i alt 174 point.

  1. Hvor mange point scorede Clara i gennemsnit pr. pil?

  2. I Claras serie med 36 pile var medianen for henden score 4.

  3. Forklar hvad medianen 4 fortæller om hendes serie med de 36 pile.

  4. Hvert år skyder Clara mange serier med 36 pile.

    Hun fører statistik over sine resultater.

    Boksplottet herunder viser fordelingen af hendes pointtal i 2011 og 2012.

  5. Du skal sammenligne de to boksplot og forklare, hvad de fortæller om udviklingen i Claras resultater fra 2011 til 2012.

Svar på opgave 2: Claras bueskydning

  1. Clara scorede i gennemsnit 174/36 point = 4.83 point

  2. Medianen på 4 fortæller at halvdelen af Claras pile var 4 point eller mindre.

  3. Boksplottene viser at Clara er blevet bedre fra 2011 til 2012. Såvel medianen som de andre kvartiler er blevet bedre fra 2011 til 2012.

3. Emils akvarium

Emil har et akvarium. Akvariet har form som en kasse. De indvendige mål på akvariet er vist på tegningen herover.

  1. Du skal vise ved beregning, at akvariet kan indeholde 128 L vand.

  2. Emils akvarium indeholder kun 120 L vand. Vandet i Emils akvarium når ikke helt op til kanten.

  3. Hvor stor er afstanden fra vandoverfladen til den øverste kant i Emils akvarium?

  4. Emil vil købe et akvarium mere. Det skal have form som en kugle.

  5. Hvor meget vand kan akvariet indeholde, hvis kuglens indvendige radius er 15 cm?

  6. Hvor skal kuglens indvendige radius være, hvis akvariet skal indeholde 60 L vand?

Svar på opgave 3: Emils akvarium

  1. Akvariet rumfang er 40 cm · 40 cm · 80 cm = 128.000 cm3 = 128.000 (0,1 dm)3 = 128.000·0,001 dm3 = 128 dm3 = 128 L

  2. Vi ved fra underopgave 1, at 1 L = 1.000 cm3.

    Længden ad vandet er 80 cm og bredden er 40 cm. Vandets højde kaldes x. Der gælder ligningen: 80 cm · 40 cm · x = 120 L = 120.000 cm3. Man får

    80 cm · 40 cm · x = 120.000 cm3

    x = 120.000 cm3/(80 cm · 40 cm) ⇒

    x = 37,5 cm3

    Dvs. vandets højde i akvariet er 37,5 cm

  3. Kuglen kan indeholde: (4/3)·π·r3 = (4/3)·π·(15 cm)3 = 14137,2 cm3 = 14,2 L

  4. Den indvendige radius kaldes x. Man har ligningen: (4/3)·π·x3 = 60 L ⇒

    (4/3)·π·x3 = 60.000 cm3

    x3 = 60.000 cm3/[(4/3)·π] ⇒

    x3 = 14.323,9 cm3

    x = 3√[14.323,9 cm3] ⇒

    x = 24,3 cm

    Dvs. kuglens indvendige radius skal være 24,3 cm

4. Claras børneopsparing

Clara har haft en børneopsparing siden hun blev født Hendes forældre har hver måned indbetalt 250 kr. på kontoen.

Herunder ses et udsnit fra det første kontoudskrift fra Claras børneopsparingskonto.

  1. Hvor mange penge har hendes forældre indbetalt på kontoen om året?

  2. Hvor gammel var Clara, da hendes forældre havde indbetalt 36.000 kr.?

  3. Da Claras forældre havde indbetalt 36.000 kr. på børneopsparingskontoen, kunne de ikke indbetale mere, for der må højest indbetales 36.000 kr. i alt. På Claras 15-års fødselsdag var kontoens saldo alligevel 42.698,00 kr. fordi banken har tilskrevet renter hvert år.

  4. Hvor stor en procentdel af saldoen på 42.698,00 kr. var tilskrevne renter.

  5. Du kan bruge filen OPSPARING.DEC.2012 eller svararket til dine beregninger i opgave 4.4 og 4.5.

    Clara får udbetalt sin børneopsparing, når hun fylder 21 år.

    Rentefoden på børneopsparingskontoen er lige nu på 2,0 % om året.

  6. Hvor stor vil saldoen på Claras børneopsparing være, når hun fylder 21 år, hvis rentefoden fortsat er 2,0 % om året?

  7. Hvor stor skal rentefoden være, for at saldoen på Claras børneopsparing er 50.000 kr., når hun fylder 21 år.

Svar på opgave 4: Claras børneopsparing

  1. Claras forældre har indbetalt 12·250 kr. = 3.000 kr. om året.

  2. Clara var 36.000 kr./(3.000 kr./år) = 12 år

  3. Procentdelen, der udgøres af tilskrevne renter, var: 100 %·(42.698 kr. - 36.000 kr.)/42.698 kr. = 15.7 %

  4. Saldoen vil være: (42.698 kr.)·(1,02)6 = 48.085 kr.

  5. Man bruger målsøgning i Excel til at løse opgaven.

    Man får resultatet:

    Dvs. rentefoden skal være 2,67 %, hvis der skal stå 50.000 kr. på Claras opsparingskonto, når hun fylder 21 år.

5. Hvor langt er der til øen?

Clara og Emil står inde på land og kigger på flaget ude på øen. De ønsker at kende afstanden ud til flaget ved punkt E. Derfor har de foretaget nogle målinger mellem punkterne A, B, C og D. Du skal nu bruge disse målinger.

Punkterne A, B og C ligger på en ret linje, og punkterne D, B og E ligger på en ret linje. Forholdet mellem længdemålene på figur ABCDE er ikke tegnet rigtigt.

  1. Tegn figur ABCDE så forholdet mellem længdemålede passer. Brug evt. et it-værktøj.

  2. Hvorfor er trekant ABE og trekant CBD ligedannede?

  3. Hvor mange meter er der fra punkt A på stranden til punkt E på øen?

  4. Hvilken vinkel vil du måle for at kunne bruge funktionen tangens til at beregne afstanden fra A til E? Du skal begrunde dit svar.

Svar på opgave 5: Hvor langt er der til øen?

  1. Tegning med rigtige målforhold tegnet i Geogebra:

  2. De to trekanter er ligedannede fordi, de er ensvinklede. Det sidste følger af at de har en ret vinkel hver. Desuden er ∠CBD = ∠ABD, fordi de er topvinkler. Endelig er de to sidste vinkler ens, hvilket følger af reglen om, at summen af vinkler i en trekant er 180 °.

  3. Skalarfaktoren mellem de to ligedannede trekanter ABE og BCD er 12/4 = 5. Man skal finde længden af AE i trekanten ABE, denne længde kaldes kort fro |AE|. Den ensliggende side til AE i trekant BCD er siden CD, som har længden 12. Dette skal ganges med skalarfaktoren for at finde |AE|, dvs:

    |AE| = 5·12 m = 60 m

  4. Man bør måle ∠CBD, da |AE| kan findes ud fra formlen:

    tan(∠CBD) = |AE|/(20 m) ⇒ |AE| = (20 m)·tan(∠CBD)

6. Figurfølge

Herunder er de første tre figurer i en figurfølge. Figurerne er også på svararket, som du kan bruge til løsning af opgaven.

  1. Hvor stort er arealet af figur 2?

  2. Figurfølge kan fortsætte med flere figurer.

  3. Hvor stort er arealet af figur 4?

  4. Du skal undersøge om en figur i figurfølgen kan have arealet 99.

  5. Hvor stor er arealet af figur n i figurfølgen?

Svar på opgave 6: Figurfølge

  1. Arealet af en dragefirkant er 0,5 gange produktet af diagonalernes længder, dvs arealet af figur 2 = 0,5·4·6 = 12

  2. Arealet af figur 4 = 0,5·8·12 = 48

  3. Ved at prøve sig frem finder man at figur 5 har arealet 0,5·10·15 = 75 og figur 6 har arealet 0,5·12·18 = 108. Da 99 ligger mellem 75 og 108 er der ikke nogen figur, der har arealet 99

  4. Figur n i følgen har arealet: 3·n2