Folkeskolens problemregning for 9. klasse, december 2009 | Oversigt

Svar på opgave 1: Befolkningen i København 2007

  1. Der boede 5.447.084 - 4.943.385 = 503.699 mennesker i København.

  2. Følgende procentdel af den danske befolkning boede i København: (503.699/5.447.084)·100 % = 9,2 %

  3. Befolkningstætheden er (antal mennesker i København)/(Københavns areal i km2) = 503.699/97 = 5.192,77 ≈ 5200

  4. Man måler udsnittet vinkel til 101,54°. Dette er gjort nedenunder i Geogebra.

    Den procentdel af befolkningen, der var mellem 40-59 år er denne vinkels andel af en hel cirkel, dvs. andelen er 101,54°/360° = 0,282.

    Antallet af danskere mellem 40 og 59 år der dermed 0,282·5.447.084 = 1.536.078

    (Facitlisten får: 5.447.084·0,28 = 1.541.525, hvor beregningen virker rigtig, men facit forkert).

  5. Nedenfor er skemaet fra opgaven udfyldt med andel og vinkel til diagrammet.

    Man starter med at summere antallet for hver aldersgruppe, og man dividerer derefter denne sum op i antallet for hver aldersgruppe for at finde andelen som denne aldergruppe udgør af den samlede befolkning. Som kontrol vises, at andelene summerer op til 1.

    Tilsidst beregnes vinklerne i diagrammet for hver aldersgruppe ved at gange hver andel med 360°. Som kontrol vises, at vinklerne summerer op til 360° (bortset fra afrundingsfejl).

    Ud fra skemaet tegnes følgende cirkeldiagram i Geogebra:

  6. Man skal sammenligne cirkeldiagrammerne fra spørgsmål 4 og 5.

    Andelen af mennesker i aldersgruppen 20-39 er større for København end for resten af landet.

    Andelen af mennesker i aldersgruppen over 79 er nogenlunde den samme for København som for hele landet.

    Andelen af mennesker i hver af de andre aldersgrupper er mindre for København end for hele landet.

Svar på opgave 2: Københavns folketal i fremtiden

  1. Befolkningtallet i 2019 aflæses som vist nedenunder til 539.000

    (Facitlisten siger 539.500).

  2. Befolkningtallet i 2009 og 2019 aflæses som vist nedenunder med blåt.

    Forskellen (vist med rødt) er 539.000-522.000 = 28.000

    (Facitlisten siger 29.000).

  3. Man tager som eksempel x = 2010 (dvs. år 2010).

    Model 1 giver: y = 2.900·2010 - 5.316.000 = 513.000

    Model 2 giver: y = 2.900·2010 + 501.700 = 6.330.700

    Kurvens tal er ca. 513.000 der passer med model 1

  4. I følge model 1 vil der i 2030 være: 2.900·2030 - 5.316.000 = 571.000 mennesker i Danmark i 2030.

  5. For at finde året, hvor der er 600.000 mennesker i København, skal man løse følgende ligning med hensyn til x:

    600.000 = 2.900·x - 5.316.000 ⇔

    600.000 + 5.316.000 = 2.900·x ⇔

    5.916.000 = 2.900·x ⇔

    5.916.000/2.900 = x ⇔

    x = 2040

    Dvs. Københavns befolkningstal passerer 600.000 i år 2040

Svar på opgave 3: Turen går til København

  1. På den første rejseplan er rejsetiden: 12:19 - 8:48 =

    12 timer og 19 min. - 8 timer og 48 min. =

    11 timer + 60 min. + 19 min. - (8 timer + 48 min.) =

    11 timer + 79 min. - (8 timer + 48 min.) =

    11 timer - 8 timer + 79 min. - 48 min. =

    3 timer + 31 min.

    På den anden rejseplan er rejsetiden: 12:50 - 9:41 =

    12 timer og 50 min. - 9 timer og 41 min. =

    12 timer - 9 timer og (50 min. - 41 min.) =

    12 timer - 9 timer og (50 min. - 41 min.) =

    3 timer og 9 min.

    På den tredje rejseplan er rejsetiden: 13:19 - 9:48 =

    13 timer og 19 min. - (9 timer og 48 min.) =

    12 timer + 60 min. + 19 min. - (9 timer og 48 min.) =

    12 timer + 79 min. - (9 timer og 48 min.) =

    12 timer - 9 timer + (79 min. - 48 min.) =

    3 timer og 31 min.

    Dermed er den anden rejse med afgang kl. 9:41 den hurtigste.

  2. De skal betale for to voksne og eet barn (Marie rejser gratis)

    Det giver: 2·325,00 kr. + 163,00 kr. = 813,00 kr.

  3. Prisen for en voksne på DSB 1° er 488 kr. Prsien for en voksen satdardbillet er 325 kr.

    Det antal procent den dyre billet er dyrere end den billige findes ved:

    [(488-325)/325]·100 % = [153/325]·100 % = 50,2 %

  4. Den procentvise forskel er ikke den samme for alle aldersgrupper, da en 1. klasses barnebillet er dobbelt så dyr som standard børnebillet. Denne forskel er større end for voksenbilletten.

  5. De samlede udgifter er udgift til benzin + udgift til bro + udgifter til bil i øvrigt =

    (294 km)·(9,95 kr./L)/(15 km/L) + 215 kr. + (294 km)·(2,00 kr./km) = 998 kr.

  6. Rejsetiden i timer er antal km divideret med gennemsnitshastighed i km/t. Man får:

    Rejsetid er (294 km)/(98 km/t) = 3 timer

  7. Rejsetiden er næsten ens for tog og bil. Forskellen er 9 min.

    Prisen for bil er 998 kr, mens den for tog er 813 kr. dvs. en forskel på 185 kr. eller bil er (185/813)·100 % = 23 % dyrere end tog.

Svar på opgave 4: Amalienborg

  1. I 2009 var dronningen (2009 - 1940) år = 69 år

  2. Den omskrevne cirkel konstrueres som vist nedenfor, hvor B er det ene endepunkt for siden:

  3. Resten af den regulære ottekant (vist med blåt) konstrueres ved hjælp af (blå) cirkler, hvis radius er lig med siden i ottekanten.

  4. Hvis siden af slotspladsen er 6 cm på en tegning, der er tegnet i målestoksforholdet 1:1000, så er siden i virkeligheden 1000·(6 cm) = 6000 cm = 6000·(1 cm) = 6000·(0,01 m) = 60 m

  5. Den regulære ottekant er nedenunder vist med rødt. Udenom er tegnet et blåt kvadrat. I hvert hjørne af kvadratet er en retvinklet ligebenet trekant, hvis grundlinje er lig med siden i ottekanten. Arealet af ottekanten kan beregnes ved at trække de små trekanters areal fra kvadratets areal.

    En anden metode er at dele ottekanten op i 8 ligebende trekanter med en grundlinje, der er lig med siden i ottekanten. Højden i hver trekant er halvdelen af det blå kvadrats side.

  6. Sidelængden i ottekanten er 60 m. En katete i en af de retvinklede ligebenede trekanter i hjørnerne af det store kvadrat er (60 m)/√2 = 42,426. Hele det blå kvadrat har dermed siden (60 + 2·60/√2) m = 60·(1 + √2) m = 144,85 m.

    Dermed er kvardratets areal: (60 m + 2·42,426)2 = 20982,1 m2. Arealet af de fire små retvinklede ligebenede trekanter er 4·0,5·(en katete)2 = 2·(42,426 m)2 = 3600 m2

    Dermed er ottekantens areal: areal af kvadrat minus areal af trekanter = (20982,1 - 3600) m2 = 17.382 m2

    Hvis man deler ottekanten op i trekanter får man, at hver trekants højde er lig med halvdelen af siden i det blå kvadrat = 0,5·144,85 m = 72,425 m. Arealet af en enkelt trekant er dermed 0,5·(60 m)·(72,425 m) = 2.172,75 m2. Dette skal ganges med otte og man får således ottekantens areal til 8·2.172,75 m2 = 17.382 m2

Svar på opgave 5: Overnatninger i København 2007

  1. Nedenunder er lavet et søjle- eller pindediagram for antallet af overnatninger i 2007.

  2. Det gennemsnitlige antal overnatninger pr. måned er: samlet antal overnatninger divideret med 12.

    Man får gennemsnittet: 4.827.832/12 = 402.319,3 = 402.319 overnatninger pr. måned.

  3. Nedenunder er det gennemsnitlige antal månedlige overnatninger tegnet ind med en rød linje i søjlediagrammet.

  4. Det ses, at overstående diagram, at månederne: maj, juni, juli, august, september og oktober ligger over gennemsnittet (den røde linje).

  5. Man antager, at antal overnatninger stiger med 5 % om året fra 2007 til 2015.

    Man skal bruge fremskrivningsformlen eller opsparingsformlen: K = K0·(1 + r)n.

    Man skal finde K, når K0 = 4.827.832 (overnatninger i 2007), r = 5 % = 0,05 og n = 2015 -2007 = 8.

    Man får K = 4.827.832·(1 + 0,05)8 = 4.827.832·1,058 = 4.827.832·1,477455 = 7.132.905

    Dvs. turistforeningen forventer, at der er 7.132.905 overnatninger i Danmark i 2015.

    (Det rigtige tal for 2015 var faktisk 8.407.751, men det tal dækker muligvis mere end i opgaven. Se: statistikbanken)