Folkeskolens problemregning for 9. klasse, maj 2012 | Oversigt

1. Simons fritidsjob

Simon arbejder i et supermarked. Hans timeløn er 55,35 kr. I februar måned arbejdede han 32 timer.

  1. Hvor mange penge tjente Simon i februar måned?

  2. Simon forventer at tjene 24.000 kr. i 2012.

  3. Hvor mange timer skal Simon arbejde i 2012 for at tjene 24.000 kr.?

  4. Simon skal betale 8 % i arbejdsmarkedsbidrag af sin løn. Resten af lønnen får han udbetalt.

  5. Hvor mange penge forventer Simon at få udbetalt i gennemsnit om måneden i 2012?

  6. Simon skal betale skat, hvis hans skattepligtige indkomst i 2012 bliver større end 32.200 kr.

    Skattepligtig indkomst = årsløn - beskæftigelsesfradrag - arbejdsmarkedsbidrag
    Årsløn er løn i et helt år
    Beskæftigelsesfradrag er 4,4 % af årslønnen
    Arbejdsmarkedsbidrag er 8 % af årslønnen
  7. Undersøg hvor stor Simons årsløn skal være, at at hans skattepligtige indkomst bliver 32.200 kr. Brug evt. it-værktøj.

Svar på opgave 1: Simons fritidsjob

  1. Simon tjener 32 timer · 55,35 kr./time = 1.771,20 kr.

  2. Simon skal arbejde (24.000 kr.)/(55,35 kr./time) = 433,6 timer

  3. Simon får i gennemsnit udbetalt pr. måned: [24.000 kr./12] - [24.000 kr./12]·8% = [2.000 kr.] - [2.000 kr.]·0,08 = 2.000 kr. - 2.000 kr.·0,08 = 2.000 kr. - 160 kr. = 1.840 kr.

  4. Hans årsløn kaldes x. Der gælder, at

    x - x·0,08 - x·0,044 = 32.200 kr. ⇔

    x·(1 - 0,08 - 0,044) = 32.200 kr. ⇔

    x·0,876 = 32.200 kr. ⇔

    x = 32.200 kr./0,876 = 36.758 kr.

    Dvs. Simons årsløn skal være 36.758 kr. for at han får udbetalt 32.200 kr.

2. Simons opsparing

Simon er ved at spare sammen, så han kan få råd til et kørekort i 2015. Han har 2.400 kr.

  1. Hvor mange penge mangler Simon for at få råd til kørekortet, når det koster 13.500 kr.?

  2. Simon har indbetalt 2.400 kr. på en bankkonto den 1. januar 2012. Han vil også indbetale 2.400 kr. på bankkontoen den 1. januar 2013, 2014 og 2015. Han får 5 % i årlig rente.

  3. Hvor mange penge har Simon på bankkontoen den 1. januar 2015? Du kan bruge filen OPSPARING eller svararket til dine beregninger.

  4. Simon forventer, at kørekortet koster mellem 13.000 kr. og 14.000 kr.

  5. Find frem til et beløb, som Simon kan indbetale på bankkontoen hvert år for at have mellem 13.000 kr. og 14.000 kr. den 1. januar 2015. Du kan bruge filen OPSPARING eller svararket til din undersøgelse.

  6. Løs evt. opgaven ved hjælp af regneark som vist:

    Kurverne l, m og n herunder viser udviklingen i forskellige personers opsparinger.

  7. Hvilken af kurverne viser udviklingen af en opsparing, hvor der hvert år indbetales det samme beløb på en konto med en årlig rente på 5 %? Begrund dit svar.

Svar på opgave 2: Simons opsparing

  1. Simon mangler 13.500 kr. - 2.400 kr. = 11.100 kr. for at have råd til et kørekort.

  2. Løst i Excel:

  3. Løst med målsøgning i Excel for et slutbeløb på 13.000 kr.

    Først vælger man feltet saldoen for 1. januar. Det er C7. Dernæst vælger man feltet med det faste beløb. Det er B4. (Der står $ udfor bogstav og tal i feltet, fordi feltet holdes fast.) Man sætter grænsen for saldoen til 13000.

    Derefter trykkes OK og man får resultatet:

    Heraf ses at det indsatte beløb skal være 3.016 kr. om året, når prisen på et kørekort er 13.000 kr.

    Tilsvarende får man det indsatte beløb til 3.248 kr. hvis prisen for et kørekort er 14.000 kr.

  4. Simons opsparing følger kurven m der hele tiden vokser hurtigere med renters rente eller eksponentielt.

    Kurven n vokser lineært og kurven l vokser først hurtigere og hurtigerer for derefter at vokse langsommere og langsommere.

3. Højden af en silo

I nærhedens af Simons skole står en silo. Simon og Julie vil undersøge, hvor høj siloen er.

De bliver enige om at stille sig 50 m fra siloen. De 50 m opmåler de ved at tælle skridt. Hver af Simons skridt er 85 cm.

  1. Hvor mange skridt går Simon for at opmåle 50 m?

  2. Julie stiller sig som vist på skitsen herunder (øjets placering vist) og holder en pind (linjestykket DE på tegningen), så den passer med siloens overkant fra hendes synsvinkel. På den måde opstår der to retvinklede trekanter: ΔABC og ΔADE (den sidste er også tegnet forstørret).

  3. Forklar hvorfor ΔABC og ΔADE er ligedannede.

  4. Hvor høj er siloen?

  5. Fra Julies øje (A) til hendes hånd (E) er der 60 cm. Fra Julies hånd (E til pindens top (D) er der 30 cm.

  6. Hvor langt er der fra Julies øje (A) til pindens top (D)?

  7. Julie og Simon diskuterer, hvordan de kan beregne vinkel A på skitsen.

    • Julie påstår, at vinkel A er ca. 30°, fordi sin(30°) = 30/60

    • Simon påstår, at vinkel A er ca. 27°, fordi tan(26,6°) = 30/60

  8. Har Simon eller Julie ret i sin påstand om, hvordan vinkel A kan beregnes? Begrund dit svar.

Svar på opgave 3: Højden af en silo

  1. Simon går 50 m/(0,85 m/skridt) = 50/0,85 skridt = 58,8 skridt

  2. De to trekanter er ligedannede fordi, de har de samme vinkler. Det følger af, at de har vinklen A tilfælles og af, at A's modstående side er parallel for de to trekanter. Dermed er alle sider i de to trekanter parvist parallelle og vinklerne er ens.

  3. Siloens højde er 150 cm + |BC|. Skaleringsfaktoren er 50 m/0,6 m = 83,3. Dvs. |BC| = 0,3 m·83,3 = 25 m. Dvs. siloens højde er

    1,50 m + 25 m = 26,5 m

  4. Man skal finde |AD|. Man bruger Pythagoras læresætning og får: |AE|2 + |DE|2 = |AD|2

    (60 cm)2 + (30 cm)2 = |AD|2

    |AD|2 = 3.600 cm2 + 900 cm2

    |AD|2 = 4.500 cm2

    |AD| = √[4.500] cm ⇔

    |AD| = 67,1 cm.

    Dvs. der er 67,1 cm fra Julies øje til pindens overkant

  5. Símon har ret, idet tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig med den modstående katete til vinklen divideret med den hosliggende katete til vinklen.

4. Simons kondital

Simon træner på sin cykel flere gange om ugen. For at træne bedst muligt skal han kende sin maksimale puls. I et blad ser han formlen herunder.

Mp = 208 - 0,7·A
Mp: maksimum puls
A: Alder i antal år

Simon er 15 år.

  1. Beregn Simons maksimale puls.

  2. Til træning måler Simon sin maksimale puls til 194 ved hjælp af et pulsur.

  3. Hvilken alder svarer en maksimal puls på 194 til i følge formlen?

  4. Simon vil også beregne sit kondital. Han har fundet følgende oplysninger på internettet:


    VO2max er en persons maksimale iltoptagelse målt i liter pr. minut. Personens kondital beregnes ved at dividere hans VO2max med hans kropsvægt i kilogram og bagefter omskrive resultatet til milliliter pr. kilogram. F.eks. omskrives resulatet 0,060 L pr. kg til 60 mL pr. kg, og vi siger, at personens kondital er 60.

    Tallet for Simons arbmax (maksimale arbejdsbelastning) er 262, og han vejer 64 kg.

  5. Beregn Simons kondital.

  6. Herunder er vist fire omskrivninger af formlen i det gule felt. To af omskrivningerne er forkerte.

    a) (arbmax/0,23)·[(60/21100) + 0,25] = VO2max

    b) VO2max = 0,25 + (arbmax·60)/(0,23·21100)

    c) (60·arbmax/4853) + 0,25 = VO2max

    d) (arbmax/0,23)·[60/(21100 + 0,25)] = VO2max

  7. Forklar hvilke fejl, der er i de to forkerte omskrivninger.

Svar på opgave 4: Simons kondital

  1. Simons maksimale puls er 208 - 0,7·15 = 197,5

  2. Alderen sættes til x. Der gælder:

    194 = 208 - 0,7·x ⇔

    -0,7·x = 194 - 208 ⇔

    -0,7·x = -14 ⇔

    x = -14/(-0,7) ⇔

    x = 20

    Dvs. 194 i makspuls svarer til en alder på 20 år

  3. Man skal finde VO2max af formlen og omregne det til konditallet.

    VO2max = (262/0,23)·(60/21.100) + 0,25 L/min. = 3,489 L/min.

    Heraf fås, at konditallet er lig med: 3,489·1000/64 = 54,5

  4. a) og d) er forkerte. Fejlen ved a) er, at 0,25 er sat ind i en parentes, hvor det ikke hører hjemme. I d) er 0,25 sat ind på en brøkstreg, hvor det ikke hører hjemme.

5. Fravær i Simons klasse

Simon går i 9 A. Tabellen herunder viser, hvor mange dage hver af eleverne i 9. A var fraværende i januar måned.

Elev­nummer123456789101112131415161718192021222324
Fraværsdage124031002171423006521230
  1. Fremstil en hyppighedstabel, der viser fordelingen af antal fraværsdage i 9. A.

  2. Hvor stor en procentdel af eleverne i 9. A var fraværende i mere end to dage i januar måned?

  3. Hyppighedstabellen herunder viser fordelingen af antal fraværsdage i 9. B i januar måned.

    Antal fraværsdageHyppighed
    00
    12
    25
    35
    42
    50
    62
    73
  4. Hvor mange elever var der i 9. B i januar måned?

  5. Tegn et diagram, der viser fordelingen af antal fraværsdage i 9. B i januar måned.

  6. Sammenlign fordelingerne af antal fraværsdage i 9. A og 9. B ved hjælp af mindst tre forskellige deskriptorer. Forklar med dine egne ord, hvad sammenligningen viser.

  7. Statistiske deskriptorer
    Typetal, middeltal, median, størsteværdi, mindsteværdi, variationsbredde og kvartilsæt

Svar på opgave 5: Fravær i Simons klasse

  1. Hyppighedstabel for fravær i 9. A

    Antal fraværsdage i 9. AHyppighed (antal elever)
    06
    15
    25
    33
    42
    51
    61
    71
  2. Der er 24 elever i 9. A. Otte af dem var fraværende i mere end 2 dage.

    Dette giver at 8/24 = 33 % var fraværende i mere end 2 dage.

    Tabellen nedenunder viser med rødt de elever, der var fraværende i mere end 2 dage.

    Antal fraværsdage i 9. AHyppighed
    06
    15
    25
    33
    42
    51
    61
    71
  3. Man finder antallet af elever i 9. B ved at lægge hyppighederne sammen.

    Det giver: 0 + 2 + 5 + 5 + 2 + 0 + 2 + 3 = 19 elever

  4. Nedenstående figur er et søjlediagram for fraværet i 9. B.

  5. Nedenunder er vist et boksplot for fraværet i henholdsvis 9 A. og 9. B.

    Det ses at 9. A har lavere gennemsnit (median) end 9. B. Medianen for 9. A er 2, mens den for 9. B er 3.

    Desuden ligger 9. A hyppigheder er tættere samlet end 9. B. Hos 9. A er der enkelte, der har et højere fravær end flertallet, mens fraværet for 9. B er mere jævnt fordelt blandt eleverne.

    Kvartilsættet for 9. A er som det ses 25%-faktil: 0,5; median: 2; 75 %-fraktil: 3.

    Kvartilsættet for 9. A er som det ses 25%-faktil: 2; median: 3; 75 %-fraktil: 6.

    (Facitlisten opfordrer til at bruge et boksplot, selv om det ikke er nævnt i opgaven.)

6. En figur af kvarte cirkler

Herunder ses skitsen af et kvadrat med sidelængden 10 cm. I kvadratet er figuren A, som er afgrænset af to kvarte cirkler med centre i to af kvadraternes hjørner.

  1. Hvilke betingelser skal være opfyldt, for at en firkant er en kvadrat?

  2. Tegn kvadratet og figuren A med de mål, som er vist på skitsen. Hvis du bruger et it-værktøj, behøver enheden ikke at være cm.

  3. Hvor stor er omkredsen af kvadratet, og hvor stor stort er arealet af kvadratet?

  4. Hvor stor er omkredsen af figuren A?

  5. Hvor stor er arealet af figuren A?

Svar på opgave 6: En figur af kvarte cirkler

  1. For at en firkant skal være et kvadrat skal alle sider være lige lange og alle vinkler skal være 90°

  2. Figuren tegnet i Geogebra

  3. Omkredsen af kvadratet er 4·10 cm = 40 cm og arealet er (10 cm)2 = 100 cm2

  4. Omkredsen af figuren A er 2 gange buen af en kvartcirkel med radius 10 cm. Omkredsen er 2·[(1/4)·2·π·10 cm] = 10 π cm = 31,4 cm

  5. Ved at fjerne A fra den ene kvartcirkel kan den ene kvartcirkel og resten af den anden lægges sammen til kvadratet. Dvs. af arealet af A plus arealet af kvadratet er lig med arealerne af de to kvartcirkler som vist nedenunder.

    Arealet af en af kvartcirklerne er (1/4)·π·(10 cm)2 = 100·π cm2.

    Arealet af A bliver derfor: 2·(1/4)·π·(10 cm)2 cm2 - 100 cm2 = ((1/2)·π·100 - 100) cm2 = 57,1.