Folkeskolens problemregning for 9. klasse, december 2008 | Oversigt

Svar på opgave 1: Bermudatrekanten

  1. Nedenunder er trekanten tegnet ind på kortet.

  2. Nedenunder er lavet en opmåling i Geogebra. Der er tegnet et linjestykke mellem Hamilton og San Juan, som er målt til 4,086 enheder. Målestokken er målt til 1,575 af de samme enheder. (Man måler fra 0 til 600 m - ikke fra den ene ende til den anden af målestokken).

    Målestokken svarer til 600 km i virkeligheden. Dermed er en enhed i Geogebras koordinatsystem lig med (600 km)/(1,575 enheder) = 380,95 km/enhed.

    Afstanden mellem Hamilton og San Juan er derfor: (4,086 enheder)·(380,95 km/enhed) = 1557 km = 1560 km

  3. Siden på et kvadrat, der har arealet 44.000 km2 er kvadratroden af 44.000 km2.

    Dvs. kvadratets sidelængde er √[44.000 km2] = √[44.000] km = 209,8 km

  4. På tegningen i Geogebra har man, at 1 enhed = 380,95 km, og dermed at 1 km = (1 enhed)/380,95 = 0,002625 enheder.

    209,8 km svarer dermed til 209,8·(0,002625 enheder) = 0,550725 enhder.

    Kvadratet er indtegnet med grøn farve på kortet nedenunder i Geogebra.

Svar på opgave 2: Cestius pyramide

  1. Pyramidens alder er (2008 + 18) år = 2026 år

  2. 125 fod = 125·(1 fod) = 125·(29,4 cm) = 125·29,4 (cm) = 125·29,4·(0,01 m) = 125·29,4·0,01 m = 36,75 m

  3. Thomas er 1,80 m. Forholdet mellem hans og pyramidens højde er (36,75 m)/(1,80 m) = 36,75/1,80 = 20,4

  4. Pyramidens rumfang er (1/3)·højde·grundflade = (1/3)·(125 fod)·(100 fod)2 =

    (1/3)·125·1002 fod3 = (1/3)·125·10000 fod3 =

    (1/3)·125·10000·(0,294 m)3 =

    (1/3)·125·10000·0,2943 m3 = 10.588,4 m3

Svar på opgave 3: Opdeling i trekanter

  1. Jordstykkets areal = areal af trekant 1 + areal af trekant 2 = (0,5·42,1·16 m2) + 80,2 m2 = 417 m2

  2. Man undersøger om trekant 2 er retvinklet ved at bruge Pythagoras læresætning. Hvis trekant 2 er retvinlet, så skal der gælde, at den længste side i anden er lig med summen af hver af de korte sider i anden. Man får:

    Summen af kvadraterne på de korte sider: 6,122 + 45,02 = 2062,45

    Kvadratet på den længste side: 50,22 = 2520,04

    Da de to tal er forskellige er trekant 2 ikke retvinklet

  3. Han skal betale følgende i leje for jordstykket om året: areal af jordstykke i kvadratmeter gange årlig leje i kr. pr. kvadratmeter = 417 m2·(0,25 kr./m2) = 104,25 kr./år

  4. Arealet af den del af jordstykket, hvor han dyrker kartofler, er: (417 m2)·35 % = 417·0,35 m2 = 145,95 m2

  5. Antallet af kilogram kartofler er udbyttet pr. hektar gange antallet af hektar. En hektar er 10.000 m2.

    Udbyttet i kilogram er (145,95 m2)·(38 ton/hektar) =

    (145,95 m2)·(38 ton/(10.000 m2)) =

    145,95·38/10.000 tons =

    [145,95·38/10.000]·(1000 kg) =

    145,95·38/10 kg =

    554,6 kg

  6. En familie på 5 personer spiser 5 gange 60 kg kartofler = 5·60 kg = 300 kg. Dvs. udbyttet af kartofler på ca. 555 kg er stort nok til at dække familiens årlige behov.

Svar på opgave 4: Trekantstal

  1. Nedenfor er kegle 8 og 9 tegnet ind som røde prikker på linjen i Geogebra.

    Man starter med at lave et linjestykke ud fra de to givne punkter. Linjestykket er her blåt og kaldes f.

    Man skal dele linjestykket i tre lige store dele og klikker derfor på hvert af yderpunkterne og vælger cirkel-med-radius værktøjet. Her skriver man "f/3" som radius, hvilket betyder, at Geogebra opretter en cirkel med en radius, der er en tredjedel af linjestykkets længde.

    Keglernes placering er cirklernes skæringer med linjestykket.

  2. Nedenfor trekanten konstrueret i Geogebra.

    Man tegner en cirkel i kegle 7 og 10 med linjestykket mellem dem som radius. Cirklernes ene skæringspunkt er kegle 1 (her det nederste hjørne i trekanten).

  3. Nedenfor de sidste kegler indsat i trekanten i Geogebra.

    Man tegner små cirkler som før og benytter deres skæringspunkter indbyrdes og deres skæringspunkter med siderne som vist.

  4. Nedenfor er en tegning af det femte trekantstal lavet i Geogebra.

  5. Nedenfor er skemaet udfyldtr. Det gøres ved at lægge tallet til venstre for et tomt felt sammen med tallet ovenfor som vist.

  6. Formel 1 giver tallene: 1, 3, 7, 13...

    Formel 2 giver tallene: 1, 3, 6, 10...

    Dvs. formel 2 er den rigtige.

  7. Trekanttallet for n = 100 er (1002 + 100)/2 = 10.100/2 = 5.050

Svar på opgave 5: Trekantbilleder

  1. Trekanterne er vist nedenunder. Det ses på øjemål, at:

    Trekant 1 er retvinklet

    Trekant 2 er stumpvinklet

    Trekant 3 er stumpvinklet og ligebenet

    Trekant 4 er spidsvinklet og ligebenet

  2. Hvis man måler efter ses det, at trekant 1 og 2 deler den øverste kant af rektanglet i to lige store dele. Desuden mødes toppunkterne af trekant 3 og trekant 4 i et punkt, der er skæringspunktet mellem midtnormalerne for rektanglets bredde og længde.

    Dvs. at den længste katete i trekant 1 er 20 cm og den korteste katete er 4 cm.

    Dermed er arealet af trekant 1 lig med 0,5·4·20 cm2 = 40 cm2

  3. Arealerne af trekant 1 og 2 er tilsammen halvdelen af rektanglets areal, da de udfylder den del af rektanglet, der ligger over den ene diagonal. De har samme areal, fordi de har samme grundlinje (4 cm) og samme højde (20 cm). Dermed er de hver en fjerdedel af rektanglets areal.

    Trekant 3 og 4 udfylder den anden halvdel af rektanglet og summen af deres arealer er dermed også halvdelen af rektanglets areal. De har samme areal fordi, de kan inddeles i fire ens trekanter (kaldet a) som vist på nedenstående figur.

    Dermed har trekant 3 og 4 samme areal og deres areal er dermed også en fjerdedel af rektanglets areal. Dermed har alle trekanter samme areal.

  4. Nedenfor er figuren spejlvendt omkring venstre side af rektanglet i Geogebra.

Svar på opgave 6: Kast med tetraeder

  1. Sandsynligheden for at slå 4 er 1/4, da alle fire udfald er lige sandsynlige, og da summen af deres sandsynligheder skal give 1.

  2. Den mindste sum er 1 + 1 + 1 = 3 og den største sum er 4 + 4 + 4 = 12

  3. Antal muligheder med rød er 4. For hver af disse 4 muligheder er der 4 muligheder for sort, dvs i alt 4·4 = 16 muligheder for rø og sort.

    For hver af disse 16 muligheder er der endelig 4 muligheder for blå, dvs. i alt for de tre trerninger er der 4·4·4 = 64 muligheder

  4. Nedenfor er vist tælletræet fra svararket. For hver punkt yderst på træet er skrevet summen af tallene fra midten og ud.

    Det ses, at 7 og 8 er de mest almindelige summer. De optræder 12 gange hver.

  5. Summen 7 forekommer 12 gange ud af 64 mulige udfald. Dermed er sandsynligheden for summen 7 lig med 12/64 = 0,1875 = 18,8 %